Номер 25.5, страница 190, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.5. Найдите $n$ в разложении степени бинома $\left(3+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}$, если отношение четвертого слагаемого разложения к третьему равно $3\sqrt{2}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения степени $(a+b)^n$. Общий член разложения (k+1)-й по счету) имеет вид $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном биноме $\left(3 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$ имеем $a = 3$ и $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Третье слагаемое разложения $T_3$ соответствует $k=2$:

$T_3 = T_{2+1} = C_n^2 \cdot 3^{n-2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = C_n^2 \cdot 3^{n-2} \cdot \frac{1}{2}$.

Четвертое слагаемое разложения $T_4$ соответствует $k=3$:

$T_4 = T_{3+1} = C_n^3 \cdot 3^{n-3} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = C_n^3 \cdot 3^{n-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

По условию задачи, отношение четвертого слагаемого к третьему равно $3\sqrt{2}$:$\frac{T_4}{T_3} = 3\sqrt{2}$.

Подставим выражения для $T_4$ и $T_3$ в это отношение и упростим его:$\frac{T_4}{T_3} = \frac{C_n^3 \cdot 3^{n-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}}{C_n^2 \cdot 3^{n-2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{C_n^3}{C_n^2} \cdot \frac{3^{n-3}}{3^{n-2}} \cdot \frac{1/(2\sqrt{2})}{1/2}$.

Упростим каждое отношение по отдельности:

Отношение биномиальных коэффициентов: $\frac{C_n^3}{C_n^2} = \frac{\frac{n!}{3!(n-3)!}}{\frac{n!}{2!(n-2)!}} = \frac{n! \cdot 2!(n-2)!}{n! \cdot 3!(n-3)!} = \frac{2!(n-2)(n-3)!}{3 \cdot 2! (n-3)!} = \frac{n-2}{3}$.

Отношение степеней: $\frac{3^{n-3}}{3^{n-2}} = 3^{(n-3)-(n-2)} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Отношение оставшихся членов: $\frac{1/(2\sqrt{2})}{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Перемножим полученные части:$\frac{T_4}{T_3} = \frac{n-2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{n-2}{9\sqrt{2}}$.

Теперь приравняем это выражение к значению из условия задачи:$\frac{n-2}{9\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

Решим полученное уравнение относительно $n$:

$n-2 = 3\sqrt{2} \cdot 9\sqrt{2}$

$n-2 = 27 \cdot (\sqrt{2})^2$

$n-2 = 27 \cdot 2$

$n-2 = 54$

$n = 56$.

Ответ: $56$.