Страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

23.5. Найдите:

1) $A_7^4$;

2) $\overline{A_7^4}$;

3) $A_5^4$;

4) $\overline{A_5^4}$.

Для решения этой задачи используются формулы из комбинаторики для нахождения числа размещений.

Размещения без повторений ($A_n^k$) — это соединения, которые можно составить из $n$ элементов по $k$ элементов, отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо их порядком. Элементы в одном размещении не повторяются. Формула для их вычисления:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$.

Размещения с повторениями ($\bar{A}_n^k$) — это соединения, в которых элементы могут повторяться. Формула для их вычисления:

$\bar{A}_n^k = n^k$.

1) $A_7^4$

Вычисляем число размещений без повторений из 7 элементов по 4.

$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$.

Ответ: 840

2) $\bar{A}_7^4$

Вычисляем число размещений с повторениями из 7 элементов по 4.

$\bar{A}_7^4 = 7^4 = 2401$.

Ответ: 2401

3) $A_5^4$

Вычисляем число размещений без повторений из 5 элементов по 4.

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$.

Ответ: 120

4) $\bar{A}_5^4$

Вычисляем число размещений с повторениями из 5 элементов по 4.

$\bar{A}_5^4 = 5^4 = 625$.

Ответ: 625

23.6. Решите уравнение:
1) $A_x^1 = 2;$ 2) $A_x^1 = 2x;$ 3) $A_x^2 = 2x;$ 4) $A_x^2 = x + 8.$

1) $A_x^1 = 2$

Число размещений из $x$ по 1 вычисляется по формуле $A_x^k = \frac{x!}{(x-k)!}$.Для $k=1$ имеем: $A_x^1 = \frac{x!}{(x-1)!} = x$.

Уравнение принимает вид: $x = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $A_x^1$ требует, чтобы $x$ было натуральным числом и $x \ge 1$.Корень $x=2$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $x=2$.

2) $A_x^1 = 2x$

Используя формулу $A_x^1 = x$, получаем уравнение: $x = 2x$.

Решаем уравнение:

$2x - x = 0$

$x = 0$.

Проверяем по ОДЗ: для $A_x^1$ необходимо, чтобы $x$ было натуральным числом и $x \ge 1$.Значение $x=0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как 0 не является натуральным числом и не удовлетворяет условию $x \ge 1$.Следовательно, уравнение не имеет решений в области определения размещений.

Ответ: нет решений.

3) $A_x^2 = 2x$

Число размещений из $x$ по 2 вычисляется по формуле: $A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$.

Уравнение принимает вид: $x(x-1) = 2x$.

ОДЗ для $A_x^2$: $x$ - натуральное число и $x \ge 2$.

Решаем уравнение:

$x^2 - x = 2x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Проверяем корни по ОДЗ:

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

$x_2 = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Следовательно, решением является $x=3$.

Ответ: $x=3$.

4) $A_x^2 = x + 8$

Используя формулу $A_x^2 = x(x-1)$, получаем уравнение: $x(x-1) = x + 8$.

ОДЗ для $A_x^2$: $x$ - натуральное число и $x \ge 2$.

Решаем уравнение:

$x^2 - x = x + 8$

$x^2 - 2x - 8 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни по ОДЗ:

$x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 2$ и является натуральным числом.

$x_2 = -2$ не является натуральным числом и не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Следовательно, решением является $x=4$.

Ответ: $x=4$.

23.7.1) Найдите число способов выбора старосты и физрука класса из 20 учащихся.

2) Найдите число способов выставления двум учащимся одной из отметок ${3; 4; 5}$.

23.7.1) Найдите число способов выбора старосты и физорга класса из 20 учащихся.

Для решения этой задачи необходимо определить количество упорядоченных пар, которые можно составить из 20 учеников. Порядок важен, так как должности старосты и физорга различны (ученик А - староста, ученик Б - физорг — это не то же самое, что ученик Б - староста, ученик А - физорг).

Выбор старосты: на эту должность можно выбрать любого из 20 учащихся. Таким образом, есть 20 способов.

Выбор физорга: после того, как староста выбран, на должность физорга может претендовать любой из оставшихся 19 учащихся. Таким образом, есть 19 способов.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов для каждого выбора: $N = 20 \times 19 = 380$.

Эта задача также описывается формулой для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=20$ (общее число учащихся) и $k=2$ (число должностей). $A_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = \frac{20 \times 19 \times 18!}{18!} = 20 \times 19 = 380$.

Ответ: 380.

2) Найдите число способов выставления двум учащимся одной из отметок {3; 4; 5}.

В данной задаче необходимо определить, сколькими способами можно поставить оценки двум ученикам. Для каждого ученика есть три варианта оценки: 3, 4 или 5.

Первому ученику можно поставить одну из трех оценок. Количество способов: 3.

Второму ученику также можно поставить одну из трех оценок, и этот выбор не зависит от оценки первого ученика. Количество способов: 3.

По правилу произведения, общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого ученика: $N = 3 \times 3 = 9$.

Это задача на размещения с повторениями, так как оценки могут повторяться (оба ученика могут получить, например, оценку 5). Число размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$. В нашем случае $n=3$ (количество доступных оценок) и $k=2$ (количество учеников). $\bar{A}_3^2 = 3^2 = 9$.

Ответ: 9.

23.8.1) Найдите число способов раскраски трех фигур 5 цветами.

2) Найдите число натуральных чисел, меньших 1000, которые можно написать с помощью цифр 1 и 2.

1) Для решения этой задачи используется правило произведения из комбинаторики. У нас есть 3 различные фигуры, и для каждой из них нужно выбрать один из 5 доступных цветов. Выбор цвета для одной фигуры не зависит от выбора цвета для других фигур.

Для первой фигуры существует 5 вариантов выбора цвета.

Для второй фигуры также существует 5 вариантов выбора цвета.

Для третьей фигуры — снова 5 вариантов.

Чтобы найти общее число способов раскраски, необходимо перемножить количество вариантов для каждой фигуры. Общее число способов $N$ вычисляется по формуле:

$N = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$

Таким образом, существует 125 способов раскрасить три фигуры пятью цветами.

Ответ: 125.

2) Нам нужно найти количество натуральных чисел, которые меньше 1000 и могут быть записаны только с помощью цифр 1 и 2. Числа, меньшие 1000, могут быть однозначными, двузначными или трехзначными.

Рассмотрим каждый случай по отдельности:

Однозначные числа: С помощью цифр 1 и 2 можно составить два таких числа: 1 и 2. Количество способов: $2^1 = 2$.

Двузначные числа: Каждое такое число состоит из двух цифр. Для каждой из двух позиций (разряд десятков и разряд единиц) есть 2 варианта выбора цифры (1 или 2). Общее количество двузначных чисел равно $2 \times 2 = 2^2 = 4$. Это числа 11, 12, 21, 22.

Трехзначные числа: Каждое такое число состоит из трех цифр. Для каждой из трех позиций (сотни, десятки, единицы) есть 2 варианта выбора цифры. Общее количество трехзначных чисел равно $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Чтобы найти общее количество таких натуральных чисел, нужно сложить количество чисел для каждого из трех случаев:

Общее количество = (количество однозначных) + (количество двузначных) + (количество трехзначных) = $2 + 4 + 8 = 14$.

Ответ: 14.

23.9. Решите уравнение:

1) $\overline{A_x^3} = 8;$

2) $\overline{A_x^4} = 16;$

3) $\overline{A_x^2} = x(x - 1).$

1) Решим уравнение $\bar{A}_x^3 = 8$.

Число размещений с повторениями из $x$ элементов по 3 вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$. В нашем случае $n=x$ и $k=3$, поэтому $\bar{A}_x^3 = x^3$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^3 = 8$

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

По определению, $x$ (количество элементов в множестве) должно быть натуральным числом. Значение $x=2$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $2$.

2) Решим уравнение $\bar{A}_x^4 = 16$.

По формуле для числа размещений с повторениями, имеем $\bar{A}_x^4 = x^4$.

Получаем уравнение:

$x^4 = 16$

$x^4 = 2^4$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x = 2$ и $x = -2$.

Так как $x$ обозначает количество элементов в множестве, оно должно быть натуральным числом ($x \ge 1$).

Следовательно, корень $x = -2$ не является решением задачи.

Подходит только $x=2$.

Ответ: $2$.

3) Решим уравнение $\bar{A}_x^2 = x(x-1)$.

Формула для числа размещений с повторениями из $x$ элементов по 2: $\bar{A}_x^2 = x^2$.

Подставляем в уравнение:

$x^2 = x(x-1)$

В контексте задачи $x$ должен быть натуральным числом.

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x^2 = x^2 - x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x^2 + x = 0$

$x = 0$

Полученный корень $x=0$ не является натуральным числом, поскольку количество элементов в исходном множестве для размещений должно быть положительным. Таким образом, в области допустимых значений для $x$ у данного уравнения решений нет.

Ответ: решений нет.

23.10. Найдите корни уравнения:

1) $\bar{A}_x^3 = 2x^2 + 3x;$ 2) $\bar{A}_x^3 = 2x^2 + 8x;$ 3) $\bar{A}_x^3 = 2x^2 + 15x.$

1) $ \bar{A}_x^3 = 2x^2 + 3x $

В левой части уравнения стоит число размещений с повторениями из $x$ элементов по $3$, которое вычисляется по формуле $ \bar{A}_x^k = x^k $. В данном случае $ \bar{A}_x^3 = x^3 $. По определению, основание $x$ должно быть натуральным числом, то есть $ x \in \mathbb{N} $.

Подставим формулу в исходное уравнение:

$ x^3 = 2x^2 + 3x $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ x^3 - 2x^2 - 3x = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x(x^2 - 2x - 3) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:

$ x = 0 $ или $ x^2 - 2x - 3 = 0 $.

Корень $ x = 0 $ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Решим квадратное уравнение $ x^2 - 2x - 3 = 0 $:

Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $.

Корни уравнения: $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $.

$ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 $.

$ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 $.

Из найденных корней только $ x = 3 $ является натуральным числом. Это и есть решение уравнения.

Проверка: $ \bar{A}_3^3 = 3^3 = 27 $; $ 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 = 18 + 9 = 27 $. Равенство верно.

Ответ: $3$.

2) $ \bar{A}_x^3 = 2x^2 + 8x $

Аналогично предыдущему пункту, $ \bar{A}_x^3 = x^3 $, где $ x \in \mathbb{N} $.

Получаем уравнение:

$ x^3 = 2x^2 + 8x $

Переносим все в левую часть:

$ x^3 - 2x^2 - 8x = 0 $

Выносим $x$ за скобки:

$ x(x^2 - 2x - 8) = 0 $

Отсюда $ x = 0 $ (не подходит, так как не натуральное число) или $ x^2 - 2x - 8 = 0 $.

Решим квадратное уравнение $ x^2 - 2x - 8 = 0 $:

Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 $.

Корни уравнения: $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} $.

$ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 $.

$ x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 $.

Из найденных корней только $ x = 4 $ является натуральным числом.

Проверка: $ \bar{A}_4^3 = 4^3 = 64 $; $ 2 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4 = 32 + 32 = 64 $. Равенство верно.

Ответ: $4$.

3) $ \bar{A}_x^3 = 2x^2 + 15x $

Используем ту же формулу $ \bar{A}_x^3 = x^3 $ с условием $ x \in \mathbb{N} $.

Уравнение принимает вид:

$ x^3 = 2x^2 + 15x $

Переносим все в левую часть:

$ x^3 - 2x^2 - 15x = 0 $

Выносим $x$ за скобки:

$ x(x^2 - 2x - 15) = 0 $

Отсюда $ x = 0 $ (не натуральное число) или $ x^2 - 2x - 15 = 0 $.

Решим квадратное уравнение $ x^2 - 2x - 15 = 0 $:

Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 $.

Корни уравнения: $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2} $.

$ x_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5 $.

$ x_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3 $.

Из найденных корней только $ x = 5 $ является натуральным числом.

Проверка: $ \bar{A}_5^3 = 5^3 = 125 $; $ 2 \cdot 5^2 + 15 \cdot 5 = 50 + 75 = 125 $. Равенство верно.

Ответ: $5$.

23.11.

1) Длина окружности переднего колеса кареты равна 3 м, заднего — 4,5 м. Какое расстояние проехала карета, если переднее колесо сделало на 20 оборотов больше заднего?

2) Две снегоуборочные машины, работая вместе, смогут очистить от снега определенную площадь за 12 часов. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем вторая закончила бы уборку снега, то на всю работу ушло бы 25 часов. За сколько часов могла бы очистить от снега эту площадь каждая машина, работая отдельно?

1) Пусть $S$ — искомое расстояние, которое проехала карета.

Пусть $L_1 = 3$ м — длина окружности переднего колеса, а $L_2 = 4,5$ м — длина окружности заднего колеса.

Пусть $n_1$ — количество оборотов, которое сделало переднее колесо, а $n_2$ — количество оборотов, которое сделало заднее колесо.

Расстояние, пройденное каретой, можно вычислить по формулам:

$S = n_1 \cdot L_1 = 3n_1$

$S = n_2 \cdot L_2 = 4.5n_2$

Поскольку расстояние одинаково, мы можем приравнять эти два выражения:

$3n_1 = 4.5n_2$

Из условия задачи известно, что переднее колесо сделало на 20 оборотов больше заднего:

$n_1 = n_2 + 20$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 3n_1 = 4.5n_2 \\ n_1 = n_2 + 20 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$3(n_2 + 20) = 4.5n_2$

$3n_2 + 60 = 4.5n_2$

$60 = 4.5n_2 - 3n_2$

$60 = 1.5n_2$

$n_2 = 60 / 1.5 = 40$

Итак, заднее колесо сделало 40 оборотов. Теперь найдем расстояние $S$, которое проехала карета:

$S = 4.5n_2 = 4.5 \cdot 40 = 180$ м.

Для проверки можно найти количество оборотов переднего колеса $n_1 = 40 + 20 = 60$ и также вычислить расстояние:

$S = 3n_1 = 3 \cdot 60 = 180$ м.

Результаты совпадают.

Ответ: 180 м.

2) Примем всю работу по очистке площади за 1.

Пусть $t_1$ часов — время, за которое первая машина может очистить всю площадь, работая отдельно, а $t_2$ часов — время для второй машины.

Тогда $p_1 = 1/t_1$ — производительность первой машины (часть площади в час), а $p_2 = 1/t_2$ — производительность второй машины.

Когда машины работают вместе, их общая производительность равна $p_1 + p_2$. По условию, вместе они выполняют всю работу за 12 часов, следовательно:

$(p_1 + p_2) \cdot 12 = 1$, откуда $p_1 + p_2 = 1/12$.

Рассмотрим второе условие. Первая машина выполнила половину работы ($1/2$). Время, затраченное на это, равно:

$T_1 = \text{работа} / \text{производительность} = (1/2) / p_1 = (1/2)t_1$.

Затем вторая машина закончила уборку, то есть выполнила вторую половину работы ($1/2$). Время, затраченное на это:

$T_2 = (1/2) / p_2 = (1/2)t_2$.

Общее время по второму условию составило 25 часов:

$T_1 + T_2 = (1/2)t_1 + (1/2)t_2 = 25$.

Умножив обе части на 2, получим: $t_1 + t_2 = 50$.

Теперь у нас есть система уравнений относительно $t_1$ и $t_2$:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = 50 \\ p_1 + p_2 = 1/12 \end{cases}$

Подставим $p_1 = 1/t_1$ и $p_2 = 1/t_2$ во второе уравнение:

$1/t_1 + 1/t_2 = 1/12$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$(t_2 + t_1) / (t_1 \cdot t_2) = 1/12$

Мы знаем, что $t_1 + t_2 = 50$, подставим это значение в полученное уравнение:

$50 / (t_1 \cdot t_2) = 1/12$

Отсюда находим произведение $t_1$ и $t_2$:

$t_1 \cdot t_2 = 50 \cdot 12 = 600$.

Теперь мы имеем систему, которая легко решается по теореме Виета:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = 50 \\ t_1 \cdot t_2 = 600 \end{cases}$

Это означает, что $t_1$ и $t_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 50x + 600 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$.

Корни уравнения:

$x_1 = ( -b + \sqrt{D} ) / 2a = ( 50 + \sqrt{100} ) / 2 = (50 + 10) / 2 = 30$.

$x_2 = ( -b - \sqrt{D} ) / 2a = ( 50 - \sqrt{100} ) / 2 = (50 - 10) / 2 = 20$.

Следовательно, время работы одной машины составляет 20 часов, а другой — 30 часов.

Ответ: одна машина могла бы очистить площадь за 20 часов, а другая — за 30 часов.

23.12. На координатной плоскости покажите штриховкой множество решений системы неравенств:

1) $$\begin{cases} x^2 - y - 2 \le 0, \\ y - |x| \le 0; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^2 + y^2 - 16 < 0, \\ y - 2|x| \ge 2. \end{cases}$$

1) Рассмотрим систему неравенств:$$\begin{cases}x^2 - y - 2 \le 0 \\y - |x| \le 0\end{cases}$$

Преобразуем каждое неравенство, чтобы выразить $y$.

Первое неравенство $x^2 - y - 2 \le 0$ эквивалентно $y \ge x^2 - 2$. Границей этой области является парабола $y = x^2 - 2$ с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вверх. Неравенству удовлетворяют все точки, лежащие на этой параболе и над ней.

Второе неравенство $y - |x| \le 0$ эквивалентно $y \le |x|$. Границей этой области является график функции $y = |x|$, который представляет собой две прямые $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$, образующие "угол" с вершиной в начале координат. Неравенству удовлетворяют все точки, лежащие на этом графике и под ним.

Решением системы является пересечение указанных областей, то есть множество точек, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно. Для точного построения найдем точки пересечения границ $y = x^2 - 2$ и $y = |x|$, решив уравнение $x^2 - 2 = |x|$.

Раскроем модуль для двух случаев:

а) При $x \ge 0$, уравнение принимает вид $x^2 - 2 = x$, или $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x=2$. При $x=2$, $y=|2|=2$. Получаем точку пересечения $(2, 2)$.

б) При $x < 0$, уравнение принимает вид $x^2 - 2 = -x$, или $x^2 + x - 2 = 0$. Корни этого уравнения $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x=-2$. При $x=-2$, $y=|-2|=2$. Получаем точку пересечения $(-2, 2)$.

Таким образом, искомое множество точек на координатной плоскости ограничено снизу дугой параболы $y = x^2 - 2$, соединяющей точки $(-2, 2)$ и $(2, 2)$, а сверху — ломаной, состоящей из отрезков прямых, соединяющих точки $(-2, 2)$, $(0, 0)$ и $(2, 2)$. Так как неравенства нестрогие, все точки на границах принадлежат множеству решений.

Ответ: Искомое множество — это фигура, ограниченная снизу дугой параболы $y = x^2 - 2$ и сверху ломаной $y = |x|$ между точками их пересечения $(-2, 2)$ и $(2, 2)$. Границы фигуры включены в множество.

2) Рассмотрим систему неравенств:$$\begin{cases}x^2 + y^2 - 16 \le 0 \\|y-2|x|| \ge 2\end{cases}$$

Первое неравенство $x^2 + y^2 - 16 \le 0$ можно переписать как $x^2 + y^2 \le 4^2$. Это неравенство задает множество точек внутри и на окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=4$.

Второе неравенство системы $|y-2|x|| \ge 2$ равносильно совокупности двух неравенств:

$y - 2|x| \ge 2$ или $y - 2|x| \le -2$.

Преобразуем их к виду:

$y \ge 2|x| + 2$ или $y \le 2|x| - 2$.

Неравенство $y \ge 2|x| + 2$ задает множество точек, расположенных на и над графиком функции $y = 2|x| + 2$. Этот график — "угол" с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которого направлены вверх.

Неравенство $y \le 2|x| - 2$ задает множество точек, расположенных на и под графиком функции $y = 2|x| - 2$. Этот график — "угол" с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которого также направлены вверх.

Решением исходной системы является множество точек, которые одновременно принадлежат кругу $x^2 + y^2 \le 16$ и удовлетворяют совокупности неравенств $y \ge 2|x| + 2$ или $y \le 2|x| - 2$.

Следовательно, искомое множество — это те части круга, которые лежат либо над "углом" $y = 2|x| + 2$, либо под "углом" $y = 2|x| - 2$. Это две непересекающиеся области. Так как все неравенства нестрогие, границы областей включаются в решение.

Ответ: Искомое множество — это объединение двух областей, расположенных внутри круга $x^2 + y^2 \le 16$. Первая область ограничена снизу графиком $y = 2|x| + 2$ и сверху дугой окружности. Вторая область ограничена сверху графиком $y = 2|x| - 2$ и снизу дугой окружности. Границы областей включены в множество решений.

23.13. Сколько потребуется взять членов арифметической прогрессии 18; 16; 14; ..., чтобы значение их суммы было равно нулю?

Данная последовательность чисел 18; 16; 14; ... является арифметической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего добавлением одного и того же числа.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 18$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 16 - 18 = -2$.

Нам необходимо найти количество членов $n$, сумма которых $S_n$ будет равна нулю. Для этого воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные значения: $S_n = 0$, $a_1 = 18$ и $d = -2$.

$0 = \frac{2 \cdot 18 + (-2)(n-1)}{2} \cdot n$

Решим полученное уравнение относительно $n$.

$0 = \frac{36 - 2(n-1)}{2} \cdot n$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как $n$ (количество членов прогрессии) — это натуральное число, то $n \neq 0$. Следовательно, нулю должна быть равна дробь:

$\frac{36 - 2(n-1)}{2} = 0$

Умножим обе части уравнения на 2:

$36 - 2(n-1) = 0$

Раскроем скобки:

$36 - 2n + 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$38 - 2n = 0$

Перенесем $2n$ в правую часть уравнения:

$38 = 2n$

Найдем $n$:

$n = \frac{38}{2}$

$n = 19$

Таким образом, нужно взять 19 членов данной арифметической прогрессии, чтобы их сумма была равна нулю.

Ответ: 19.