Номер 25.4, страница 190, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.4. Докажите тождество:

1) $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0;$

2) $\sum_{k=0}^{n} kC_n^k = n \cdot 2^{n-1};$

3) $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} kC_n^k = 0.$

1) Для доказательства тождества $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

Подставим в эту формулу значения $a=1$ и $b=-1$.

Левая часть формулы примет вид:

$(1 + (-1))^n = (1-1)^n = 0^n$.

Для любого натурального числа $n \ge 1$, выражение $0^n$ равно 0.

Правая часть формулы примет вид:

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (-1)^k = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k$.

Приравнивая левую и правую части, получаем искомое тождество для $n \ge 1$:

$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0$.

Заметим, что для $n=0$ сумма равна $\sum_{k=0}^{0} (-1)^k C_0^k = (-1)^0 C_0^0 = 1$. Таким образом, тождество строго справедливо для $n \ge 1$.

Ответ: Тождество доказано с использованием бинома Ньютона при $a=1, b=-1$ для $n \ge 1$.

2) Для доказательства тождества $\sum_{k=0}^{n} k C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$ рассмотрим его левую часть. При $k=0$ слагаемое равно $0 \cdot C_n^0 = 0$, поэтому суммирование можно начинать с $k=1$:

$\sum_{k=0}^{n} k C_n^k = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k$.

Воспользуемся известным комбинаторным тождеством $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$. Докажем его, используя определение биномиальных коэффициентов $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$k C_n^k = k \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$.

$n C_{n-1}^{k-1} = n \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} = n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$.

Тождество $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$ верно для $1 \le k \le n$.

Применим это тождество к нашей сумме:

$\sum_{k=1}^{n} k C_n^k = \sum_{k=1}^{n} n C_{n-1}^{k-1}$.

Вынесем множитель $n$ за знак суммы, так как он не зависит от индекса суммирования $k$:

$n \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}$.

Произведем замену индекса суммирования: пусть $j = k-1$. Тогда при $k=1$ имеем $j=0$, а при $k=n$ имеем $j=n-1$. Сумма примет вид:

$n \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j}$.

Сумма $\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j}$ представляет собой сумму всех биномиальных коэффициентов для степени $n-1$. Из бинома Ньютона известно, что эта сумма равна $2^{n-1}$:

$\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 + \dots + C_{n-1}^{n-1} = (1+1)^{n-1} = 2^{n-1}$.

Подставляя это значение обратно, получаем:

$n \cdot 2^{n-1}$.

Таким образом, мы доказали, что $\sum_{k=0}^{n} k C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$.

Ответ: Тождество доказано с использованием свойства $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$ и формулы суммы биномиальных коэффициентов.

3) Для доказательства тождества $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k C_n^k = 0$ мы снова воспользуемся свойством $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$ для $k \ge 1$.

Преобразуем левую часть равенства:

$\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k C_n^k = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} n C_{n-1}^{k-1}$.

Вынесем множитель $n$ за знак суммы:

$n \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} C_{n-1}^{k-1}$.

Произведем замену индекса суммирования: пусть $j = k-1$. Тогда $(-1)^{k-1} = (-1)^j$. При $k=1$ имеем $j=0$, а при $k=n$ имеем $j=n-1$. Сумма примет вид:

$n \sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j} C_{n-1}^{j}$.

Рассмотрим сумму $\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j} C_{n-1}^{j}$.

Как было показано в пункте 1), знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов $\sum_{j=0}^{m} (-1)^j C_m^j = 0$ для любого натурального $m \ge 1$.

В нашем случае $m=n-1$. Если $n \ge 2$, то $m = n-1 \ge 1$, и следовательно, сумма равна 0:

$\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j} C_{n-1}^{j} = 0$.

Подставляя это значение, получаем:

$n \cdot 0 = 0$.

Таким образом, тождество $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k C_n^k = 0$ доказано для $n \ge 2$. Заметим, что для $n=1$ левая часть равна $(-1)^{1-1} \cdot 1 \cdot C_1^1 = 1$, а не 0.

Ответ: Тождество доказано для $n \ge 2$ с использованием свойства $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$ и формулы для знакопеременной суммы биномиальных коэффициентов.