Номер 24.3, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.3. Докажите равенство:

1) $C_8^4 + C_8^3 = C_9^4$;

2) $C_8^4 + C_8^3 + C_9^5 = C_{10}^5$;

3) $C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + \dots + C_6^6 = 64$.

1) Для доказательства равенства $C_8^4 + C_8^3 = C_9^4$ воспользуемся тождеством Паскаля, которое гласит: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. В данном случае у нас $n=8$ и $k=4$. Подставляя эти значения в тождество, мы получаем $C_8^4 + C_8^{4-1} = C_{8+1}^4$, что в точности является доказываемым равенством $C_8^4 + C_8^3 = C_9^4$.

Для проверки можно выполнить прямое вычисление, используя формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Вычислим левую часть равенства:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$.

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

Сумма: $C_8^4 + C_8^3 = 70 + 56 = 126$.

Вычислим правую часть равенства:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.

Так как левая и правая части равны ($126 = 126$), равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $C_8^4 + C_8^3 + C_9^5 = C_{10}^5$ мы последовательно применим тождество Паскаля ($C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$).

1. Сначала рассмотрим сумму первых двух слагаемых: $C_8^4 + C_8^3$. Как было показано в пункте 1 (или по тождеству Паскаля при $n=8, k=4$), эта сумма равна $C_9^4$.

2. Теперь исходное выражение можно переписать, заменив первые два слагаемых их суммой: $(C_8^4 + C_8^3) + C_9^5 = C_9^4 + C_9^5$.

3. К полученной сумме $C_9^4 + C_9^5$ снова применим тождество Паскаля, на этот раз для $n=9$ и $k=5$: $C_9^5 + C_9^4 = C_{9+1}^5 = C_{10}^5$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства в правую, что доказывает его истинность.

Проверим вычислением:

Из пункта 1 мы знаем, что $C_8^4 + C_8^3 = 126$.

$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.

Левая часть: $126 + 126 = 252$.

Правая часть: $C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252$.

Так как $252 = 252$, равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

3) Для доказательства равенства $C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + ... + C_6^6 = 64$ воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов. Эта сумма представляет собой сумму всех биномиальных коэффициентов для степени $n=6$.

Это свойство является следствием формулы бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

Если мы подставим в эту формулу $a=1$ и $b=1$, то получим:$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k 1^{n-k} 1^k$, что упрощается до $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$.

В нашем случае $n=6$, следовательно, сумма равна $2^6$.

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.

Таким образом, $C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + ... + C_6^6 = 64$.

Проверим равенство прямым вычислением каждого слагаемого:

$C_6^0 = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_6^4 = C_6^2 = 15$

$C_6^5 = C_6^1 = 6$

$C_6^6 = C_6^0 = 1$

Сложим все значения: $1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64$.

Так как $64 = 64$, равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.