Номер 24.13, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.13. Решите неравенство:

1) $\sin x \ge \frac{1}{2}$;

2) $\sin^2 x \le \frac{1}{4}$;

3) $\cos^2 x \ge \frac{1}{4}$;

4) $\text{tg } x \le 1$.

1) sin x ≥ 1/2

Сначала решим уравнение $sin x = 1/2$. Корни этого уравнения на тригонометрической окружности — это $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Неравенству $sin x \geq 1/2$ соответствуют точки на единичной окружности, ордината (координата y) которых больше или равна $1/2$. Эти точки лежат на дуге, заключенной между точками $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, на одном обороте ($[0, 2\pi]$) решение неравенства — это промежуток $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

Учитывая периодичность функции синуса (период равен $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

2) sin² x ≤ 1/4

Данное неравенство равносильно двойному неравенству: $-\sqrt{\frac{1}{4}} \leq \sin x \leq \sqrt{\frac{1}{4}}$, что эквивалентно $-\frac{1}{2} \leq \sin x \leq \frac{1}{2}$.

Рассмотрим это неравенство на единичной окружности. Нам нужны точки, ордината (координата y) которых находится в промежутке от $-1/2$ до $1/2$ включительно.

Найдем граничные точки. Уравнение $\sin x = 1/2$ имеет корни $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

Уравнение $\sin x = -1/2$ имеет корни $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$.

Таким образом, на окружности есть два промежутка, удовлетворяющих условию: от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ и от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$.

Эти два множества решений можно объединить в одну формулу. Возьмем основной интервал $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$. Добавляя к его границам $\pi n$, мы получаем все решения.

Общее решение: $-\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

3) cos² x ≥ 1/4

Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

Подставим в неравенство: $\frac{1 + \cos(2x)}{2} \geq \frac{1}{4}$.

Умножим обе части на 2: $1 + \cos(2x) \geq \frac{1}{2}$.

Вычтем 1 из обеих частей: $\cos(2x) \geq -\frac{1}{2}$.

Сделаем замену переменной $t = 2x$. Решим неравенство $\cos t \geq -1/2$.

На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки, абсцисса (координата x) которых больше или равна $-1/2$.

Граничные точки находятся из уравнения $\cos t = -1/2$, что дает $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = -\frac{2\pi}{3}$.

Решение для $t$: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x$: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Разделим все части неравенства на 2: $-\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{3} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

4) tg x ≤ 1

Функция тангенса определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Период тангенса равен $\pi$.

Рассмотрим решение на одном периоде, например, в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Сначала решим уравнение $\tg x = 1$. В указанном интервале его корень $x = \frac{\pi}{4}$.

Функция $\tg x$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, неравенство $\tg x \leq 1$ будет выполняться для всех $x$ от начала интервала определения до точки, где $\tg x = 1$ (включительно).

Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решением является промежуток $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}]$. Левая граница не включается, так как в этой точке тангенс не определен.

Учитывая периодичность функции тангенса, общее решение записывается добавлением $\pi n$ к границам найденного промежутка:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.