Страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

20.16. Решите уравнение разложением на множители:

1) $ \cos(2(x + 60^\circ)) + 4\sin(x + 60^\circ) = 2,5; $

2) $ 8\cos^4 x = 11\cos 2x - 1; $

3) $ 9\cot^2 x + 4\sin^2 x = 6; $

4) $ 2\cos^2(2x + 60^\circ) - 3\sin^2(x + 30^\circ) = 2. $

1) Исходное уравнение: $cos(2(x + 60°)) + 4sin(x + 60°) = 2,5$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + 60°$. Уравнение примет вид:

$cos(2y) + 4sin(y) = 2,5$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2y) = 1 - 2sin^2(y)$:

$1 - 2sin^2(y) + 4sin(y) = 2,5$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $sin(y)$:

$2sin^2(y) - 4sin(y) + 1,5 = 0$.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$4sin^2(y) - 8sin(y) + 3 = 0$.

Сделаем еще одну замену. Пусть $t = sin(y)$, где $-1 \le t \le 1$.

$4t^2 - 8t + 3 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8}$.

$t_1 = \frac{8+4}{8} = \frac{12}{8} = 1,5$. Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.

$t_2 = \frac{8-4}{8} = \frac{4}{8} = 0,5$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене $sin(y) = 0,5$.

Общее решение для $y$: $y = (-1)^n \cdot arcsin(0,5) + 180° \cdot n$, где $n \in Z$.

$y = (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n$, $n \in Z$.

Теперь возвращаемся к исходной переменной $x$, зная что $y = x + 60°$:

$x + 60° = (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n$.

$x = (-1)^n \cdot 30° - 60° + 180° \cdot n$, $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^n \cdot 30° - 60° + 180° \cdot n$, $n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $8cos^4x = 11cos2x - 1$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos2x = 2cos^2x - 1$, чтобы привести уравнение к одной функции $cosx$.

$8cos^4x = 11(2cos^2x - 1) - 1$.

$8cos^4x = 22cos^2x - 11 - 1$.

$8cos^4x - 22cos^2x + 12 = 0$.

Разделим обе части на 2:

$4cos^4x - 11cos^2x + 6 = 0$.

Это биквадратное уравнение относительно $cosx$. Сделаем замену $t = cos^2x$, где $0 \le t \le 1$.

$4t^2 - 11t + 6 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$.

$t_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{8} = \frac{11 \pm 5}{8}$.

$t_1 = \frac{11+5}{8} = \frac{16}{8} = 2$. Этот корень не удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.

$t_2 = \frac{11-5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене: $cos^2x = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени $cos^2x = \frac{1+cos2x}{2}$:

$\frac{1+cos2x}{2} = \frac{3}{4}$.

$1+cos2x = \frac{3}{2}$.

$cos2x = \frac{1}{2}$.

Решаем это уравнение:

$2x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 360° \cdot k$, где $k \in Z$.

$2x = \pm 60° + 360° \cdot k$.

$x = \pm 30° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

Ответ: $x = \pm 30° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

3) Исходное уравнение: $9ctg^2x + 4sin^2x = 6$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $sin x \neq 0$, так как $ctgx = \frac{cosx}{sinx}$. Это значит $x \neq 180° \cdot k$, $k \in Z$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $ctg^2x = \frac{cos^2x}{sin^2x} = \frac{1-sin^2x}{sin^2x}$.

$9\frac{1-sin^2x}{sin^2x} + 4sin^2x = 6$.

Сделаем замену $t = sin^2x$. Учитывая ОДЗ, $0 < t \le 1$.

$9\frac{1-t}{t} + 4t = 6$.

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$9(1-t) + 4t^2 = 6t$.

$9 - 9t + 4t^2 - 6t = 0$.

$4t^2 - 15t + 9 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81$.

$t_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{15 \pm 9}{8}$.

$t_1 = \frac{15+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$. Этот корень не удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.

$t_2 = \frac{15-9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене: $sin^2x = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени $sin^2x = \frac{1-cos2x}{2}$:

$\frac{1-cos2x}{2} = \frac{3}{4}$.

$1-cos2x = \frac{3}{2}$.

$cos2x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Решаем это уравнение:

$2x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 360° \cdot k$, где $k \in Z$.

$2x = \pm 120° + 360° \cdot k$.

$x = \pm 60° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как не являются кратными $180°$.

Ответ: $x = \pm 60° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

4) Исходное уравнение: $2cos^2(2x + 60°) - 3sin^2(x + 30°) = 2$.

Заметим, что $2x + 60° = 2(x + 30°)$. Сделаем замену $y = x + 30°$.

Уравнение примет вид:

$2cos^2(2y) - 3sin^2(y) = 2$.

Используем формулу понижения степени для синуса: $sin^2y = \frac{1-cos(2y)}{2}$.

$2cos^2(2y) - 3\frac{1-cos(2y)}{2} = 2$.

Умножим обе части на 2:

$4cos^2(2y) - 3(1-cos(2y)) = 4$.

$4cos^2(2y) - 3 + 3cos(2y) - 4 = 0$.

$4cos^2(2y) + 3cos(2y) - 7 = 0$.

Сделаем замену $t = cos(2y)$, где $-1 \le t \le 1$.

$4t^2 + 3t - 7 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121$.

$t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{8} = \frac{-3 \pm 11}{8}$.

$t_1 = \frac{-3+11}{8} = \frac{8}{8} = 1$. Этот корень подходит.

$t_2 = \frac{-3-11}{8} = \frac{-14}{8} = -1,75$. Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.

Возвращаемся к замене: $cos(2y) = 1$.

Это частный случай, решение которого:

$2y = 360° \cdot k$, где $k \in Z$.

$y = 180° \cdot k$.

Теперь возвращаемся к исходной переменной $x$, зная что $y = x + 30°$:

$x + 30° = 180° \cdot k$.

$x = -30° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

Ответ: $x = -30° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

20.17. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \cos x \cdot \cos y = 0,5, \\ \sin(x + y) \cdot \sin(x - y) = 0,75; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} \sin^2 x + \sin y = 1, \\ \cos^2 x + \cos y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -0,5, \\ \cos x \cdot \sin y = 0,5. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\cos x \cdot \cos y = 0,5 \\\sin(x + y) \cdot \sin(x - y) = 0,75\end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу произведения синусов $\sin \alpha \cdot \sin \beta = \sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta$ или более удобную $\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$. В нашем случае, раскроем синусы суммы и разности:

$\sin(x + y) \cdot \sin(x - y) = (\sin x \cos y + \cos x \sin y)(\sin x \cos y - \cos x \sin y)$

Это формула разности квадратов, поэтому:

$\sin^2 x \cos^2 y - \cos^2 x \sin^2 y = 0,75$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$:

$(1 - \cos^2 x) \cos^2 y - \cos^2 x (1 - \cos^2 y) = 0,75$

$\cos^2 y - \cos^2 x \cos^2 y - \cos^2 x + \cos^2 x \cos^2 y = 0,75$

$\cos^2 y - \cos^2 x = 0,75$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases}\cos x \cos y = 0,5 \\\cos^2 y - \cos^2 x = 0,75\end{cases}$

Пусть $u = \cos x$ и $v = \cos y$. Система примет вид:

$\begin{cases}uv = 0,5 \\v^2 - u^2 = 0,75\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $u = \frac{0,5}{v}$ и подставим во второе:

$v^2 - (\frac{0,5}{v})^2 = 0,75$

$v^2 - \frac{0,25}{v^2} = 0,75$

Домножим на $v^2$ (где $v \neq 0$, так как $uv=0,5$):

$v^4 - 0,75v^2 - 0,25 = 0$

Сделаем замену $t = v^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 - 0,75t - 0,25 = 0$

Умножим на 4 для удобства: $4t^2 - 3t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

$t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 5}{8}$.

$t_1 = \frac{8}{8} = 1$ и $t_2 = \frac{-2}{8} = -0,25$.

Так как $t = \cos^2 y \ge 0$, корень $t_2$ не подходит.

Итак, $t=1$, значит $\cos^2 y = 1$, откуда $\cos y = 1$ или $\cos y = -1$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\cos y = 1$.

Из уравнения $\cos x \cos y = 0,5$ получаем $\cos x \cdot 1 = 0,5 \Rightarrow \cos x = 0,5$.

Решения этой системы:$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$y = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $\cos y = -1$.

Из уравнения $\cos x \cos y = 0,5$ получаем $\cos x \cdot (-1) = 0,5 \Rightarrow \cos x = -0,5$.

Решения этой системы:$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$y = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n; 2\pi k), (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m; \pi + 2\pi p)$, где $n, k, m, p \in \mathbb{Z}$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\sin^2 x + \sin y = 1 \\\cos^2 x + \cos y = 1\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin y + \cos y) = 1 + 1$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$1 + \sin y + \cos y = 2$

$\sin y + \cos y = 1$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Умножим его на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin y + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \frac{\pi}{4} \sin y + \sin \frac{\pi}{4} \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(y + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда получаем две серии решений для $y$:

1) $y + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow y = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $y + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $y = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Тогда $\sin y = \sin(2\pi k) = 0$ и $\cos y = \cos(2\pi k) = 1$.

Подставим в первое уравнение исходной системы: $\sin^2 x + 0 = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 1$, откуда $\sin x = \pm 1$. Это означает $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Подставим во второе уравнение: $\cos^2 x + 1 = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 0$, откуда $\cos x = 0$. Это те же значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Первая серия решений: $(x, y) = (\frac{\pi}{2} + \pi m, 2\pi k)$, где $m, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Тогда $\sin y = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 1$ и $\cos y = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$.

Подставим в первое уравнение: $\sin^2 x + 1 = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 0$, откуда $\sin x = 0$. Это означает $x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Подставим во второе уравнение: $\cos^2 x + 0 = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1$, откуда $\cos x = \pm 1$. Это те же значения $x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия решений: $(x, y) = (\pi m, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $m, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + \pi m, 2\pi k), (\pi p, \frac{\pi}{2} + 2\pi q)$, где $m, k, p, q \in \mathbb{Z}$.

3) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\sin x \cos y = -0,5 \\\cos x \sin y = 0,5\end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы использовать формулу синуса суммы:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y = -0,5 + 0,5$

$\sin(x + y) = 0$

Отсюда $x + y = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы использовать формулу синуса разности:

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = -0,5 - 0,5$

$\sin(x - y) = -1$

Отсюда $x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Получили систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$\begin{cases}x + y = \pi k \\x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$2x = \pi k - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$2y = \pi k - (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \pi k + \frac{\pi}{2} - 2\pi n$

$y = \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{4} - \pi n$

Это общее решение системы с двумя целочисленными параметрами $k$ и $n$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n, y = \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{4} - \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

20.18. Решите относительно переменной x неравенство:

1) $\cos 4 \cdot (2x - 1) < 0;$

2) $\cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 - 1) < 0.$

1) Рассмотрим неравенство $cos(4) \cdot (2x - 1) < 0$.

Это линейное неравенство относительно переменной $x$. Его решение зависит от знака числового коэффициента $cos(4)$.

Аргумент функции косинус, равный 4, выражен в радианах. Определим знак этого числа. Воспользуемся известными приближенными значениями числа $\pi$: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$.

Поскольку выполняется двойное неравенство $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (то есть $3.14 < 4 < 4.71$), угол в 4 радиана находится в третьей координатной четверти.

Косинус в третьей четверти принимает отрицательные значения, следовательно, $cos(4) < 0$.

Неравенство представляет собой произведение двух множителей, которое должно быть отрицательным. Так как первый множитель $cos(4)$ отрицателен, то второй множитель $(2x - 1)$ должен быть положительным.

Другой способ рассуждения: разделим обе части исходного неравенства на отрицательное число $cos(4)$. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\frac{cos(4) \cdot (2x - 1)}{cos(4)} > \frac{0}{cos(4)}$

$2x - 1 > 0$

Решим полученное простое линейное неравенство:

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Решением неравенства является открытый луч $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $cos^3(5) \cdot cos(5) \cdot (x^2 - 1) < 0$.

Сначала упростим выражение в левой части, перемножив косинусы:

$cos^3(5) \cdot cos(5) = cos^4(5)$

Неравенство принимает вид:

$cos^4(5) \cdot (x^2 - 1) < 0$

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Определим знак числового коэффициента $cos^4(5)$.

Выражение $cos^4(5)$ — это четвертая (четная) степень числа $cos(5)$. Четная степень любого действительного числа, отличного от нуля, всегда положительна. Необходимо убедиться, что $cos(5) \neq 0$.

Функция косинус обращается в ноль при углах, равных $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сравним 5 с ближайшими значениями такого вида: $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Так как 5 не равно ни одному из этих значений, $cos(5) \neq 0$.

Следовательно, коэффициент $cos^4(5)$ является строго положительным числом: $cos^4(5) > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $cos^4(5)$. Знак неравенства при этом не меняется:

$\frac{cos^4(5) \cdot (x^2 - 1)}{cos^4(5)} < \frac{0}{cos^4(5)}$

$x^2 - 1 < 0$

Решим полученное квадратичное неравенство:

$x^2 < 1$

Это неравенство равносильно системе $\begin{cases} x < 1 \\ x > -1 \end{cases}$, или двойному неравенству $-1 < x < 1$.

Также можно использовать метод интервалов. Разложим левую часть на множители: $(x-1)(x+1) < 0$. Корни соответствующего уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Парабола $y = x^2 - 1$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

20.19. Найдите знак выражения:

1) $\operatorname{tg}2 \cdot \operatorname{ctg}2 + \cos^2\pi - \sin^2{35} - \cos^2{35};$

2) $\cos1 \cdot \cos(1 + \pi) + \sin60^\circ - \cos30^\circ;$

3) $\sin1 \cdot \cos2;$

4) $\sin(-3) \cdot \sin4 \cdot \cos5.$

1) Рассмотрим выражение $\text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 + \cos^2\pi - \sin^2{35} - \cos^2{35}$.

Первый член выражения $\text{tg}2 \cdot \text{ctg}2$ равен 1, так как произведение тангенса и котангенса одного и того же угла (если они определены) равно 1. Угол 2 радиана находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$), где тангенс и котангенс определены.

Второй член выражения $\cos^2\pi$. Мы знаем, что $\cos\pi = -1$, следовательно, $\cos^2\pi = (-1)^2 = 1$.

Последние два члена $- \sin^2{35} - \cos^2{35}$ можно преобразовать, вынеся минус за скобки: $-(\sin^2{35} + \cos^2{35})$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $-1$.

Сложим все части: $1 + 1 - 1 = 1$.

Полученное значение равно 1, оно положительное.

Ответ: знак плюс.

2) Рассмотрим выражение $\cos1 \cdot \cos(1 + \pi) + \sin{60^\circ} - \cos{30^\circ}$.

Используем формулу приведения для $\cos(1 + \pi)$. Формула гласит: $\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$. Таким образом, $\cos(1 + \pi) = -\cos1$.

Тогда первая часть выражения равна $\cos1 \cdot (-\cos1) = -\cos^21$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $\sin{60^\circ} - \cos{30^\circ}$. Это табличные значения: $\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\sin{60^\circ} - \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Всё выражение равно $-\cos^21 + 0 = -\cos^21$.

Угол 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), поэтому $\cos1 > 0$ и $\cos1 \neq 0$. Квадрат любого ненулевого числа положителен, то есть $\cos^21 > 0$.

Таким образом, $-\cos^21$ является отрицательным числом.

Ответ: знак минус.

3) Рассмотрим выражение $\sin1 \cdot \cos2$.

Определим знаки каждого множителя. Для этого определим, в каких четвертях лежат углы 1 и 2 радиана, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

Для угла 1 радиан: $0 < 1 < 1.57$, то есть $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$. Этот угол находится в I четверти. Синус в I четверти положителен, значит $\sin1 > 0$.

Для угла 2 радиана: $1.57 < 2 < 3.14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$. Этот угол находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, значит $\cos2 < 0$.

Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Следовательно, $\sin1 \cdot \cos2 < 0$.

Ответ: знак минус.

4) Рассмотрим выражение $\sin(-3) \cdot \sin4 \cdot \cos5$.

Определим знак каждого множителя. Используем приближенные значения $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

Первый множитель $\sin(-3)$. Функция синус нечетная, поэтому $\sin(-3) = -\sin3$. Угол 3 радиана находится во II четверти ($\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$), где синус положителен ($\sin3 > 0$). Следовательно, $\sin(-3) < 0$.

Второй множитель $\sin4$. Угол 4 радиана находится в III четверти ($\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$), где синус отрицателен. Следовательно, $\sin4 < 0$.

Третий множитель $\cos5$. Угол 5 радиан находится в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$), где косинус положителен. Следовательно, $\cos5 > 0$.

Перемножим знаки: $(-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$.

Результат произведения — положительное число.

Ответ: знак плюс.

20.20. Решите методом интервалов неравенство:

1) $(x - 4)(x + 3)(x - 2)^2 \ge 0;$

2) $(2x - 3)(x + 6)(3x - 2)^3 \le 0;$

3) $\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} \le \frac{1}{x + 1}.$

1) $(x-4)(x+3)(x-2)^2 \ge 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого сначала найдем нули функции $f(x) = (x-4)(x+3)(x-2)^2$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x-4=0 \Rightarrow x_1=4$ (корень нечетной кратности 1).

$x+3=0 \Rightarrow x_2=-3$ (корень нечетной кратности 1).

$(x-2)^2=0 \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x_3=2$ (корень четной кратности 2).

Отметим найденные нули на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), все точки будут закрашенными, то есть войдут в решение.

Точки $-3$, $2$ и $4$ разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=5$:

$(5-4)(5+3)(5-2)^2 = 1 \cdot 8 \cdot 3^2 = 72$. Значение положительное, значит, на интервале $(4; +\infty)$ ставим знак «+».

Двигаясь справа налево, будем менять знак при переходе через корень нечетной кратности и сохранять знак при переходе через корень четной кратности.

При переходе через точку $x=4$ (нечетная кратность) знак меняется на «−». На интервале $(2; 4)$ знак «−».

При переходе через точку $x=2$ (четная кратность) знак не меняется. На интервале $(-3; 2)$ знак также «−».

При переходе через точку $x=-3$ (нечетная кратность) знак меняется на «+». На интервале $(-\infty; -3)$ знак «+».

Нам нужно найти промежутки, где выражение больше или равно нулю ($f(x) \ge 0$). Это интервалы со знаком «+», а также все нули функции.

Решением является объединение промежутков $(-\infty; -3]$, $[4; +\infty)$ и изолированной точки $x=2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup \{2\} \cup [4; +\infty)$.

2) $(2x-3)(x+6)(3x-2)^3 \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения $g(x) = (2x-3)(x+6)(3x-2)^3$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$2x-3=0 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} = 1.5$ (корень нечетной кратности 1).

$x+6=0 \Rightarrow x_2 = -6$ (корень нечетной кратности 1).

$(3x-2)^3=0 \Rightarrow 3x-2=0 \Rightarrow x_3 = \frac{2}{3}$ (корень нечетной кратности 3).

Отметим точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-6$, $\frac{2}{3}$, $1.5$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому все точки включаются в решение.

Точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 1.5)$, $(1.5; +\infty)$.

Определим знак на крайнем правом интервале, взяв пробную точку $x=2$:

$(2\cdot2-3)(2+6)(3\cdot2-2)^3 = 1 \cdot 8 \cdot 4^3 > 0$. Знак «+».

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому при переходе через каждую точку знак будет меняться.

Расставим знаки на интервалах справа налево: «+», «−», «+», «−».

Нам нужно найти промежутки, где выражение меньше или равно нулю ($g(x) \le 0$). Это интервалы со знаком «−», включая граничные точки.

Решением являются промежутки $(-\infty; -6]$ и $[\frac{2}{3}; 1.5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [\frac{2}{3}; 1.5]$.

3) $\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+3} \le \frac{1}{x+1}$

Для решения перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+1} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 3$, $x \ne -3$, $x \ne -1$.

Общий знаменатель равен $(x-3)(x+3)(x+1)$.

$\frac{2(x+3)(x+1) - 1(x-3)(x+1) - 1(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{2(x^2+4x+3) - (x^2-2x-3) - (x^2-9)}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

$\frac{2x^2+8x+6 - x^2+2x+3 - x^2+9}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

$\frac{10x+18}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

Теперь применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $10x+18=0 \Rightarrow x = -1.8$. Эта точка является решением, так как неравенство нестрогое.

Нули знаменателя: $x=3$, $x=-3$, $x=-1$. Эти точки не входят в ОДЗ, поэтому на числовой прямой они будут выколотыми.

Расположим точки на числовой прямой: $-3$, $-1.8$, $-1$, $3$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$, взяв $x=4$:

$\frac{10(4)+18}{(4-3)(4+3)(4+1)} = \frac{58}{1 \cdot 7 \cdot 5} > 0$. Знак «+».

Все нули (и числителя, и знаменателя) имеют кратность 1, поэтому знаки на интервалах чередуются: «+», «−», «+», «−», «+».

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «−».

Получаем промежутки $(-3; -1.8]$ (точка $-1.8$ включена) и $(-1; 3)$ (точки $-1$ и $3$ выколоты).

Ответ: $x \in (-3; -1.8] \cup (-1; 3)$.

20.21. Решите с помощью графика квадратичной функции и методом интервалов неравенство:

1) $x^2 + 3x - 18 \ge 0;$

2) $-5x^2 - 12x + 17 \le 0;$

3) $6x^2 - 13x - 5 > 0.$

1) $x^2 + 3x - 18 \ge 0$

Решим данное неравенство двумя способами.

С помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 3x - 18$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (нули функции), решив уравнение $x^2 + 3x - 18 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 - 9}{2} = -6$;

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 3$.

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -6$ и $x = 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции $y$ будут неотрицательными ($y \ge 0$) на промежутках левее корня $-6$ и правее корня $3$, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -6] \cup [3, \infty)$.

Методом интервалов:

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 18$. Как мы уже выяснили, это $x_1 = -6$ и $x_2 = 3$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -6]$, $[-6, 3]$ и $[3, \infty)$.

Определим знак выражения $x^2 + 3x - 18$ в каждом интервале, выбрав по одной пробной точке:

• Интервал $(-\infty, -6)$: возьмем $x = -7$. $(-7)^2 + 3(-7) - 18 = 49 - 21 - 18 = 10 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-6, 3)$: возьмем $x = 0$. $0^2 + 3(0) - 18 = -18 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(3, \infty)$: возьмем $x = 4$. $4^2 + 3(4) - 18 = 16 + 12 - 18 = 10 > 0$. Знак "+".

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это промежутки со знаком "+", включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [3, \infty)$.

2) $-5x^2 - 12x + 17 \le 0$

Решим данное неравенство двумя способами.

С помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = -5x^2 - 12x + 17$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-5 < 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $-5x^2 - 12x + 17 = 0$. Для удобства умножим уравнение на $-1$: $5x^2 + 12x - 17 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-17) = 144 + 340 = 484 = 22^2$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-12 - 22}{2 \cdot 5} = \frac{-34}{10} = -3.4$;

$x_2 = \frac{-12 + 22}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -3.4$ и $x = 1$. Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции $y$ будут неположительными ($y \le 0$) на промежутках левее корня $-3.4$ и правее корня $1$, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3.4] \cup [1, \infty)$.

Методом интервалов:

Найдем корни квадратного трехчлена $-5x^2 - 12x + 17$. Корни: $x_1 = -3.4$ и $x_2 = 1$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -3.4]$, $[-3.4, 1]$ и $[1, \infty)$.

Определим знак выражения $-5x^2 - 12x + 17$ в каждом интервале:

• Интервал $(-\infty, -3.4)$: возьмем $x = -4$. $-5(-4)^2 - 12(-4) + 17 = -80 + 48 + 17 = -15 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-3.4, 1)$: возьмем $x = 0$. $-5(0)^2 - 12(0) + 17 = 17 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(1, \infty)$: возьмем $x = 2$. $-5(2)^2 - 12(2) + 17 = -20 - 24 + 17 = -27 < 0$. Знак "-".

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это промежутки со знаком "-", включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -3.4] \cup [1, \infty)$.

3) $6x^2 - 13x - 5 > 0$

Решим данное неравенство двумя способами.

С помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = 6x^2 - 13x - 5$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=6 > 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $6x^2 - 13x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-13) - 17}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 17}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$;

$x_2 = \frac{-(-13) + 17}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -1/3$ и $x = 2.5$. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции $y$ будут положительными ($y > 0$) на промежутках левее корня $-1/3$ и правее корня $2.5$. Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2.5, \infty)$.

Методом интервалов:

Найдем корни квадратного трехчлена $6x^2 - 13x - 5$. Корни: $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 2.5$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 2.5)$ и $(2.5, \infty)$.

Определим знак выражения $6x^2 - 13x - 5$ в каждом интервале:

• Интервал $(-\infty, -1/3)$: возьмем $x = -1$. $6(-1)^2 - 13(-1) - 5 = 6 + 13 - 5 = 14 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-1/3, 2.5)$: возьмем $x = 0$. $6(0)^2 - 13(0) - 5 = -5 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(2.5, \infty)$: возьмем $x = 3$. $6(3)^2 - 13(3) - 5 = 54 - 39 - 5 = 10 > 0$. Знак "+".

Нас интересуют промежутки, где выражение строго больше нуля. Это промежутки со знаком "+", не включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2.5, \infty)$.

20.22. Расположите в порядке возрастания значений выражения:

1) $sin(2)$, $sin(3)$, $cos(4)$, $cos(5)$;

2) $sin(3)$, $sin(4)$, $sin(6)$, $sin(7)$.

1) Для того чтобы расположить в порядке возрастания значения выражений $\sin2, \sin3, \cos4, \cos5$, определим их знаки и сравним их между собой. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Определим, в каких четвертях координатной плоскости находятся углы 2, 3, 4 и 5 радиан:

- Угол 2 радиана: так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$, то $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$. Этот угол находится во второй четверти. Синус во второй четверти положителен, значит, $\sin2 > 0$.

- Угол 3 радиана: так как $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, этот угол также находится во второй четверти. Синус здесь положителен, значит, $\sin3 > 0$.

- Угол 4 радиана: так как $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, то $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$. Этот угол находится в третьей четверти. Косинус в третьей четверти отрицателен, значит, $\cos4 < 0$.

- Угол 5 радиан: так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 6,28$, то $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. Этот угол находится в четвертой четверти. Косинус в четвертой четверти положителен, значит, $\cos5 > 0$.

Таким образом, у нас одно отрицательное число ($\cos4$) и три положительных ($\sin2, \sin3, \cos5$). Наименьшим значением будет $\cos4$.

Теперь сравним положительные значения: $\sin2, \sin3, \cos5$.

Сравним $\sin2$ и $\sin3$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ функция $y = \sin x$ убывает. Поскольку $2 < 3$, то $\sin2 > \sin3$.

Для сравнения всех трех значений приведем их к значениям функций от углов в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$:

- $\sin3 = \sin(\pi - 3)$. Так как $\pi - 3 \approx 3,14 - 3 = 0,14$, и $0 < 0,14 < \frac{\pi}{2}$.

- $\cos5 = \sin(5 - \frac{3\pi}{2})$. Так как $5 - \frac{3\pi}{2} \approx 5 - 4,71 = 0,29$, и $0 < 0,29 < \frac{\pi}{2}$.

- $\sin2 = \sin(\pi - 2)$. Так как $\pi - 2 \approx 3,14 - 2 = 1,14$, и $0 < 1,14 < \frac{\pi}{2}$.

Теперь нам нужно сравнить $\sin(\pi - 3)$, $\sin(5 - \frac{3\pi}{2})$ и $\sin(\pi - 2)$. Их аргументы примерно равны $0,14$, $0,29$ и $1,14$. На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \sin x$ возрастает. Поскольку $0,14 < 0,29 < 1,14$, то $\sin(\pi - 3) < \sin(5 - \frac{3\pi}{2}) < \sin(\pi - 2)$. Следовательно, $\sin3 < \cos5 < \sin2$.

Объединяя все результаты, получаем итоговый порядок возрастания: $\cos4, \sin3, \cos5, \sin2$.

Ответ: $\cos4, \sin3, \cos5, \sin2$.

2) Расположим в порядке возрастания значения выражений $\sin3, \sin4, \sin6, \sin7$.

Определим знаки этих значений, используя $\pi \approx 3,14$ и $2\pi \approx 6,28$.

- Угол 3 радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (вторая четверть), поэтому $\sin3 > 0$.

- Угол 4 радиана: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (третья четверть), поэтому $\sin4 < 0$.

- Угол 6 радиан: $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$ (четвертая четверть), поэтому $\sin6 < 0$.

- Угол 7 радиан: так как $7 > 2\pi$, то $7 = 2\pi + (7 - 2\pi)$. Угол $7$ радиан находится в первой четверти, поэтому $\sin7 > 0$.

У нас есть два отрицательных значения ($\sin4, \sin6$) и два положительных ($\sin3, \sin7$).

Сначала сравним отрицательные значения: $\sin4$ и $\sin6$. Для этого сравним их модули.

- $|\sin4| = |-\sin(4-\pi)| = \sin(4-\pi)$. Так как $4 - \pi \approx 4 - 3,14 = 0,86$.

- $|\sin6| = |-\sin(2\pi-6)| = \sin(2\pi-6)$. Так как $2\pi - 6 \approx 6,28 - 6 = 0,28$.

Оба угла, $0,86$ и $0,28$, находятся в первой четверти, где синус возрастает. Поскольку $0,28 < 0,86$, то $\sin(2\pi-6) < \sin(4-\pi)$, то есть $|\sin6| < |\sin4|$. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше. Следовательно, $\sin4 < \sin6$.

Теперь сравним положительные значения: $\sin3$ и $\sin7$. Приведем их к углам из первой четверти.

- $\sin3 = \sin(\pi - 3)$. Так как $\pi - 3 \approx 3,14 - 3 = 0,14$.

- $\sin7 = \sin(7 - 2\pi)$. Так как $7 - 2\pi \approx 7 - 6,28 = 0,72$.

Оба угла, $0,14$ и $0,72$, находятся в первой четверти. Поскольку синус в первой четверти возрастает и $0,14 < 0,72$, то $\sin(\pi - 3) < \sin(7 - 2\pi)$. Следовательно, $\sin3 < \sin7$.

Собирая все вместе, получаем: отрицательные числа меньше положительных, и мы уже упорядочили числа внутри каждой группы. Итоговый порядок: $\sin4, \sin6, \sin3, \sin7$.

Ответ: $\sin4, \sin6, \sin3, \sin7$.