Номер 23.14, страница 182, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.14. Решите уравнение:

1) $4 - \cos^2 x = 4 \sin x;$

2) $4 - 5 \cos x - 2 \sin^2 x = 0.$

1) $4 - \cos^2x = 4 \sin x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\cos^2x = 1 - \sin^2x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4 - (1 - \sin^2x) = 4 \sin x$

$4 - 1 + \sin^2x = 4 \sin x$

$\sin^2x - 4 \sin x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1; 1]$, имеем ограничение $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Проверим корни с учетом ограничения $-1 \le t \le 1$:

$t_1 = 1$ — удовлетворяет условию.

$t_2 = 3$ — не удовлетворяет условию, так как $3 > 1$. Этот корень является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\sin x = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $4 - 5 \cos x - 2 \sin^2x = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\sin^2x = 1 - \cos^2x$. Подставим это выражение в уравнение:

$4 - 5 \cos x - 2(1 - \cos^2x) = 0$

$4 - 5 \cos x - 2 + 2 \cos^2x = 0$

$2 \cos^2x - 5 \cos x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1; 1]$, имеем ограничение $-1 \le y \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

Находим корни:

$y_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Проверим корни с учетом ограничения $-1 \le y \le 1$:

$y_1 = 2$ — не удовлетворяет условию, так как $2 > 1$. Этот корень является посторонним.

$y_2 = \frac{1}{2}$ — удовлетворяет условию.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.