Страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

*21.16. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{2x - 3}{\sqrt{5x - 6 - x^2}} + \arcsin(3x - 2)$

2) $y = \frac{2x + 3}{\sqrt{x^2 - x - 6}} + \arccos(x^2 - 3)$

3) $y = \frac{1 - x}{\sqrt{5x + 6 - x^2}} + \arcsin(x - 1)$

4) $y = \frac{2x + 3}{\sqrt{x^2 - 2x - 8}} + \arccos(x^2 - 8)$

1) $y = \frac{2x - 3}{\sqrt{5x - 6 - x^2}} + \arcsin(3x - 2)$

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. Она является пересечением областей определения каждого слагаемого.

Первое слагаемое $\frac{2x - 3}{\sqrt{5x - 6 - x^2}}$ определено, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля:$5x - 6 - x^2 > 0$Умножим на -1, изменив знак неравенства:$x^2 - 5x + 6 < 0$Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.Парабола $f(x) = x^2 - 5x + 6$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $f(x) < 0$ выполняется между корнями.Следовательно, $x \in (2, 3)$.

Второе слагаемое $\arcsin(3x - 2)$ определено, когда его аргумент находится в пределах от -1 до 1 включительно:$-1 \le 3x - 2 \le 1$Прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства:$1 \le 3x \le 3$Разделим все части на 3:$\frac{1}{3} \le x \le 1$, то есть $x \in [\frac{1}{3}, 1]$.

Общая область определения — это пересечение найденных множеств: $(2, 3) \cap [\frac{1}{3}, 1]$.Данные интервалы не пересекаются. Следовательно, область определения функции — пустое множество.

Ответ: $\emptyset$.

2) $y = \frac{2x + 3}{\sqrt{x^2 - x - 6}} + \arccos(x^2 - 3)$

Находим ОДЗ для каждого слагаемого.

Для дроби $\frac{2x + 3}{\sqrt{x^2 - x - 6}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:$x^2 - x - 6 > 0$Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.Парабола $f(x) = x^2 - x - 6$ имеет ветви вверх, поэтому $f(x) > 0$ при значениях $x$ вне интервала между корнями.Таким образом, $x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Для функции $\arccos(x^2 - 3)$ аргумент должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$:$-1 \le x^2 - 3 \le 1$$2 \le x^2 \le 4$Это система из двух неравенств: $\begin{cases} x^2 \ge 2 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$.Из $x^2 \le 4$ следует, что $-2 \le x \le 2$, или $x \in [-2, 2]$.Из $x^2 \ge 2$ следует, что $x \le -\sqrt{2}$ или $x \ge \sqrt{2}$, или $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.Пересечение этих решений: $x \in [-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$.

Найдем пересечение областей определения обоих слагаемых: $((-\infty, -2) \cup (3, \infty)) \cap ([-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2])$.Множества $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$ и $[-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$ не имеют общих точек. Например, точка $x=-2$ не входит в первое множество, а $\sqrt{2} \approx 1.41$ и $2$ меньше, чем $3$.Следовательно, пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$.

3) $y = \frac{1 - x}{\sqrt{5x + 6 - x^2}} + \arcsin(x - 1)$

Находим ОДЗ для каждого слагаемого.

Для дроби $\frac{1 - x}{\sqrt{5x + 6 - x^2}}$ подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:$5x + 6 - x^2 > 0$$x^2 - 5x - 6 < 0$Корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$.Парабола $f(x) = x^2 - 5x - 6$ с ветвями вверх, поэтому $f(x) < 0$ между корнями.Следовательно, $x \in (-1, 6)$.

Для функции $\arcsin(x - 1)$ аргумент должен быть в пределах от -1 до 1:$-1 \le x - 1 \le 1$$0 \le x \le 2$, то есть $x \in [0, 2]$.

Общая область определения — это пересечение $(-1, 6)$ и $[0, 2]$.Пересечением является отрезок $[0, 2]$.

Ответ: $[0, 2]$.

4) $y = \frac{2x + 3}{\sqrt{x^2 - 2x - 8}} + \arccos(x^2 - 8)$

Находим ОДЗ для каждого слагаемого.

Для дроби $\frac{2x + 3}{\sqrt{x^2 - 2x - 8}}$ подкоренное выражение должно быть строго положительным:$x^2 - 2x - 8 > 0$Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.Парабола $f(x) = x^2 - 2x - 8$ с ветвями вверх, поэтому $f(x) > 0$ вне корней.Следовательно, $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.

Для функции $\arccos(x^2 - 8)$ аргумент должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$:$-1 \le x^2 - 8 \le 1$$7 \le x^2 \le 9$Эта система неравенств эквивалентна $\begin{cases} x^2 \ge 7 \\ x^2 \le 9 \end{cases}$.Из $x^2 \le 9$ следует $-3 \le x \le 3$.Из $x^2 \ge 7$ следует $x \le -\sqrt{7}$ или $x \ge \sqrt{7}$.Пересечение этих условий дает $x \in [-3, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, 3]$.

Найдем пересечение областей определения: $((-\infty, -2) \cup (4, \infty)) \cap ([-3, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, 3])$.Рассмотрим пересечение с каждым из отрезков второго множества.1. Пересечение с $[-3, -\sqrt{7}]$. Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то $-3 < -\sqrt{7} < -2$. Весь отрезок $[-3, -\sqrt{7}]$ входит в интервал $(-\infty, -2)$. Их пересечение равно $[-3, -\sqrt{7}]$.2. Пересечение с $[\sqrt{7}, 3]$. Так как $\sqrt{7} \approx 2.65$, этот отрезок не пересекается с $(-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.Следовательно, итоговая область определения есть объединение результатов, то есть $[-3, -\sqrt{7}]$.

Ответ: $[-3, -\sqrt{7}]$.

*21.17. Решите неравенство $\sin(2\pi\cos x) < 0$.

Для решения данного неравенства введем замену. Пусть $t = 2\pi\cos x$. Тогда неравенство принимает вид $\sin(t) < 0$.

Функция синуса отрицательна на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$ или, в более удобной форме, $(-\pi + 2\pi k, 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, мы получаем двойное неравенство для $t$:

$-\pi + 2\pi k < t < 2\pi k$

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = 2\pi\cos x$:

$-\pi + 2\pi k < 2\pi\cos x < 2\pi k$

Разделим все части неравенства на $2\pi$ (это положительное число, поэтому знаки неравенства не меняются):

$-\frac{1}{2} + k < \cos x < k$

Нам известно, что область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$. Рассмотрим, при каких целых значениях $k$ полученное двойное неравенство будет иметь решения.

1. При $k = 0$: получаем неравенство $-\frac{1}{2} < \cos x < 0$. Этот интервал полностью лежит внутри отрезка $[-1, 1]$, значит, решения есть.

2. При $k = 1$: получаем неравенство $-\frac{1}{2} + 1 < \cos x < 1$, то есть $\frac{1}{2} < \cos x < 1$. Этот интервал также полностью лежит внутри отрезка $[-1, 1]$, значит, решения есть.

3. При $k = -1$: получаем $-\frac{3}{2} < \cos x < -1$. Решений нет, так как $\cos x$ не может быть меньше $-1$.

4. При $k = 2$: получаем $\frac{3}{2} < \cos x < 2$. Решений нет, так как $\cos x$ не может быть больше $1$.

При других целых значениях $k$ интервалы для $\cos x$ также будут выходить за пределы отрезка $[-1, 1]$. Таким образом, нам необходимо найти объединение решений двух неравенств:

a) $-\frac{1}{2} < \cos x < 0$

б) $\frac{1}{2} < \cos x < 1$

Решим каждое из них. Для этого воспользуемся единичной тригонометрической окружностью.

Для неравенства $-\frac{1}{2} < \cos x < 0$ решениями являются дуги во второй и третьей четвертях. Это соответствует интервалам:

$x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для неравенства $\frac{1}{2} < \cos x < 1$ решениями являются дуги в первой и четвертой четвертях. Это соответствует интервалам:

$x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, 0 + 2\pi n\right) \cup \left(0 + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Мы исключили точку $x=2\pi n$, так как в ней $\cos x = 1$, а неравенство строгое.

Объединив все найденные интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, 0 + 2\pi n\right) \cup \left(0 + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) \cup \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

21.18. Решите неравенство:

1) $2\cos^4 x \le 0,5 + \cos2x$; 2) $2\cos2x - 5 < 4\sqrt{3} \sin x.$

1) $2\cos^4x \le 0,5 + \cos2x$

Преобразуем неравенство, используя формулу косинуса двойного угла $\cos2x = 2\cos^2x - 1$. Это позволит нам работать с выражением, содержащим только одну тригонометрическую функцию.

$2\cos^4x \le 0,5 + (2\cos^2x - 1)$

$2\cos^4x \le 2\cos^2x - 0,5$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$2\cos^4x - 2\cos^2x + 0,5 \le 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части на 2:

$4\cos^4x - 4\cos^2x + 1 \le 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \cos^2x$. Учитывая, что $0 \le \cos^2x \le 1$, получаем ограничение $0 \le t \le 1$. Неравенство принимает вид:

$4t^2 - 4t + 1 \le 0$

Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат разности:

$(2t - 1)^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, то есть $(2t - 1)^2 \ge 0$, данное неравенство может выполняться только в единственном случае — когда его левая часть равна нулю.

$(2t - 1)^2 = 0$

$2t - 1 = 0$

$t = \frac{1}{2}$

Полученное значение $t$ удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену:

$\cos^2x = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения следует, что $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями этих простейших тригонометрических уравнений являются серии корней:

$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эти четыре серии решений можно представить в более компактной форме. На тригонометрической окружности этим значениям соответствуют точки $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$. Расстояние между соседними точками составляет $\frac{\pi}{2}$. Поэтому все решения можно объединить в одну формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos2x - 5 < 4\sqrt{3}\sin x$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos2x = 1 - 2\sin^2x$, чтобы привести неравенство к одной тригонометрической функции — синусу.

$2(1 - 2\sin^2x) - 5 < 4\sqrt{3}\sin x$

$2 - 4\sin^2x - 5 < 4\sqrt{3}\sin x$

$-4\sin^2x - 3 < 4\sqrt{3}\sin x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство с положительным старшим коэффициентом:

$0 < 4\sin^2x + 4\sqrt{3}\sin x + 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sin x$. Поскольку область значений синуса $[-1; 1]$, то $-1 \le y \le 1$. Неравенство примет вид:

$4y^2 + 4\sqrt{3}y + 3 > 0$

Выражение в левой части является полным квадратом суммы:

$(2y)^2 + 2 \cdot (2y) \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 > 0$

$(2y + \sqrt{3})^2 > 0$

Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен. Он будет строго больше нуля всегда, за исключением случая, когда само выражение равно нулю.

Таким образом, неравенство выполняется при условии:

$2y + \sqrt{3} \neq 0$

$y \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ находится в пределах $[-1, 1]$, поэтому это ограничение имеет смысл.

Выполним обратную замену:

$\sin x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это означает, что исходное неравенство справедливо для всех действительных чисел $x$, кроме тех, для которых $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем эти исключаемые значения, решив уравнение:

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решениями этого уравнения являются две серии корней:

$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Следовательно, решением исходного неравенства являются все действительные числа, за исключением найденных серий.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x \neq \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

*21.19. Решите неравенство способом введения новой переменной.

1) $4\sin x + \frac{3}{\sin x} > 8;$

2) $4\cos x - \frac{5}{\cos x} > 8.$

1) Решим неравенство $4\sin x + \frac{3}{\sin x} > 8$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sin x$. Учитывая свойства функции синус и ОДЗ, имеем $t \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Неравенство принимает вид: $4t + \frac{3}{t} > 8$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$4t + \frac{3}{t} - 8 > 0$

$\frac{4t^2 - 8t + 3}{t} > 0$

Найдем корни числителя, решив уравнение $4t^2 - 8t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{8 - 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Таким образом, неравенство можно записать в виде $\frac{4(t - \frac{1}{2})(t - \frac{3}{2})}{t} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $t=0, t=1/2, t=3/2$. Они разбивают числовую прямую на интервалы. Проверив знак выражения на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $t \in (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$.

Теперь учтем ограничение на переменную $t$: $t \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Найдем пересечение множества решений $(0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$ с областью допустимых значений для $t$ $[-1, 0) \cup (0, 1]$.

Пересечением является интервал $t \in (0, \frac{1}{2})$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $0 < \sin x < \frac{1}{2}$.

Решая это двойное тригонометрическое неравенство на единичной окружности, находим интервалы, где ордината точки находится между 0 и 1/2. Это соответствует двум сериям решений:

$2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $4\cos x - \frac{5}{\cos x} > 8$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \cos x$. Учитывая свойства функции косинус и ОДЗ, имеем $t \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Неравенство принимает вид: $4t - \frac{5}{t} > 8$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$4t - \frac{5}{t} - 8 > 0$

$\frac{4t^2 - 8t - 5}{t} > 0$

Найдем корни числителя, решив уравнение $4t^2 - 8t - 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$.

Таким образом, неравенство можно записать в виде $\frac{4(t + \frac{1}{2})(t - \frac{5}{2})}{t} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $t=-1/2, t=0, t=5/2$. Они разбивают числовую прямую на интервалы. Проверив знак выражения на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $t \in (-\frac{1}{2}, 0) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$.

Теперь учтем ограничение на переменную $t$: $t \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Найдем пересечение множества решений $(-\frac{1}{2}, 0) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$ с областью допустимых значений для $t$ $[-1, 0) \cup (0, 1]$.

Пересечением является интервал $t \in (-\frac{1}{2}, 0)$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $-\frac{1}{2} < \cos x < 0$.

Решая это двойное тригонометрическое неравенство на единичной окружности, находим интервалы, где абсцисса точки находится между -1/2 и 0. Это соответствует двум сериям решений:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

21.20. Постройте график и запишите промежутки монотонности функции:

1) $y = x^2 - 2x - 1;$

2) $y = -x^2 + 2x + 2;$

3) $y = 2x^2 - 4x - 3.$

1) $y = x^2 - 2x - 1$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля ($a=1 > 0$).

Для построения графика найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Ордината вершины вычисляется подстановкой $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = (1)^2 - 2(1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -2)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 2(0) - 1 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.

С осью OX (при $y=0$): $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Точки пересечения: $(1 - \sqrt{2}, 0)$ и $(1 + \sqrt{2}, 0)$.

Для более точного построения графика найдем еще несколько точек. Например, точку, симметричную точке $(0, -1)$ относительно оси симметрии параболы $x=1$. Ее координаты $(2, -1)$.

На основе этих точек (вершина $(1, -2)$, точки $(0, -1)$, $(2, -1)$, $(1-\sqrt{2}, 0)$, $(1+\sqrt{2}, 0)$) строим параболу.

Промежутки монотонности определяются по вершине параболы. Так как ветви направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после нее.

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

Функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

2) $y = -x^2 + 2x + 2$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля ($a=-1 < 0$).

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Ордината вершины: $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$.

Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью OY (при $x=0$): $y = -(0)^2 + 2(0) + 2 = 2$. Точка пересечения $(0, 2)$.

С осью OX (при $y=0$): $-x^2 + 2x + 2 = 0$, или $x^2 - 2x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Точки пересечения: $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$.

Симметричная точке $(0, 2)$ относительно оси $x=1$ точка имеет координаты $(2, 2)$.

На основе этих точек (вершина $(1, 3)$, точки $(0, 2)$, $(2, 2)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$) строим параболу.

Промежутки монотонности. Так как ветви направлены вниз, функция возрастает до вершины и убывает после нее.

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.

Функция убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

3) $y = 2x^2 - 4x - 3$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля ($a=2 > 0$).

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$.

Ордината вершины: $y_v = 2(1)^2 - 4(1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5$.

Вершина параболы находится в точке $(1, -5)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью OY (при $x=0$): $y = 2(0)^2 - 4(0) - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

С осью OX (при $y=0$): $2x^2 - 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$.

Точки пересечения: $(\frac{2 - \sqrt{10}}{2}, 0)$ и $(\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, 0)$.

Симметричная точке $(0, -3)$ относительно оси $x=1$ точка имеет координаты $(2, -3)$.

На основе этих точек (вершина $(1, -5)$, точки $(0, -3)$, $(2, -3)$, $(\frac{2 - \sqrt{10}}{2}, 0)$, $(\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, 0)$) строим параболу.

Промежутки монотонности. Так как ветви направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после нее.

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

Функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

21.21. Постройте график и запишите промежутки монотонности функции:

1) $y = |x^2 + 2x - 1|;$

2) $y = |-x^2 + 2x - 1|;$

3) $y = |-2x^2 - 4x + 3|.$

1) $y = |x^2 + 2x - 1|$

Для построения графика функции $y = |x^2 + 2x - 1|$ сначала построим график параболы $g(x) = x^2 + 2x - 1$. Затем часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс (оси Ox), симметрично отразим относительно этой оси.

Анализ функции $g(x) = x^2 + 2x - 1$:

1. Это квадратичная функция, график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

$x_в = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.

$y_в = g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, -2)$.

3. Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $x^2 + 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Корни: $x_{1,2} = (-2 \pm \sqrt{8}) / 2 = (-2 \pm 2\sqrt{2}) / 2 = -1 \pm \sqrt{2}$.

Точки пересечения с осью Ox: $x_1 = -1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{2}$.

4. Построение графика $y = |x^2 + 2x - 1|$:

Часть параболы $g(x)$, где $x \in (-\infty, -1-\sqrt{2}] \cup [-1+\sqrt{2}, +\infty)$, находится выше или на оси Ox и остается без изменений.

Часть параболы, где $x \in (-1-\sqrt{2}, -1+\sqrt{2})$, находится ниже оси Ox. Эту часть мы отражаем симметрично относительно оси Ox. Вершина $(-1, -2)$ перейдет в точку $(-1, 2)$.

Промежутки монотонности для $y = |x^2 + 2x - 1|$ определяются по итоговому графику:

- Функция убывает на промежутках $(-\infty, -1-\sqrt{2}]$ и $[-1, -1+\sqrt{2}]$.

- Функция возрастает на промежутках $[-1-\sqrt{2}, -1]$ и $[-1+\sqrt{2}, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -1-\sqrt{2}]$ и $[-1, -1+\sqrt{2}]$; функция возрастает на промежутках $[-1-\sqrt{2}, -1]$ и $[-1+\sqrt{2}, +\infty)$.

2) $y = |-x^2 + 2x - 1|$

Рассмотрим внутреннюю функцию $g(x) = -x^2 + 2x - 1$. Ее можно представить в виде $g(x) = -(x^2 - 2x + 1) = -(x-1)^2$.

1. График функции $g(x) = -(x-1)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$).

2. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, так как это стандартная парабола $y=-x^2$, смещенная на 1 единицу вправо.

3. Поскольку вершина параболы лежит на оси Ox и ветви направлены вниз, вся парабола находится ниже или на оси Ox, то есть $g(x) \le 0$ для всех $x$.

4. Для построения графика $y = |g(x)| = |-(x-1)^2|$, мы должны отразить всю параболу $g(x)$ относительно оси Ox. Это равносильно тому, чтобы убрать знак "минус" перед скобкой.

Таким образом, $y = -(-(x-1)^2) = (x-1)^2$.

5. Итоговый график — это парабола $y = (x-1)^2$ с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Промежутки монотонности для $y = (x-1)^2$:

- Функция убывает при $x \le 1$, то есть на промежутке $(-\infty, 1]$.

- Функция возрастает при $x \ge 1$, то есть на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$; функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

3) $y = |-2x^2 - 4x + 3|$

Сначала построим график параболы $g(x) = -2x^2 - 4x + 3$, а затем отразим ее отрицательную часть относительно оси Ox.

Анализ функции $g(x) = -2x^2 - 4x + 3$:

1. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-2 < 0$.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

$x_в = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot (-2)) = 4 / (-4) = -1$.

$y_в = g(-1) = -2(-1)^2 - 4(-1) + 3 = -2 + 4 + 3 = 5$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, 5)$.

3. Найдем нули функции, решив уравнение $-2x^2 - 4x + 3 = 0$ или $2x^2 + 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$.

Корни: $x_{1,2} = (-4 \pm \sqrt{40}) / (2 \cdot 2) = (-4 \pm 2\sqrt{10}) / 4 = (-2 \pm \sqrt{10}) / 2$.

Точки пересечения с осью Ox: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}$ и $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}$.

4. Построение графика $y = |-2x^2 - 4x + 3|$:

Парабола $g(x)$ находится выше оси Ox на интервале между корнями $(x_1, x_2)$, эта часть графика остается без изменений. Вершина $(-1, 5)$ также остается на месте.

Части параболы, где $x \le x_1$ и $x \ge x_2$, находятся ниже оси Ox, их мы отражаем симметрично относительно оси Ox.

Промежутки монотонности для $y = |-2x^2 - 4x + 3|$ определяются по итоговому графику:

- На промежутке $(-\infty, \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}]$ исходная функция возрастала и была отрицательной. После отражения она убывает.

- На промежутке $[\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, -1]$ исходная функция возрастала и была положительной. Она остается возрастающей.

- На промежутке $[-1, \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}]$ исходная функция убывала и была положительной. Она остается убывающей.

- На промежутке $[\frac{-2 + \sqrt{10}}{2}, +\infty)$ исходная функция убывала и была отрицательной. После отражения она возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}]$ и $[-1, \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}]$; функция возрастает на промежутках $[\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, -1]$ и $[\frac{-2 + \sqrt{10}}{2}, +\infty)$.

*21.22. Найдите период функции:

1) $y = \{2x\} + \tan(2\pi x);$

2) $y = \cot(6x) - \sin(3x);$

3) $y = 2\{x\} + \cos(4\pi x);$

4) $y = \left\{\frac{x}{3}\right\} + 2\cot\frac{\pi x}{3}.$

1) $y = \{2x\} + \operatorname{tg}2\pi x$

Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \{2x\}$ и $f_2(x) = \operatorname{tg}2\pi x$.

Найдем период каждой из них.

Функция $\{u\}$ (дробная часть числа) имеет основной период 1. Период функции $\{kx\}$ равен $T = \frac{1}{|k|}$.

Для функции $f_1(x) = \{2x\}$ коэффициент $k=2$, следовательно, ее период $T_1 = \frac{1}{2}$.

Функция $\operatorname{tg} u$ имеет основной период $\pi$. Период функции $\operatorname{tg}kx$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для функции $f_2(x) = \operatorname{tg}2\pi x$ коэффициент $k=2\pi$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$.

Период суммы двух функций с одинаковым периодом равен этому периоду. В нашем случае $T_1 = T_2 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y$ равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $y = \operatorname{ctg}6x - \sin3x$

Данная функция является разностью двух периодических функций: $f_1(x) = \operatorname{ctg}6x$ и $f_2(x) = \sin3x$.

Найдем период каждой из них.

Функция $\operatorname{ctg} u$ имеет основной период $\pi$. Период функции $\operatorname{ctg}kx$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для функции $f_1(x) = \operatorname{ctg}6x$ коэффициент $k=6$, следовательно, ее период $T_1 = \frac{\pi}{6}$.

Функция $\sin u$ имеет основной период $2\pi$. Период функции $\sin kx$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $f_2(x) = \sin3x$ коэффициент $k=3$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{2\pi}{3}$.

Период суммы (разности) двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3})$.

Чтобы найти НОК, найдем такие наименьшие натуральные числа $n_1$ и $n_2$, что $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$.

$n_1 \frac{\pi}{6} = n_2 \frac{2\pi}{3} \implies \frac{n_1}{6} = \frac{2n_2}{3} \implies n_1 = 4n_2$.

Наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие этому равенству, это $n_2 = 1$ и $n_1 = 4$.

Тогда $T = 1 \cdot T_2 = \frac{2\pi}{3}$. (Проверка: $T = 4 \cdot T_1 = 4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$).

Таким образом, наименьший положительный период функции $y$ равен $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

3) $y = 2\{x\} + \cos4\pi x$

Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = 2\{x\}$ и $f_2(x) = \cos4\pi x$.

Найдем период каждой из них.

Функция $\{x\}$ имеет основной период 1. Умножение на константу 2 не изменяет период. Таким образом, период функции $f_1(x) = 2\{x\}$ равен $T_1 = 1$.

Функция $\cos u$ имеет основной период $2\pi$. Период функции $\cos kx$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $f_2(x) = \cos4\pi x$ коэффициент $k=4\pi$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.

Период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, \frac{1}{2})$.

Нужно найти такое наименьшее число $T$, которое целое число раз содержит в себе и 1, и $\frac{1}{2}$.

Очевидно, что $T=1$. $1 = 1 \cdot T_1$ и $1 = 2 \cdot T_2$.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y$ равен $1$.

Ответ: $1$.

4) $y = \{\frac{x}{3}\} + 2\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}$

Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \{\frac{x}{3}\}$ и $f_2(x) = 2\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}$.

Найдем период каждой из них.

Функция $\{u\}$ имеет основной период 1. Период функции $\{kx\}$ равен $T = \frac{1}{|k|}$.

Для функции $f_1(x) = \{\frac{x}{3}\}$ коэффициент $k=\frac{1}{3}$, следовательно, ее период $T_1 = \frac{1}{1/3} = 3$.

Функция $\operatorname{ctg} u$ имеет основной период $\pi$. Период функции $\operatorname{ctg}kx$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Умножение на константу 2 не изменяет период.

Для функции $f_2(x) = 2\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}$ коэффициент $k=\frac{\pi}{3}$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{\pi}{\pi/3} = 3$.

Период суммы двух функций с одинаковым периодом равен этому периоду. В нашем случае $T_1 = T_2 = 3$.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y$ равен $3$.

Ответ: $3$.

1. Корнями уравнения $sin 5xcos3x - cos5xsin 3x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ являются:

A) $(-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$;

B) $(-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$;

C) $\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;

D) $\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{6} + 0,5\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Дано тригонометрическое уравнение $sin(5x)cos(3x) - cos(5x)sin(3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Левая часть этого уравнения представляет собой разность произведений синуса и косинуса, что соответствует формуле синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

Применим данную формулу, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$.

$sin(5x - 3x) = sin(2x)$.

Таким образом, исходное уравнение упрощается до следующего вида:

$sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения вида $sin(t) = a$ находится по формуле $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдём значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу общего решения:

$2x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k$.

Используя свойство $(-1) \cdot (-1)^k = (-1)^{k+1}$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k}{2}$.

$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Полученное выражение для $x$ соответствует варианту B.

Ответ: B) $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.