Номер 23.8, страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.8.1) Найдите число способов раскраски трех фигур 5 цветами.

2) Найдите число натуральных чисел, меньших 1000, которые можно написать с помощью цифр 1 и 2.

1) Для решения этой задачи используется правило произведения из комбинаторики. У нас есть 3 различные фигуры, и для каждой из них нужно выбрать один из 5 доступных цветов. Выбор цвета для одной фигуры не зависит от выбора цвета для других фигур.

Для первой фигуры существует 5 вариантов выбора цвета.

Для второй фигуры также существует 5 вариантов выбора цвета.

Для третьей фигуры — снова 5 вариантов.

Чтобы найти общее число способов раскраски, необходимо перемножить количество вариантов для каждой фигуры. Общее число способов $N$ вычисляется по формуле:

$N = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$

Таким образом, существует 125 способов раскрасить три фигуры пятью цветами.

Ответ: 125.

2) Нам нужно найти количество натуральных чисел, которые меньше 1000 и могут быть записаны только с помощью цифр 1 и 2. Числа, меньшие 1000, могут быть однозначными, двузначными или трехзначными.

Рассмотрим каждый случай по отдельности:

Однозначные числа: С помощью цифр 1 и 2 можно составить два таких числа: 1 и 2. Количество способов: $2^1 = 2$.

Двузначные числа: Каждое такое число состоит из двух цифр. Для каждой из двух позиций (разряд десятков и разряд единиц) есть 2 варианта выбора цифры (1 или 2). Общее количество двузначных чисел равно $2 \times 2 = 2^2 = 4$. Это числа 11, 12, 21, 22.

Трехзначные числа: Каждое такое число состоит из трех цифр. Для каждой из трех позиций (сотни, десятки, единицы) есть 2 варианта выбора цифры. Общее количество трехзначных чисел равно $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Чтобы найти общее количество таких натуральных чисел, нужно сложить количество чисел для каждого из трех случаев:

Общее количество = (количество однозначных) + (количество двузначных) + (количество трехзначных) = $2 + 4 + 8 = 14$.

Ответ: 14.