Страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

20.10. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \cos3x + \sin3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x;$

2) $2\sin3x + \cos5x - \sqrt{3} \sin5x = 0;$

3) $2\cos4x = \sqrt{2} (\cos x - \sin x);$

4) $\cos2x = \cos4x + 2\sqrt{3} \sin x \cos3x.$

1) Исходное уравнение: $ \sqrt{3} \cos3x + \sin3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x $.

Перегруппируем члены уравнения:

$ \sqrt{3} \cos3x + \sin3x = \cos x + \sqrt{3} \sin x $.

Применим метод вспомогательного угла (R-формулу) к обеим частям уравнения. Формула имеет вид $ a \cos\alpha + b \sin\alpha = \sqrt{a^2+b^2} \cos(\alpha - \beta) $, где $ \cos\beta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ и $ \sin\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $.

Для левой части ($ a = \sqrt{3}, b = 1 $): $ \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2 $.

$ \sqrt{3} \cos3x + \sin3x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos3x + \frac{1}{2} \sin3x) = 2(\cos\frac{\pi}{6}\cos3x + \sin\frac{\pi}{6}\sin3x) = 2\cos(3x - \frac{\pi}{6}) $.

Для правой части ($ a = 1, b = \sqrt{3} $): $ \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $.

$ \cos x + \sqrt{3} \sin x = 2(\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) = 2(\cos\frac{\pi}{3}\cos x + \sin\frac{\pi}{3}\sin x) = 2\cos(x - \frac{\pi}{3}) $.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$ 2\cos(3x - \frac{\pi}{6}) = 2\cos(x - \frac{\pi}{3}) $

$ \cos(3x - \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{\pi}{3}) $.

Это равенство выполняется, если аргументы равны или противоположны с точностью до периода $ 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Случай 1: $ 3x - \frac{\pi}{6} = x - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

$ 2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

$ 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in Z $.

Случай 2: $ 3x - \frac{\pi}{6} = -(x - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n $

$ 3x - \frac{\pi}{6} = -x + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ 4x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ 4x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in Z; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

2) Исходное уравнение: $ 2\sin3x + \cos5x - \sqrt{3}\sin5x = 0 $.

Перенесем часть членов вправо:

$ 2\sin3x = \sqrt{3}\sin5x - \cos5x $.

Применим метод вспомогательного угла к правой части. Формула: $ a \sin\alpha + b \cos\alpha = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\alpha + \beta) $, где $ \cos\beta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ и $ \sin\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $.

Для правой части ($ a = \sqrt{3}, b = -1 $): $ \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2 $.

$ \sqrt{3}\sin5x - \cos5x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin5x - \frac{1}{2}\cos5x) = 2(\cos\frac{\pi}{6}\sin5x - \sin\frac{\pi}{6}\cos5x) = 2\sin(5x - \frac{\pi}{6}) $.

Подставим преобразованное выражение в уравнение:

$ 2\sin3x = 2\sin(5x - \frac{\pi}{6}) $

$ \sin3x = \sin(5x - \frac{\pi}{6}) $.

Это равенство выполняется, если:

Случай 1: $ 3x = 5x - \frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ -2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ 2x = \frac{\pi}{6} - 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{12} - \pi k $ (что эквивалентно $ x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in Z $).

Случай 2: $ 3x = \pi - (5x - \frac{\pi}{6}) + 2\pi n $

$ 3x = \pi - 5x + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ 8x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $

$ x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in Z; \quad x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

3) Исходное уравнение: $ 2\cos4x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x) $.

Преобразуем выражение в скобках с помощью метода вспомогательного угла:

$ \cos x - \sin x = \sqrt{1^2+(-1)^2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x) = \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ 2\cos4x = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) $

$ 2\cos4x = 2\cos(x + \frac{\pi}{4}) $

$ \cos4x = \cos(x + \frac{\pi}{4}) $.

Это равенство выполняется, если:

Случай 1: $ 4x = x + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z $.

Случай 2: $ 4x = -(x + \frac{\pi}{4}) + 2\pi n $

$ 4x = -x - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

$ 5x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n $

$ x = -\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi n}{5}, n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z; \quad x = -\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi n}{5}, n \in Z $.

4) Исходное уравнение: $ \cos2x = \cos4x + 2\sqrt{3}\sin x \cos3x $.

Перенесем $ \cos4x $ в левую часть:

$ \cos2x - \cos4x = 2\sqrt{3}\sin x \cos3x $.

Применим к левой части формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \cos2x - \cos4x = -2\sin\frac{2x+4x}{2}\sin\frac{2x-4x}{2} = -2\sin(3x)\sin(-x) = 2\sin(3x)\sin x $.

Подставим это в уравнение:

$ 2\sin(3x)\sin x = 2\sqrt{3}\sin x \cos3x $.

Разделим обе части на 2 и перенесем все в одну сторону:

$ \sin(3x)\sin x - \sqrt{3}\sin x \cos3x = 0 $.

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (\sin3x - \sqrt{3}\cos3x) = 0 $.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $ \sin x = 0 $

$ x = \pi k, k \in Z $.

Случай 2: $ \sin3x - \sqrt{3}\cos3x = 0 $

Предположив, что $ \cos3x \neq 0 $, разделим на него:

$ \frac{\sin3x}{\cos3x} = \sqrt{3} $

$ \tan3x = \sqrt{3} $.

$ 3x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z $

$ x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

(Если $ \cos3x = 0 $, то $ \sin3x = \pm 1 $, и уравнение $ \pm 1 - \sqrt{3} \cdot 0 = 0 $ неверно, так что деление было корректным).

Ответ: $ x = \pi k, k \in Z; \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

20.11. Решите уравнение разложением на множители:

1) $ \sin^3 x(1 + \text{ctg } x) + \cos^3 x(1 + \text{tg } x) = 2\sqrt{\sin x \cos x} $;

2) $ \sin 2x + 5(\sin x + \cos x) = -1 $;

3) $ \cos x + \sin x - \sqrt{1 - 2\cos^2 x} = 0 $;

4) $ 1 + \sin 2x = 7(\cos x + \sin x) $.

1) Исходное уравнение: $sin^3x(1 + ctgx) + cos^3x(1 + tgx) = 2\sqrt{sinx cosx}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Для существования $ctgx$ необходимо, чтобы $sinx \neq 0$.

Для существования $tgx$ необходимо, чтобы $cosx \neq 0$.

Для существования $\sqrt{sinx cosx}$ необходимо, чтобы $sinx cosx \ge 0$.

Совмещая эти условия, получаем, что $sinx > 0$ и $cosx > 0$, что соответствует первой четверти координатной плоскости.

Преобразуем выражения в скобках:

$1 + ctgx = 1 + \frac{cosx}{sinx} = \frac{sinx + cosx}{sinx}$

$1 + tgx = 1 + \frac{sinx}{cosx} = \frac{cosx + sinx}{cosx}$

Подставим их в исходное уравнение:

$sin^3x \cdot \frac{sinx + cosx}{sinx} + cos^3x \cdot \frac{cosx + sinx}{cosx} = 2\sqrt{sinx cosx}$

$sin^2x(sinx + cosx) + cos^2x(sinx + cosx) = 2\sqrt{sinx cosx}$

Вынесем общий множитель $(sinx + cosx)$ за скобки:

$(sinx + cosx)(sin^2x + cos^2x) = 2\sqrt{sinx cosx}$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, получаем:

$sinx + cosx = 2\sqrt{sinx cosx}$

Так как по ОДЗ $sinx > 0$ и $cosx > 0$, обе части уравнения положительны. Возведем обе части в квадрат:

$(sinx + cosx)^2 = (2\sqrt{sinx cosx})^2$

$sin^2x + 2sinx cosx + cos^2x = 4sinx cosx$

$1 + 2sinx cosx = 4sinx cosx$

$1 = 2sinx cosx$

Используя формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx cosx$, получаем:

$sin2x = 1$

Решением этого уравнения является серия:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь выберем корни, удовлетворяющие ОДЗ ($sinx > 0$ и $cosx > 0$).

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Этот корень подходит.

При $n=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. $sin(\frac{5\pi}{4}) < 0$, $cos(\frac{5\pi}{4}) < 0$. Этот корень не подходит.

Подходят только те корни, где $n$ — четное число. Пусть $n = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin2x + 5(sinx + cosx) = -1$

Введем замену: пусть $t = sinx + cosx$.

Возведем обе части замены в квадрат: $t^2 = (sinx + cosx)^2 = sin^2x + 2sinx cosx + cos^2x = 1 + sin2x$.

Отсюда выразим $sin2x = t^2 - 1$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$(t^2 - 1) + 5t = -1$

$t^2 + 5t = 0$

$t(t+5) = 0$

Получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = -5$.

Вернемся к исходной переменной.

Случай 1: $t = 0$

$sinx + cosx = 0$

Заметим, что $cosx \neq 0$, так как если $cosx=0$, то $sinx = \pm 1$, и равенство не выполняется. Разделим обе части на $cosx$:

$tgx + 1 = 0$

$tgx = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $t = -5$

$sinx + cosx = -5$

Используя метод вспомогательного угла, преобразуем левую часть: $sinx + cosx = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sinx + \frac{1}{\sqrt{2}}cosx) = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Область значений выражения $\sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Поскольку $-5$ не принадлежит этому отрезку ($-5 < -\sqrt{2}$), уравнение $sinx + cosx = -5$ не имеет решений.

Таким образом, единственным решением является серия корней из первого случая.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $cosx + sinx - \sqrt{1 - 2cos^2x} = 0$

Найдем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$1 - 2cos^2x \ge 0 \implies 2cos^2x \le 1 \implies cos^2x \le \frac{1}{2}$.

Перенесем корень в правую часть:

$cosx + sinx = \sqrt{1 - 2cos^2x}$

Так как правая часть неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $cosx + sinx \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(cosx + sinx)^2 = 1 - 2cos^2x$

$cos^2x + 2sinx cosx + sin^2x = 1 - 2cos^2x$

$1 + 2sinx cosx = 1 - 2cos^2x$

$2sinx cosx = -2cos^2x$

$2sinx cosx + 2cos^2x = 0$

$2cosx(sinx + cosx) = 0$

Это уравнение распадается на два:

Случай 1: $cosx = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Проверим эти корни по условиям ОДЗ и $cosx + sinx \ge 0$.

Если $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ ($m \in \mathbb{Z}$), то $cosx=0$, $sinx=1$.

ОДЗ: $1 - 2(0)^2 = 1 \ge 0$ (верно).

Условие: $0+1 = 1 \ge 0$ (верно). Значит, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ является решением.

Если $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m$ ($m \in \mathbb{Z}$), то $cosx=0$, $sinx=-1$.

ОДЗ: $1 - 2(0)^2 = 1 \ge 0$ (верно).

Условие: $0+(-1) = -1 \ge 0$ (неверно). Это посторонние корни.

Случай 2: $sinx + cosx = 0$

$tgx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти корни по условиям.

Для $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, имеем $cos^2x = (\pm \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$.

ОДЗ: $1 - 2(\frac{1}{2}) = 0 \ge 0$ (верно).

Условие: $sinx + cosx = 0 \ge 0$ (верно).

Следовательно, вся серия $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ является решением.

Объединяем решения из двух случаев.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $1 + sin2x = 7(cosx + sinx)$

Как и в задании 2, введем замену: пусть $t = cosx + sinx$.

Тогда $1 + sin2x = (sinx+cosx)^2 = t^2$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 = 7t$

$t^2 - 7t = 0$

$t(t - 7) = 0$

Получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 7$.

Вернемся к исходной переменной.

Случай 1: $t = 0$

$cosx + sinx = 0$

Разделив на $cosx \neq 0$, получим:

$1 + tgx = 0$

$tgx = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $t = 7$

$cosx + sinx = 7$

Мы знаем, что область значений функции $y = cosx + sinx$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Так как $7 > \sqrt{2}$, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, единственным решением является серия корней из первого случая.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

20.12. Решите систему уравнений, используя метод подстановки:

1) $\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2\sqrt{2}}, \\ x - y = -\frac{\pi}{4}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \cos x + \cos y = 0, \\ x - y = \frac{4\pi}{3}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2}, \\ x + y = -\frac{\pi}{6}. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2\sqrt{2}} \\ x - y = -\frac{\pi}{4} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y - \frac{\pi}{4}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\sin(y - \frac{\pi}{4}) \sin y = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$:

$(\sin y \cos\frac{\pi}{4} - \cos y \sin\frac{\pi}{4}) \sin y = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Так как $\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin y - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos y) \sin y = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin^2 y - \sin y \cos y) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} (\sin^2 y - \sin y \cos y) = 1$

$2(\sin^2 y - \sin y \cos y) = 1$

$2\sin^2 y - 2\sin y \cos y = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 y + \cos^2 y$:

$2\sin^2 y - 2\sin y \cos y = \sin^2 y + \cos^2 y$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 y - 2\sin y \cos y - \cos^2 y = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Если $\cos y = 0$, то $\sin^2 y = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Следовательно, $\cos y \neq 0$. Разделим обе части на $\cos^2 y$:

$\frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} - \frac{2\sin y \cos y}{\cos^2 y} - \frac{\cos^2 y}{\cos^2 y} = 0$

$\tan^2 y - 2\tan y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\tan y$, используя замену $t = \tan y$:

$t^2 - 2t - 1 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

$t = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Возвращаемся к $\tan y$:

Случай 1: $\tan y = 1 + \sqrt{2}$.

$y = \arctan(1+\sqrt{2}) + \pi n = \frac{3\pi}{8} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Тогда $x = y - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{8} + \pi n - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi - 2\pi}{8} + \pi n = \frac{\pi}{8} + \pi n$.

Случай 2: $\tan y = 1 - \sqrt{2}$.

$y = \arctan(1-\sqrt{2}) + \pi k = -\frac{\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Тогда $x = y - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{8} + \pi k - \frac{\pi}{4} = \frac{-\pi - 2\pi}{8} + \pi k = -\frac{3\pi}{8} + \pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{8} + \pi n, \frac{3\pi}{8} + \pi n)$, $(-\frac{3\pi}{8} + \pi k, -\frac{\pi}{8} + \pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0 \\ x - y = \frac{4\pi}{3} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$:

$x = y + \frac{4\pi}{3}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\cos(y + \frac{4\pi}{3}) + \cos y = 0$

Воспользуемся формулой суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos\frac{y + \frac{4\pi}{3} + y}{2} \cos\frac{y + \frac{4\pi}{3} - y}{2} = 0$

$2\cos\frac{2y + \frac{4\pi}{3}}{2} \cos\frac{\frac{4\pi}{3}}{2} = 0$

$2\cos(y + \frac{2\pi}{3}) \cos(\frac{2\pi}{3}) = 0$

Так как $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, уравнение принимает вид:

$2\cos(y + \frac{2\pi}{3}) \cdot (-\frac{1}{2}) = 0$

$-\cos(y + \frac{2\pi}{3}) = 0$

$\cos(y + \frac{2\pi}{3}) = 0$

Это уравнение выполняется, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$:

$y + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$y = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + \pi n = \frac{3\pi - 4\pi}{6} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.

Теперь найдем $x$:

$x = y + \frac{4\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi n + \frac{4\pi}{3} = \frac{-\pi + 8\pi}{6} + \pi n = \frac{7\pi}{6} + \pi n$.

Ответ: $(\frac{7\pi}{6} + \pi n, -\frac{\pi}{6} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2} \\ x + y = -\frac{\pi}{6} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = -x - \frac{\pi}{6}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\sin x \cos(-x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Используем свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$:

$\sin x \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$:

$\sin x (\cos x \cos\frac{\pi}{6} - \sin x \sin\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin x (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x) = -\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \cos x - \frac{1}{2}\sin^2 x = -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$\sqrt{3}\sin x \cos x - \sin^2 x = -1$

$\sqrt{3}\sin x \cos x + 1 - \sin^2 x = 0$

Заменим $1 - \sin^2 x$ на $\cos^2 x$:

$\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3}\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\cos x = 0$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем $y$: $y = -x - \frac{\pi}{6} = -(\frac{\pi}{2} + \pi n) - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} - \pi n = -\frac{4\pi}{6} - \pi n = -\frac{2\pi}{3} - \pi n$.

Случай 2: $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 0$.

Если $\cos x = 0$, то $\sqrt{3}\sin x = 0$, откуда $\sin x = 0$, что невозможно. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos x$:

$\sqrt{3}\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем $y$: $y = -x - \frac{\pi}{6} = -(-\frac{\pi}{6} + \pi k) - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} - \pi k - \frac{\pi}{6} = -\pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{2\pi}{3} - \pi n)$, $(-\frac{\pi}{6} + \pi k, -\pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

20.13. Решите уравнение способом понижения степени и преобразования уравнения:

1) $ \sin x + \sin 2x - \cos x = 2\cos^2 x; $

2) $ \sin 4x - \cos^4 x = - \sin^4 x; $

3) $ \sin(x + 45^\circ)\sin(x - 15^\circ) = 0.5; $

4) $ \sin 2x - 2\sin^2 x - 4\sin x = -4\cos x. $

1) Исходное уравнение: $sinx + sin2x - cosx = 2cos^2x$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $sinx + sin2x - cosx - 2cos^2x = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:

$sinx + 2sinxcosx - cosx - 2cos^2x = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(sinx - cosx) + (2sinxcosx - 2cos^2x) = 0$

Вынесем общий множитель $2cosx$ из второй скобки:

$(sinx - cosx) + 2cosx(sinx - cosx) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(sinx - cosx)$ за скобки:

$(sinx - cosx)(1 + 2cosx) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

а) $sinx - cosx = 0$

$sinx = cosx$

Если $cosx \ne 0$, разделим обе части на $cosx$:

$tanx = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

(Случай $cosx=0$ не является решением, так как тогда $sinx=\pm1$, и равенство $sinx=cosx$ не выполняется).

б) $1 + 2cosx = 0$

$2cosx = -1$

$cosx = -\frac{1}{2}$

$x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.

2) Исходное уравнение: $sin4x - cos^4x = -sin^4x$.

Перенесем все члены в левую часть: $sin4x + sin^4x - cos^4x = 0$.

Преобразуем выражение $sin^4x - cos^4x$ по формуле разности квадратов:

$sin^4x - cos^4x = (sin^2x - cos^2x)(sin^2x + cos^2x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos2x = cos^2x - sin^2x$, получаем:

$sin^4x - cos^4x = -(cos^2x - sin^2x)(1) = -cos2x$.

Подставим это выражение в уравнение:

$sin4x + (-cos2x) = 0$

$sin4x = cos2x$

Используем формулу приведения $cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$sin4x = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$

Это равенство выполняется в двух случаях:

а) $4x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi k$

$6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

б) $4x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi n$

$4x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$; $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $sin(x + 45^\circ)sin(x - 15^\circ) = 0.5$.

Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$.

В нашем случае $\alpha = x + 45^\circ$ и $\beta = x - 15^\circ$.

$\alpha - \beta = (x + 45^\circ) - (x - 15^\circ) = 60^\circ$

$\alpha + \beta = (x + 45^\circ) + (x - 15^\circ) = 2x + 30^\circ$

Подставляем в уравнение:

$\frac{1}{2}(cos(60^\circ) - cos(2x + 30^\circ)) = 0.5$

Умножим обе части на 2:

$cos(60^\circ) - cos(2x + 30^\circ) = 1$

Так как $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} - cos(2x + 30^\circ) = 1$

$-cos(2x + 30^\circ) = 1 - \frac{1}{2}$

$cos(2x + 30^\circ) = -\frac{1}{2}$

Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x + 30^\circ = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 360^\circ k$

$2x + 30^\circ = \pm 120^\circ + 360^\circ k$, где $k \in Z$.

Рассмотрим два случая:

а) $2x + 30^\circ = 120^\circ + 360^\circ k$

$2x = 90^\circ + 360^\circ k$

$x = 45^\circ + 180^\circ k$, где $k \in Z$.

б) $2x + 30^\circ = -120^\circ + 360^\circ k$

$2x = -150^\circ + 360^\circ k$

$x = -75^\circ + 180^\circ k$, где $k \in Z$.

Ответ: $45^\circ + 180^\circ k, k \in Z$; $-75^\circ + 180^\circ k, k \in Z$.

4) Исходное уравнение: $sin2x - 2sin^2x - 4sinx = -4cosx$.

Перенесем все члены в левую часть и воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:

$2sinxcosx - 2sin^2x - 4sinx + 4cosx = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2sinxcosx + 4cosx) - (2sin^2x + 4sinx) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$2cosx(sinx + 2) - 2sinx(sinx + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(sinx + 2)$:

$(sinx + 2)(2cosx - 2sinx) = 0$

$2(sinx + 2)(cosx - sinx) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

а) $sinx + 2 = 0 \implies sinx = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.

б) $cosx - sinx = 0 \implies cosx = sinx$.

Если $cosx \ne 0$, разделим обе части на $cosx$:

$tanx = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

(Случай $cosx=0$ не является решением, так как тогда $sinx=\pm1$, и равенство $cosx=sinx$ не выполняется).

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

20.14. Найдите решение уравнения:

1) $\sqrt{5-2\sin x} + 1 = 6\sin x;$

2) $\sqrt{7-18\operatorname{tg} x} - 11 = 6\operatorname{tg} x;$

3) $\sqrt{10-18\cos x} + 2 = 6\cos x;$

4) $\sqrt{4-2\sin^2 x} - \sin x = 2.$

1) $ \sqrt{5-2\sin x} + 1 = 6\sin x $

Перенесем 1 в правую часть уравнения, чтобы изолировать корень:

$ \sqrt{5-2\sin x} = 6\sin x - 1 $

Для существования решения необходимо выполнение двух условий (ОДЗ):

1. По-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 5-2\sin x \ge 0 $. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $ -2 \le -2\sin x \le 2 $, и $ 3 \le 5-2\sin x \le 7 $. Это неравенство выполняется для любого $x$.

2. Во-вторых, правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $ 6\sin x - 1 \ge 0 $, откуда $ \sin x \ge \frac{1}{6} $.

С учетом этих условий, возведем обе части уравнения в квадрат:

$ 5-2\sin x = (6\sin x - 1)^2 $

$ 5-2\sin x = 36\sin^2 x - 12\sin x + 1 $

$ 36\sin^2 x - 10\sin x - 4 = 0 $

Разделим уравнение на 2:

$ 18\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0 $

Сделаем замену $ t = \sin x $, где $ \frac{1}{6} \le t \le 1 $.

$ 18t^2 - 5t - 2 = 0 $

Находим корни квадратного уравнения:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-2) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $

$ t_{1,2} = \frac{5 \pm 13}{2 \cdot 18} = \frac{5 \pm 13}{36} $

$ t_1 = \frac{5+13}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $

$ t_2 = \frac{5-13}{36} = \frac{-8}{36} = -\frac{2}{9} $

Проверяем корни по условию $ t \ge \frac{1}{6} $.

$ t_1 = \frac{1}{2} $. Так как $ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} > \frac{1}{6} $, этот корень подходит.

$ t_2 = -\frac{2}{9} $. Так как $ -\frac{2}{9} < \frac{1}{6} $, этот корень является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной:

$ \sin x = \frac{1}{2} $

$ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{7-18\mathrm{tg}\,x} - 11 = 6\mathrm{tg}\,x $

Изолируем корень:

$ \sqrt{7-18\mathrm{tg}\,x} = 6\mathrm{tg}\,x + 11 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. $ 7-18\mathrm{tg}\,x \ge 0 \implies 18\mathrm{tg}\,x \le 7 \implies \mathrm{tg}\,x \le \frac{7}{18} $

2. $ 6\mathrm{tg}\,x + 11 \ge 0 \implies 6\mathrm{tg}\,x \ge -11 \implies \mathrm{tg}\,x \ge -\frac{11}{6} $

Итак, ОДЗ: $ -\frac{11}{6} \le \mathrm{tg}\,x \le \frac{7}{18} $. Также $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Возведем обе части в квадрат:

$ 7 - 18\mathrm{tg}\,x = (6\mathrm{tg}\,x + 11)^2 $

$ 7 - 18\mathrm{tg}\,x = 36\mathrm{tg}^2\,x + 132\mathrm{tg}\,x + 121 $

$ 36\mathrm{tg}^2\,x + 150\mathrm{tg}\,x + 114 = 0 $

Разделим уравнение на 6:

$ 6\mathrm{tg}^2\,x + 25\mathrm{tg}\,x + 19 = 0 $

Сделаем замену $ t = \mathrm{tg}\,x $:

$ 6t^2 + 25t + 19 = 0 $

$ D = 25^2 - 4 \cdot 6 \cdot 19 = 625 - 456 = 169 = 13^2 $

$ t_{1,2} = \frac{-25 \pm 13}{12} $

$ t_1 = \frac{-25+13}{12} = \frac{-12}{12} = -1 $

$ t_2 = \frac{-25-13}{12} = \frac{-38}{12} = -\frac{19}{6} $

Проверяем корни по ОДЗ: $ -\frac{11}{6} \le t \le \frac{7}{18} $.

$ t_1 = -1 $. Условие $ -\frac{11}{6} \le -1 \le \frac{7}{18} $ (т.е. $ -1.83... \le -1 \le 0.38... $) выполняется. Корень подходит.

$ t_2 = -\frac{19}{6} $. Условие $ -\frac{19}{6} \ge -\frac{11}{6} $ не выполняется. Корень посторонний.

Возвращаемся к переменной $x$:

$ \mathrm{tg}\,x = -1 $

$ x = \mathrm{arctg}(-1) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sqrt{10-18\cos x} + 2 = 6\cos x $

Изолируем корень:

$ \sqrt{10-18\cos x} = 6\cos x - 2 $

Определим ОДЗ:

1. $ 10-18\cos x \ge 0 \implies 10 \ge 18\cos x \implies \cos x \le \frac{10}{18} = \frac{5}{9} $

2. $ 6\cos x - 2 \ge 0 \implies 6\cos x \ge 2 \implies \cos x \ge \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Итак, ОДЗ: $ \frac{1}{3} \le \cos x \le \frac{5}{9} $.

Возведем обе части в квадрат:

$ 10 - 18\cos x = (6\cos x - 2)^2 $

$ 10 - 18\cos x = 36\cos^2 x - 24\cos x + 4 $

$ 36\cos^2 x - 6\cos x - 6 = 0 $

Разделим уравнение на 6:

$ 6\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 $

Сделаем замену $ t = \cos x $:

$ 6t^2 - t - 1 = 0 $

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $

$ t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{12} $

$ t_1 = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $

$ t_2 = \frac{1-5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} $

Проверяем корни по ОДЗ: $ \frac{1}{3} \le t \le \frac{5}{9} $.

$ t_1 = \frac{1}{2} $. Условие $ \frac{1}{3} \le \frac{1}{2} \le \frac{5}{9} $ (т.е. $ 0.33... \le 0.5 \le 0.55... $) выполняется. Корень подходит.

$ t_2 = -\frac{1}{3} $. Условие $ -\frac{1}{3} \ge \frac{1}{3} $ не выполняется. Корень посторонний.

Возвращаемся к переменной $x$:

$ \cos x = \frac{1}{2} $

$ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

4) $ \sqrt{4-2\sin^2 x - \sin x} = 2 $

ОДЗ: $ 4-2\sin^2 x - \sin x \ge 0 $. Пусть $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$. Неравенство примет вид $ -2t^2-t+4 \ge 0 $, или $ 2t^2+t-4 \le 0 $. Корни уравнения $2t^2+t-4=0$ равны $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(2)(-4)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$. Так как $ \frac{-1-\sqrt{33}}{4} \approx -1.68 $ и $ \frac{-1+\sqrt{33}}{4} \approx 1.18 $, то решение неравенства $2t^2+t-4 \le 0$ есть $ t \in [\frac{-1-\sqrt{33}}{4}, \frac{-1+\sqrt{33}}{4}] $. Область $t \in [-1, 1]$ полностью входит в этот промежуток, поэтому ОДЗ выполняется для любого $x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ 4-2\sin^2 x - \sin x = 2^2 $

$ 4-2\sin^2 x - \sin x = 4 $

$ -2\sin^2 x - \sin x = 0 $

$ 2\sin^2 x + \sin x = 0 $

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (2\sin x + 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \sin x = 0 $

$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $

2. $ 2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2} $

$ x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Оба набора решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

20.15. Способом понижения степени решите уравнение:

1) $\cos^2 x + \cos^2 2x = \sin^2 3x + \sin^2 4x;$

2) $\sin^4 2x + \cos^4 2x - \frac{5}{8} = 0;$

3) $\sin^2 \frac{3x}{4} + \sin^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos^2 \frac{5x}{4} = \frac{3}{2};$

4) $\cos^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{4x}{9} = \cos^2 \frac{5x}{9} + \cos^2 \frac{2x}{3}.$

1) Исходное уравнение: $cos^2x + cos^22x = sin^23x + sin^24x$.

Применим формулы понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$ и $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + cos(2x)}{2} + \frac{1 + cos(4x)}{2} = \frac{1 - cos(6x)}{2} + \frac{1 - cos(8x)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1 + cos(2x) + 1 + cos(4x) = 1 - cos(6x) + 1 - cos(8x)$

$2 + cos(2x) + cos(4x) = 2 - cos(6x) - cos(8x)$

$cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) + cos(8x) = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2cos(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$:

$(cos(8x) + cos(2x)) + (cos(6x) + cos(4x)) = 0$

$2cos(\frac{8x + 2x}{2})cos(\frac{8x - 2x}{2}) + 2cos(\frac{6x + 4x}{2})cos(\frac{6x - 4x}{2}) = 0$

$2cos(5x)cos(3x) + 2cos(5x)cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2cos(5x)(cos(3x) + cos(x)) = 0$

Снова применим формулу суммы косинусов ко второму множителю:

$2cos(5x)(2cos(\frac{3x + x}{2})cos(\frac{3x - x}{2})) = 0$

$4cos(5x)cos(2x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три случая:

1. $cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. $cos(5x) = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Первая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$) является подмножеством третьей серии ($x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$ при $m = 2+5j$, где $j \in \mathbb{Z}$), поэтому её можно не указывать в ответе.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin^42x + cos^42x - \frac{5}{8} = 0$.

Используем тождество $sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2\alpha)$. Пусть $\alpha = 2x$.

$1 - \frac{1}{2}sin^2(4x) - \frac{5}{8} = 0$

$\frac{3}{8} - \frac{1}{2}sin^2(4x) = 0$

$sin^2(4x) = \frac{3}{4}$

Теперь применим формулу понижения степени $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - cos(8x)}{2} = \frac{3}{4}$

$1 - cos(8x) = \frac{3}{2}$

$cos(8x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$8x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

$8x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{2\pi}{24} + \frac{2\pi k}{8}$

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sin^2\frac{3x}{4} + sin^2(\frac{\pi}{2} - x) + cos^2\frac{5x}{4} = \frac{3}{2}$.

Применим формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$:

$sin^2\frac{3x}{4} + cos^2x + cos^2\frac{5x}{4} = \frac{3}{2}$

Применим формулы понижения степени:

$\frac{1 - cos(\frac{3x}{2})}{2} + \frac{1 + cos(2x)}{2} + \frac{1 + cos(\frac{5x}{2})}{2} = \frac{3}{2}$

Умножим на 2:

$1 - cos(\frac{3x}{2}) + 1 + cos(2x) + 1 + cos(\frac{5x}{2}) = 3$

$3 + cos(2x) + cos(\frac{5x}{2}) - cos(\frac{3x}{2}) = 3$

$cos(2x) + cos(\frac{5x}{2}) - cos(\frac{3x}{2}) = 0$

Применим формулу разности косинусов $cos\alpha - cos\beta = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$ к последним двум слагаемым:

$cos(2x) - \left(cos(\frac{3x}{2}) - cos(\frac{5x}{2})\right) = 0$

$cos(2x) - \left(-2sin(\frac{\frac{3x}{2}+\frac{5x}{2}}{2})sin(\frac{\frac{3x}{2}-\frac{5x}{2}}{2})\right) = 0$

$cos(2x) - (-2sin(2x)sin(-\frac{x}{2})) = 0$

$cos(2x) - 2sin(2x)sin(\frac{x}{2}) = 0$

Это уравнение решается сложно в общем виде. Однако, в подобных задачах часто встречаются опечатки. Если предположить, что в исходном условии первый член был $cos^2\frac{3x}{4}$, то уравнение приводится к виду: $cos(2x)(1+2cos(\frac{x}{2}))=0$.

Решим это уравнение:

1. $cos(2x)=0 \implies 2x = \frac{\pi}{2}+\pi n \implies x = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $1+2cos(\frac{x}{2})=0 \implies cos(\frac{x}{2})=-\frac{1}{2} \implies \frac{x}{2} = \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \implies x = \pm\frac{4\pi}{3}+4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $x = \pm\frac{4\pi}{3} + 4\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $cos^2\frac{x}{3} + cos^2\frac{4x}{9} = cos^2\frac{5x}{9} + cos^2\frac{2x}{3}$.

Перегруппируем слагаемые:

$cos^2\frac{x}{3} - cos^2\frac{2x}{3} = cos^2\frac{5x}{9} - cos^2\frac{4x}{9}$

Применим формулу $cos^2A - cos^2B = \frac{1+cos(2A)}{2} - \frac{1+cos(2B)}{2} = \frac{1}{2}(cos(2A) - cos(2B))$:

$\frac{1}{2}(cos(\frac{2x}{3}) - cos(\frac{4x}{3})) = \frac{1}{2}(cos(\frac{10x}{9}) - cos(\frac{8x}{9}))$

$cos(\frac{2x}{3}) - cos(\frac{4x}{3}) = cos(\frac{10x}{9}) - cos(\frac{8x}{9})$

Приведем аргументы к общему знаменателю для удобства: $cos(\frac{6x}{9}) - cos(\frac{12x}{9}) = cos(\frac{10x}{9}) - cos(\frac{8x}{9})$.

Применим формулу разности косинусов к обеим частям:

$-2sin(\frac{\frac{6x}{9}+\frac{12x}{9}}{2})sin(\frac{\frac{6x}{9}-\frac{12x}{9}}{2}) = -2sin(\frac{\frac{10x}{9}+\frac{8x}{9}}{2})sin(\frac{\frac{10x}{9}-\frac{8x}{9}}{2})$

$-2sin(x)sin(-\frac{x}{3}) = -2sin(x)sin(\frac{x}{9})$

$2sin(x)sin(\frac{x}{3}) = -2sin(x)sin(\frac{x}{9})$

$2sin(x)sin(\frac{x}{3}) + 2sin(x)sin(\frac{x}{9}) = 0$

$2sin(x)(sin(\frac{x}{3}) + sin(\frac{x}{9})) = 0$

Применим формулу суммы синусов $sin\alpha + sin\beta = 2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$ к выражению в скобках:

$2sin(x)(2sin(\frac{\frac{x}{3}+\frac{x}{9}}{2})cos(\frac{\frac{x}{3}-\frac{x}{9}}{2})) = 0$

$4sin(x)sin(\frac{2x}{9})cos(\frac{x}{9}) = 0$

Получаем три случая:

1. $sin(x) = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $sin(\frac{2x}{9}) = 0 \implies \frac{2x}{9} = \pi k \implies x = \frac{9\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. $cos(\frac{x}{9}) = 0 \implies \frac{x}{9} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{9\pi}{2} + 9\pi m$. Эта серия решений является подмножеством второй серии (при нечетных $k$).

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{9\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.