Вопросы, страница 190, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких преобразованиях можно использовать бином Ньютона?

2. Что означает слово "бином", символ $\Sigma$?

3. Чем являются биномиальные коэффициенты?

1. В каких преобразованиях можно использовать бином Ньютона?

Бином Ньютона — это формула, предназначенная для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени двучлена (бинома). Формула имеет вид: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. Она находит широкое применение в различных разделах математики и смежных наук.

В алгебре: Основное и самое очевидное применение — это упрощение и раскрытие скобок в выражениях вида $(a+b)^n$. Это позволяет представить степень двучлена в виде многочлена, что бывает необходимо при решении уравнений, неравенств и упрощении выражений.

В комбинаторике: Формула бинома Ньютона тесно связана с комбинаторикой, так как биномиальные коэффициенты $C_n^k$ представляют собой число сочетаний. Формулу используют для доказательства множества комбинаторных тождеств и для решения задач на подсчет количества вариантов.

В теории вероятностей: Бином Ньютона лежит в основе биномиального распределения — одной из ключевых моделей в теории вероятностей. Оно описывает вероятность получения ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний. Вероятность этого события равна одному из слагаемых в разложении бинома: $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, где $p$ — вероятность успеха в одном испытании.

В математическом анализе: Обобщенная формула бинома Ньютона (для произвольного действительного показателя степени) используется для разложения функций в степенные ряды (ряды Тейлора). Это позволяет, например, вычислять приближенные значения функций. Широко известный пример — приближение $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$ для малых $x$.

В теории чисел: Бином Ньютона является важным инструментом при доказательстве различных теорем о делимости, сравнениях по модулю. Например, он используется в одном из доказательств Малой теоремы Ферма.

Ответ: Бином Ньютона используется для алгебраического разложения степеней двучленов, в комбинаторике для решения задач и доказательства тождеств, в теории вероятностей для вывода формулы биномиального распределения, в математическом анализе для разложения функций в ряды и получения приближенных формул, а также в теории чисел для доказательства теорем.

2. Что означает слово "бином", символ Σ?

Слово "бином" (или "двучлен") происходит от латинского слова binomium, где приставка "bi-" означает "два", а корень "nomen" — "имя" или "член". В алгебре бином — это многочлен, состоящий из суммы или разности двух одночленов (членов). Например, выражения $x+y$, $3a-b^2$, и $5x^2y+7$ являются биномами. Соответственно, "бином Ньютона" — это формула, описывающая возведение в степень именно такого выражения, состоящего из двух слагаемых.

Символ Σ (сигма) — это заглавная буква греческого алфавита, которая в математике используется для обозначения операции суммирования. Эта запись является краткой формой для длинной суммы слагаемых, которые имеют общую структуру. Выражение $\sum_{k=m}^{n} f(k)$ означает сумму значений функции $f(k)$ для всех целых чисел $k$ от нижнего предела $m$ до верхнего предела $n$ включительно:$\sum_{k=m}^{n} f(k) = f(m) + f(m+1) + \dots + f(n)$.В контексте бинома Ньютона, запись $\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ означает сумму всех слагаемых, получаемых при изменении индекса $k$ от $0$ до $n$.

Ответ: Слово "бином" означает алгебраическое выражение, состоящее из двух слагаемых (двучлен). Символ Σ (сигма) — это математический знак, который обозначает суммирование ряда слагаемых.

3. Чем являются биномиальные коэффициенты?

Биномиальные коэффициенты — это числовые множители, стоящие перед степенными выражениями в разложении бинома Ньютона $(a+b)^n$.

Они обозначаются символами $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и для неотрицательных целых $n$ и $k$ ($0 \le k \le n$) вычисляются по формуле:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$Здесь $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Например, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Биномиальные коэффициенты имеют важный комбинаторный смысл: $C_n^k$ — это число сочетаний из $n$ по $k$. Оно показывает, сколькими различными способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, если порядок выбора не имеет значения.

Также биномиальные коэффициенты для заданного $n$ образуют $(n+1)$-ю строку в треугольнике Паскаля. Каждое число в этом треугольнике (кроме крайних единиц) равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Например, для $n=3$ коэффициенты равны $C_3^0=1, C_3^1=3, C_3^2=3, C_3^3=1$, и разложение имеет вид: $(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$.

Ответ: Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в формуле разложения бинома Ньютона, которые равны числу сочетаний из $n$ по $k$ и вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.