Номер 23.11, страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.11.

1) Длина окружности переднего колеса кареты равна 3 м, заднего — 4,5 м. Какое расстояние проехала карета, если переднее колесо сделало на 20 оборотов больше заднего?

2) Две снегоуборочные машины, работая вместе, смогут очистить от снега определенную площадь за 12 часов. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем вторая закончила бы уборку снега, то на всю работу ушло бы 25 часов. За сколько часов могла бы очистить от снега эту площадь каждая машина, работая отдельно?

1) Пусть $S$ — искомое расстояние, которое проехала карета.

Пусть $L_1 = 3$ м — длина окружности переднего колеса, а $L_2 = 4,5$ м — длина окружности заднего колеса.

Пусть $n_1$ — количество оборотов, которое сделало переднее колесо, а $n_2$ — количество оборотов, которое сделало заднее колесо.

Расстояние, пройденное каретой, можно вычислить по формулам:

$S = n_1 \cdot L_1 = 3n_1$

$S = n_2 \cdot L_2 = 4.5n_2$

Поскольку расстояние одинаково, мы можем приравнять эти два выражения:

$3n_1 = 4.5n_2$

Из условия задачи известно, что переднее колесо сделало на 20 оборотов больше заднего:

$n_1 = n_2 + 20$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 3n_1 = 4.5n_2 \\ n_1 = n_2 + 20 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$3(n_2 + 20) = 4.5n_2$

$3n_2 + 60 = 4.5n_2$

$60 = 4.5n_2 - 3n_2$

$60 = 1.5n_2$

$n_2 = 60 / 1.5 = 40$

Итак, заднее колесо сделало 40 оборотов. Теперь найдем расстояние $S$, которое проехала карета:

$S = 4.5n_2 = 4.5 \cdot 40 = 180$ м.

Для проверки можно найти количество оборотов переднего колеса $n_1 = 40 + 20 = 60$ и также вычислить расстояние:

$S = 3n_1 = 3 \cdot 60 = 180$ м.

Результаты совпадают.

Ответ: 180 м.

2) Примем всю работу по очистке площади за 1.

Пусть $t_1$ часов — время, за которое первая машина может очистить всю площадь, работая отдельно, а $t_2$ часов — время для второй машины.

Тогда $p_1 = 1/t_1$ — производительность первой машины (часть площади в час), а $p_2 = 1/t_2$ — производительность второй машины.

Когда машины работают вместе, их общая производительность равна $p_1 + p_2$. По условию, вместе они выполняют всю работу за 12 часов, следовательно:

$(p_1 + p_2) \cdot 12 = 1$, откуда $p_1 + p_2 = 1/12$.

Рассмотрим второе условие. Первая машина выполнила половину работы ($1/2$). Время, затраченное на это, равно:

$T_1 = \text{работа} / \text{производительность} = (1/2) / p_1 = (1/2)t_1$.

Затем вторая машина закончила уборку, то есть выполнила вторую половину работы ($1/2$). Время, затраченное на это:

$T_2 = (1/2) / p_2 = (1/2)t_2$.

Общее время по второму условию составило 25 часов:

$T_1 + T_2 = (1/2)t_1 + (1/2)t_2 = 25$.

Умножив обе части на 2, получим: $t_1 + t_2 = 50$.

Теперь у нас есть система уравнений относительно $t_1$ и $t_2$:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = 50 \\ p_1 + p_2 = 1/12 \end{cases}$

Подставим $p_1 = 1/t_1$ и $p_2 = 1/t_2$ во второе уравнение:

$1/t_1 + 1/t_2 = 1/12$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$(t_2 + t_1) / (t_1 \cdot t_2) = 1/12$

Мы знаем, что $t_1 + t_2 = 50$, подставим это значение в полученное уравнение:

$50 / (t_1 \cdot t_2) = 1/12$

Отсюда находим произведение $t_1$ и $t_2$:

$t_1 \cdot t_2 = 50 \cdot 12 = 600$.

Теперь мы имеем систему, которая легко решается по теореме Виета:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = 50 \\ t_1 \cdot t_2 = 600 \end{cases}$

Это означает, что $t_1$ и $t_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 50x + 600 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$.

Корни уравнения:

$x_1 = ( -b + \sqrt{D} ) / 2a = ( 50 + \sqrt{100} ) / 2 = (50 + 10) / 2 = 30$.

$x_2 = ( -b - \sqrt{D} ) / 2a = ( 50 - \sqrt{100} ) / 2 = (50 - 10) / 2 = 20$.

Следовательно, время работы одной машины составляет 20 часов, а другой — 30 часов.

Ответ: одна машина могла бы очистить площадь за 20 часов, а другая — за 30 часов.