Страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

22.11. Из группы 9 студентов на экзаменах получили отличные отметки, 15 — хорошие, 7 — удовлетворительные, 6 — отличные и хорошие, 3 — удовлетворительные и хорошие, 3 — отличные и удовлетворительные, 2 — отличные, удовлетворительные и хорошие. Найдите число студентов в группе.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений. Пусть у нас есть три множества студентов:

• $О$ – множество студентов, получивших отличные отметки.

• $Х$ – множество студентов, получивших хорошие отметки.

• $У$ – множество студентов, получивших удовлетворительные отметки.

Из условия задачи нам известны мощности (количества элементов) этих множеств и их пересечений:

• $|О| = 9$ (число студентов с отличными отметками)

• $|Х| = 15$ (число студентов с хорошими отметками)

• $|У| = 7$ (число студентов с удовлетворительными отметками)

• $|О \cap Х| = 6$ (число студентов с отличными и хорошими отметками)

• $|Х \cap У| = 3$ (число студентов с хорошими и удовлетворительными отметками)

• $|О \cap У| = 3$ (число студентов с отличными и удовлетворительными отметками)

• $|О \cap Х \cap У| = 2$ (число студентов со всеми тремя видами отметок)

Чтобы найти общее число студентов в группе, нам нужно найти мощность объединения этих трех множеств, то есть $|О \cup Х \cup У|$.

Формула включений-исключений для трех множеств выглядит так:

$|О \cup Х \cup У| = |О| + |Х| + |У| - (|О \cap Х| + |О \cap У| + |Х \cap У|) + |О \cap Х \cap У|$

Теперь подставим в формулу известные нам значения:

$|О \cup Х \cup У| = 9 + 15 + 7 - (6 + 3 + 3) + 2$

Выполним вычисления:

$|О \cup Х \cup У| = 31 - 12 + 2$

$|О \cup Х \cup У| = 19 + 2$

$|О \cup Х \cup У| = 21$

Таким образом, общее число студентов в группе составляет 21.

Ответ: 21.

22.12. Из 80 открыток на 40 изображены тюльпаны, на 20 — нарциссы, на 10 — сирень с тюльпанами, на 5 — сирень с нарциссами, на 5 — нарциссы с тюльпанами, на 10 — сирень с тюльпанами и нарциссами. Найдите число открыток с сиренью.

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств и принципом включения-исключения. Обозначим множества открыток следующим образом:

Т — множество открыток с тюльпанами.

Н — множество открыток с нарциссами.

С — множество открыток с сиренью.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

Общее число открыток: 80.

Число открыток с тюльпанами: $|Т| = 40$.

Число открыток с нарциссами: $|Н| = 20$.

Число открыток с сиренью и тюльпанами: $|С \cap Т| = 10$.

Число открыток с сиренью и нарциссами: $|С \cap Н| = 5$.

Число открыток с нарциссами и тюльпанами: $|Н \cap Т| = 5$.

Число открыток с сиренью, тюльпанами и нарциссами: $|С \cap Т \cap Н| = 10$.

Анализ условия задачи:

В условии задачи присутствует логическое противоречие. Множество открыток, на которых изображены все три вида цветов ($С \cap Т \cap Н$), является подмножеством множества открыток, где есть любые два вида цветов (например, $С \cap Н$). Следовательно, количество элементов в первом множестве не может быть больше, чем во втором. Однако, по условию, $|С \cap Т \cap Н| = 10$, а $|С \cap Н| = 5$. Это невозможно, так как $10 > 5$.

Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в количестве открыток, на которых изображены все три цветка. Для того чтобы условие было корректным, это число должно быть не больше, чем наименьшее из чисел для пересечений двух множеств, то есть не больше 5. Предположим, что верное значение для пересечения трех множеств равно 5, то есть $|С \cap Т \cap Н| = 5$.

Также будем считать, что каждая из 80 открыток содержит хотя бы один из перечисленных цветов, то есть общее число открыток является объединением трех множеств: $|С \cup Т \cup Н| = 80$.

Решение:

Для нахождения числа открыток с сиренью ($|С|$) воспользуемся формулой принципа включения-исключения для трех множеств: $|С \cup Т \cup Н| = |С| + |Т| + |Н| - (|С \cap Т| + |С \cap Н| + |Т \cap Н|) + |С \cap Т \cap Н|$

Подставим в формулу известные и скорректированные значения: $80 = |С| + 40 + 20 - (10 + 5 + 5) + 5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $|С|$: $80 = |С| + 60 - 20 + 5$ $80 = |С| + 45$ $|С| = 80 - 45$ $|С| = 35$

Таким образом, число открыток с сиренью составляет 35.

Ответ: 35.

22.13. Из 100 подарочных наборов в 50 находятся конфеты, в 45 — орехи, в 35 — мандарины, в 20 — конфеты, орехи и мандарины, в 25 — конфеты и орехи, в 15 — орехи и мандарины. Найдите число наборов с конфетами и мандаринами.

Для решения этой задачи используется формула включений-исключений для трех множеств. Давайте введем обозначения:

Пусть $K$ – это множество подарочных наборов, в которых есть конфеты.

Пусть $O$ – это множество наборов, в которых есть орехи.

Пусть $M$ – это множество наборов, в которых есть мандарины.

Из условия задачи нам известны следующие величины (мощности множеств):

Общее количество наборов: $|K \cup O \cup M| = 100$.

Количество наборов с конфетами: $|K| = 50$.

Количество наборов с орехами: $|O| = 45$.

Количество наборов с мандаринами: $|M| = 35$.

Количество наборов с конфетами, орехами и мандаринами: $|K \cap O \cap M| = 20$.

Количество наборов с конфетами и орехами: $|K \cap O| = 25$.

Количество наборов с орехами и мандаринами: $|O \cap M| = 15$.

Нам необходимо найти количество наборов с конфетами и мандаринами, то есть величину $|K \cap M|$.

Формула включений-исключений для трех множеств имеет вид:

$|K \cup O \cup M| = |K| + |O| + |M| - (|K \cap O| + |K \cap M| + |O \cap M|) + |K \cap O \cap M|$

Подставим в эту формулу все известные значения. Неизвестную величину $|K \cap M|$ обозначим как $x$.

$100 = 50 + 45 + 35 - (25 + x + 15) + 20$

Теперь решим полученное уравнение:

$100 = (50 + 45 + 35) - (25 + 15 + x) + 20$

$100 = 130 - (40 + x) + 20$

$100 = 130 - 40 - x + 20$

$100 = 90 - x + 20$

$100 = 110 - x$

Отсюда находим $x$:

$x = 110 - 100$

$x = 10$

Следовательно, число подарочных наборов с конфетами и мандаринами равно 10.

Ответ: 10.

22.14. Из 50 сотрудников 40 человек владеют казахским языком, 20 — английским, 10 — турецким, 15 — казахским и английским, 5 — казахским и турецким, 5 — английским и турецким. Сколько сотрудников владеют тремя языками — казахским, английским и турецким?

Для решения данной задачи используется формула включений-исключений для трех множеств. Введем обозначения:

Пусть $K$ – это множество сотрудников, владеющих казахским языком.

Пусть $A$ – это множество сотрудников, владеющих английским языком.

Пусть $T$ – это множество сотрудников, владеющих турецким языком.

Из условия задачи нам даны следующие мощности множеств:

Общее число сотрудников, владеющих хотя бы одним из этих языков, равно 50. Это мощность объединения трех множеств: $|K \cup A \cup T| = 50$.

Число сотрудников, владеющих казахским языком: $|K| = 40$.

Число сотрудников, владеющих английским языком: $|A| = 20$.

Число сотрудников, владеющих турецким языком: $|T| = 10$.

Число сотрудников, владеющих казахским и английским языками (пересечение): $|K \cap A| = 15$.

Число сотрудников, владеющих казахским и турецким языками (пересечение): $|K \cap T| = 5$.

Число сотрудников, владеющих английским и турецким языками (пересечение): $|A \cap T| = 5$.

Необходимо найти количество сотрудников, владеющих всеми тремя языками, то есть мощность пересечения всех трех множеств: $|K \cap A \cap T|$.

Формула включений-исключений для трех множеств имеет вид:

$|K \cup A \cup T| = |K| + |A| + |T| - (|K \cap A| + |K \cap T| + |A \cap T|) + |K \cap A \cap T|$

Подставим в формулу известные нам значения:

$50 = 40 + 20 + 10 - (15 + 5 + 5) + |K \cap A \cap T|$

Теперь произведем вычисления:

$50 = (40 + 20 + 10) - (15 + 5 + 5) + |K \cap A \cap T|$

$50 = 70 - 25 + |K \cap A \cap T|$

$50 = 45 + |K \cap A \cap T|$

Выразим искомую величину $|K \cap A \cap T|$:

$|K \cap A \cap T| = 50 - 45$

$|K \cap A \cap T| = 5$

Таким образом, количество сотрудников, владеющих тремя языками, составляет 5 человек.

Ответ: 5

22.15. Постройте график функции и найдите период функции:

1) $y = \sin(2x - 3)$;

2) $y = \cos\left(\frac{x}{2} - 2\right)$;

3) $y = -2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

4) $y = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} - 1\right)$.

1) $y = \sin(2x - 3)$

Для построения графика этой функции мы преобразуем график базовой функции $y = \sin(x)$. Для этого представим функцию в виде $y = \sin(2(x - 1.5))$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Сжатие графика функции $y = \sin(x)$ по горизонтали (к оси OY) в 2 раза. Получаем график $y = \sin(2x)$.

2. Сдвиг полученного графика $y = \sin(2x)$ по горизонтали (вдоль оси OX) вправо на 1.5 единицы. В результате получаем искомый график $y = \sin(2(x - 1.5))$.

Период функции вида $y = A\sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0=2\pi$ – основной период функции синуса. В данном уравнении $k=2$. Таким образом, период функции равен: $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: Период функции $T = \pi$.

2) $y = \cos(\frac{x}{2} - 2)$

График данной функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем преобразований. Запишем функцию в виде $y = \cos(\frac{1}{2}(x - 4))$.

1. Растяжение графика $y = \cos(x)$ по горизонтали (от оси OY) в 2 раза. Получаем график $y = \cos(\frac{x}{2})$.

2. Сдвиг полученного графика $y = \cos(\frac{x}{2})$ по горизонтали (вдоль оси OX) вправо на 4 единицы. В результате получаем искомый график $y = \cos(\frac{1}{2}(x - 4))$.

Основной период функции косинуса $T_0 = 2\pi$. Период функции $y = \cos(kx+b)$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$. Следовательно, период равен: $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = 4\pi$.

Ответ: Период функции $T = 4\pi$.

3) $y = -2\cos(x + \frac{\pi}{4})$

Для построения графика функции $y = -2\cos(x + \frac{\pi}{4})$ выполним преобразования над графиком $y = \cos(x)$. Запишем функцию как $y = -2\cos(1 \cdot (x - (-\frac{\pi}{4})))$.

1. Сдвиг графика $y = \cos(x)$ по горизонтали (вдоль оси OX) влево на $\frac{\pi}{4}$ единиц. Получаем график $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$.

2. Растяжение полученного графика $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$ от оси OX по вертикали в 2 раза. Амплитуда становится равной 2. Получаем $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$.

3. Симметричное отражение графика $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$ относительно оси OX. Получаем итоговый график $y = -2\cos(x + \frac{\pi}{4})$.

Основной период функции косинуса $T_0 = 2\pi$. Период функции $y = A\cos(kx+b)$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном уравнении $k=1$. Таким образом, период функции не изменяется и равен: $T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: Период функции $T = 2\pi$.

4) $y = \text{tg}(\frac{x}{2} - 1)$

Построение графика функции $y = \text{tg}(\frac{x}{2} - 1)$ осуществляется преобразованием графика $y = \text{tg}(x)$. Представим функцию в виде $y = \text{tg}(\frac{1}{2}(x-2))$.

1. Растяжение графика $y = \text{tg}(x)$ по горизонтали (от оси OY) в 2 раза. Получаем график $y = \text{tg}(\frac{x}{2})$. Вертикальные асимптоты $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ смещаются в $x=\pi+2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Сдвиг полученного графика $y = \text{tg}(\frac{x}{2})$ по горизонтали (вдоль оси OX) вправо на 2 единицы. Получаем итоговый график $y = \text{tg}(\frac{1}{2}(x-2))$. Новые асимптоты будут находиться в точках $x = \pi + 2 + 2n\pi$.

Основной период функции тангенса $T_0 = \pi$. Период функции $y = \text{tg}(kx+b)$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном случае $k = \frac{1}{2}$. Следовательно, период равен: $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = 2\pi$.

Ответ: Период функции $T = 2\pi$.

22.16. Решите неравенство:

1) $5 - 2x^2 > 10$;

2) $0 < x^2 - 4 \le 1$;

3) $x^2 - 4|x| < 0$.

1) Исходное неравенство: $5 - 2x^2 > 10$.

Перенесем 5 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-2x^2 > 10 - 5$

$-2x^2 > 5$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 < -\frac{5}{2}$

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Неравенство $x^2 < -2.5$ утверждает, что неотрицательное число меньше отрицательного, что невозможно.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: решений нет.

2) Данное двойное неравенство $0 < x^2 - 4 \le 1$ равносильно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 4 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы: $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство системы: $x^2 - 4 \le 1$.

Перенесем 1 в левую часть: $x^2 - 5 \le 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \le 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0$ равны $x_1 = -\sqrt{5}$ и $x_2 = \sqrt{5}$.

Графиком функции $y = x^2 - 5$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение этого неравенства: $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств.

Решение 1: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Решение 2: $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

Заметим, что $2 = \sqrt{4}$, поэтому $2 < \sqrt{5}$ и соответственно $-2 > -\sqrt{5}$.

Пересечением этих двух множеств будет объединение интервалов: $[-\sqrt{5}; -2) \cup (2; \sqrt{5}]$.

Ответ: $x \in [-\sqrt{5}; -2) \cup (2; \sqrt{5}]$.

3) Исходное неравенство: $x^2 - 4|x| < 0$.

Воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$ и перепишем неравенство:

$|x|^2 - 4|x| < 0$

Введем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа является неотрицательной величиной, то $t \ge 0$.

После замены неравенство принимает вид:

$t^2 - 4t < 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t - 4) < 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $t(t - 4) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$.

Решением неравенства является интервал $(0; 4)$, то есть $0 < t < 4$.

Это решение удовлетворяет нашему условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $|x|$ вместо $t$:

$0 < |x| < 4$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} |x| > 0 \\ |x| < 4 \end{cases}$

Решением первого неравенства $|x| > 0$ являются все действительные числа, кроме $x=0$.

Решением второго неравенства $|x| < 4$ является интервал $(-4; 4)$, то есть $-4 < x < 4$.

Общим решением системы будет пересечение этих двух множеств. Из интервала $(-4; 4)$ необходимо исключить точку $x=0$.

Таким образом, получаем объединение двух интервалов: $(-4; 0) \cup (0; 4)$.

Ответ: $x \in (-4; 0) \cup (0; 4)$.

22.17. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2-4} = 2;$

2) $\sqrt{1-2x^2} = 4;$

3) $\sqrt{x^2-4} = 2x-1.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 4} = 2$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^2 - 4 \ge 0$. Поскольку правая часть уравнения (число 2) является положительным числом, мы можем без потери корней возвести обе части уравнения в квадрат.

$(\sqrt{x^2 - 4})^2 = 2^2$

$x^2 - 4 = 4$

$x^2 = 8$

$x = \pm\sqrt{8}$

$x = \pm 2\sqrt{2}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $x^2 - 4 \ge 0$.

При $x = 2\sqrt{2}$: $(2\sqrt{2})^2 - 4 = 8 - 4 = 4$. Так как $4 \ge 0$, корень $x = 2\sqrt{2}$ является решением.

При $x = -2\sqrt{2}$: $(-2\sqrt{2})^2 - 4 = 8 - 4 = 4$. Так как $4 \ge 0$, корень $x = -2\sqrt{2}$ также является решением.

Ответ: $\pm 2\sqrt{2}$.

2) Дано уравнение $\sqrt{1 - 2x^2} = 4$. По определению, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, то есть $\sqrt{1 - 2x^2} \ge 0$. Для того, чтобы корень был определен в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1 - 2x^2 \ge 0$, что равносильно $2x^2 \le 1$, или $x^2 \le \frac{1}{2}$. Из этого условия следует, что максимальное значение подкоренного выражения $1 - 2x^2$ равно 1 (достигается при $x=0$). Следовательно, максимальное значение левой части уравнения, $\sqrt{1 - 2x^2}$, равно $\sqrt{1} = 1$. Так как левая часть уравнения не может принимать значения больше 1, она никогда не сможет равняться 4. Таким образом, уравнение не имеет решений.

Другой способ решения — возвести обе части в квадрат:

$(\sqrt{1 - 2x^2})^2 = 4^2$

$1 - 2x^2 = 16$

$-2x^2 = 15$

$x^2 = -\frac{15}{2}$

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

3) Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 4} = 2x - 1$. Данное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат обеих частей, и неравенства, обеспечивающего неотрицательность правой части (так как значение корня не может быть отрицательным).

$\begin{cases} x^2 - 4 = (2x - 1)^2 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство:

$2x - 1 \ge 0$

$2x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{2}$

Теперь решим уравнение:

$x^2 - 4 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2$

$x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1$

$0 = 3x^2 - 4x + 5$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=3$, $b=-4$, $c=5$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.