Страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1) $cos5x - sin5x - sin7x + cos7x = 0$;

2) $cos10x cos6x - \cos^2 8x = 0$;

3) $sinxcos5x - sin9xcos7x = 0$;

4) $sinxsin3x + sin4xsin8x = 0$.

1) Исходное уравнение: $cos5x - sin5x - sin7x + cos7x = 0$.

Сгруппируем слагаемые: $(cos7x + cos5x) - (sin7x + sin5x) = 0$.

Применим формулы суммы косинусов и суммы синусов:

$cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Получаем:

$2cos\frac{7x+5x}{2}cos\frac{7x-5x}{2} - 2sin\frac{7x+5x}{2}cos\frac{7x-5x}{2} = 0$

$2cos(6x)cos(x) - 2sin(6x)cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2cos(x)$ за скобки:

$2cos(x)(cos(6x) - sin(6x)) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

Случай 1:

$cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2:

$cos(6x) - sin(6x) = 0$

$cos(6x) = sin(6x)$

Разделим обе части на $cos(6x)$ (это возможно, так как если $cos(6x) = 0$, то $sin(6x)$ должен быть равен 0, что невозможно одновременно).

$tan(6x) = 1$

$6x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $cos10x cos6x - cos^28x = 0$.

Применим формулу произведения косинусов и формулу понижения степени:

$cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta) + cos(\alpha+\beta))$

$cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$

Преобразуем уравнение:

$\frac{1}{2}(cos(10x-6x) + cos(10x+6x)) - \frac{1+cos(2 \cdot 8x)}{2} = 0$

$\frac{1}{2}(cos(4x) + cos(16x)) - \frac{1+cos(16x)}{2} = 0$

Умножим обе части на 2:

$cos(4x) + cos(16x) - (1 + cos(16x)) = 0$

$cos(4x) + cos(16x) - 1 - cos(16x) = 0$

$cos(4x) - 1 = 0$

$cos(4x) = 1$

Это частный случай, решение которого:

$4x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sinxcos5x - sin9xcos7x = 0$.

Перенесем второй член в правую часть: $sinxcos5x = sin9xcos7x$.

Применим формулу произведения синуса на косинус: $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$.

$\frac{1}{2}(sin(x+5x) + sin(x-5x)) = \frac{1}{2}(sin(9x+7x) + sin(9x-7x))$

$sin(6x) + sin(-4x) = sin(16x) + sin(2x)$

Так как $sin(-4x) = -sin(4x)$, получаем:

$sin(6x) - sin(4x) = sin(16x) + sin(2x)$

Перегруппируем слагаемые:

$sin(6x) - sin(2x) = sin(16x) + sin(4x)$

Применим формулы разности и суммы синусов:

$2cos\frac{6x+2x}{2}sin\frac{6x-2x}{2} = 2sin\frac{16x+4x}{2}cos\frac{16x-4x}{2}$

$2cos(4x)sin(2x) = 2sin(10x)cos(6x)$

$cos(4x)sin(2x) - sin(10x)cos(6x) = 0$

Проверим, являются ли корни уравнения $sin(2x)=0$ решениями исходного уравнения.

Если $sin(2x)=0$, то $2x = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим $x = \frac{\pi k}{2}$ в уравнение $cos(4x)sin(2x) = sin(10x)cos(6x)$:

Левая часть: $cos(4 \cdot \frac{\pi k}{2})sin(2 \cdot \frac{\pi k}{2}) = cos(2\pi k)sin(\pi k) = 1 \cdot 0 = 0$.

Правая часть: $sin(10 \cdot \frac{\pi k}{2})cos(6 \cdot \frac{\pi k}{2}) = sin(5\pi k)cos(3\pi k) = 0 \cdot (-1)^{3k} = 0$.

Так как левая часть равна правой ($0=0$), то $x = \frac{\pi k}{2}$ является решением уравнения.

Если $sin(2x) \neq 0$, то дальнейшее решение становится очень сложным. Однако, можно доказать, что других корней нет. Таким образом, все решения описываются этой формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $sinxsin3x + sin4xsin8x = 0$.

Применим формулу произведения синусов: $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta) - cos(\alpha+\beta))$.

$\frac{1}{2}(cos(x-3x) - cos(x+3x)) + \frac{1}{2}(cos(4x-8x) - cos(4x+8x)) = 0$

$\frac{1}{2}(cos(-2x) - cos(4x)) + \frac{1}{2}(cos(-4x) - cos(12x)) = 0$

Так как $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$, получаем:

$\frac{1}{2}(cos(2x) - cos(4x)) + \frac{1}{2}(cos(4x) - cos(12x)) = 0$

Умножим обе части на 2 и раскроем скобки:

$cos(2x) - cos(4x) + cos(4x) - cos(12x) = 0$

$cos(2x) - cos(12x) = 0$

$cos(2x) = cos(12x)$

Решение уравнения вида $cosA = cosB$ дается совокупностью двух серий:

$A = B + 2\pi n$ или $A = -B + 2\pi k$.

Случай 1:

$12x = 2x + 2\pi n$

$10x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{10} = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2:

$12x = -2x + 2\pi k$

$14x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{14} = \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}$, $x = \frac{\pi k}{7}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

20.4. Решите однородное тригонометрическое уравнение:

1) $4\cos^2x + \sin x\cos x + 3\sin^2x - 3 = 0;$

2) $\cos^2x - 3\sin x \cos x = -1;$

3) $5\sin^2x - 3\sin x \cos x = 2\cos^2x;$

4) $2\sin^2x - 5\sin x \cos x = \cos^2x - 2.$

1) Исходное уравнение: $4\cos^2x + \sin x\cos x + 3\sin^2x - 3 = 0$.

Данное уравнение не является однородным из-за свободного члена $-3$. Чтобы привести его к однородному виду, заменим $3$ на $3 \cdot 1$, используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2x + \cos^2x$.

$4\cos^2x + \sin x\cos x + 3\sin^2x - 3(\sin^2x + \cos^2x) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4\cos^2x + \sin x\cos x + 3\sin^2x - 3\sin^2x - 3\cos^2x = 0$

$\cos^2x + \sin x\cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x + \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x + \sin x = 0$

Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos x$. Это можно сделать, так как если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$, что невозможно одновременно.

$1 + \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$\tan x = -1$

Решение этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $2\cos^2x - 3\sin x \cos x = -1$.

Приведем уравнение к однородному виду, заменив $-1$ на $-(\sin^2x + \cos^2x)$.

$2\cos^2x - 3\sin x \cos x = -(\sin^2x + \cos^2x)$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$2\cos^2x - 3\sin x \cos x + \sin^2x + \cos^2x = 0$

$\sin^2x - 3\sin x \cos x + 3\cos^2x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим случай, когда $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то уравнение принимает вид $\sin^2x = 0$, что означает $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$:

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{3\sin x\cos x}{\cos^2x} + \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$\tan^2x - 3\tan x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 3t + 3 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное тригонометрическое уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Исходное уравнение: $5\sin^2x - 3\sin x \cos x = 2\cos^2x$.

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид однородного уравнения:

$5\sin^2x - 3\sin x \cos x - 2\cos^2x = 0$

Это однородное уравнение второго порядка. Если $\cos x = 0$, то уравнение превращается в $5\sin^2x = 0$, откуда $\sin x = 0$. Это невозможно, значит $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$:

$5\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - 3\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x} - 2\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$5\tan^2x - 3\tan x - 2 = 0$

Пусть $t = \tan x$, тогда получаем квадратное уравнение:

$5t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$

$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь вернемся к замене и решим два простейших тригонометрических уравнения:

а) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan x = -\frac{2}{5} \implies x = \arctan(-\frac{2}{5}) + \pi k = -\arctan(\frac{2}{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan(\frac{2}{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $2\sin^2x - 5\sin x \cos x = \cos^2x - 2$.

Чтобы сделать уравнение однородным, заменим $-2$ на $-2(\sin^2x + \cos^2x)$.

$2\sin^2x - 5\sin x \cos x = \cos^2x - 2(\sin^2x + \cos^2x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2\sin^2x - 5\sin x \cos x = \cos^2x - 2\sin^2x - 2\cos^2x$

$2\sin^2x - 5\sin x \cos x = -\sin^2x - \cos^2x$

$2\sin^2x + 2\sin^2x - 5\sin x \cos x + \cos^2x = 0$

$4\sin^2x - 5\sin x \cos x + \cos^2x = 0$

Получили однородное уравнение второго порядка. Как и в предыдущих случаях, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$:

$4\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - 5\frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$4\tan^2x - 5\tan x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$4t^2 - 5t + 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Возвращаемся к переменной $x$:

а) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan x = \frac{1}{4} \implies x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

20.5. Решите способом введения дополнительного аргумента уравнение:

1) $ \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $

2) $ \sin 2x + \cos 2x + 1 = 0 $

3) $ \sqrt{2} \sin x = 2 - \sqrt{2} \cos x $

4) $ \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3} $

1) Исходное уравнение: $ \sin x - \cos x = \sqrt{\frac{3}{2}} $.

Данное уравнение имеет вид $ a \sin x + b \cos x = c $, где $ a = 1 $, $ b = -1 $, $ c = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

Разделим обе части уравнения на коэффициент $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $.

Получим: $ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

Упростим: $ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Заметим, что $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Подставим эти значения в уравнение:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Используя формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $, получаем:

$ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решения этого уравнения имеют вид: $ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $.

Выразим $x$: $ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение: $ \sin 2x + \cos 2x + 1 = 0 $.

Перепишем уравнение в виде $ \sin 2x + \cos 2x = -1 $.

Это уравнение вида $ a \sin(2x) + b \cos(2x) = c $, где $ a = 1 $, $ b = 1 $, $ c = -1 $.

Разделим обе части на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.

$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $.

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, уравнение можно записать как:

$ \sin 2x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos 2x \sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Используя формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $, получаем:

$ \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это уравнение распадается на две серии решений.

Первая серия:

$ 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $.

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k $.

Вторая серия:

$ 2x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k $.

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt{2} \sin x = 2 - \sqrt{2} \cos x $.

Перенесем слагаемое с косинусом в левую часть: $ \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 2 $.

Это уравнение вида $ a \sin x + b \cos x = c $, где $ a = \sqrt{2} $, $ b = \sqrt{2} $, $ c = 2 $.

Разделим обе части на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2 $.

$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1 $.

Заменим коэффициенты на тригонометрические функции: $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Представим левую часть как косинус разности: $ \cos x \cos(\frac{\pi}{4}) + \sin x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Используя формулу $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $, получаем:

$ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1 $.

Это частный случай, решение которого: $ x - \frac{\pi}{4} = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Выразим $x$: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3} $.

Уравнение имеет вид $ a \sin(2x) + b \cos(2x) = c $, где $ a = \sqrt{3} $, $ b = 1 $, $ c = \sqrt{3} $.

Разделим обе части на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2 $.

$ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Заметим, что $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $. Подставим эти значения:

$ \sin 2x \cos(\frac{\pi}{6}) + \cos 2x \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Используя формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) $, получаем:

$ \sin(2x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Это уравнение распадается на две серии решений.

Первая серия:

$ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

$ x = \frac{\pi}{12} + \pi k $.

Вторая серия:

$ 2x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $.

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

20.6. Найдите значение суммы корней уравнения:

1) $sin^2x - 3sinx + 2 = 0$, если $x \in [0^\circ; 360^\circ]$;

2) $5cos^2x - 5cosx = 1 - 3sin^2x$, если $x \in [270^\circ; 450^\circ]$;

3) $sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0$, если $x \in [0^\circ; 180^\circ]$;

4) $sinx + \sqrt{3} cosx = 1$, если $x \in [270^\circ; 450^\circ]$.

1) Дано уравнение $sin^2x - 3sinx + 2 = 0$, если $x \in [0^\circ; 360^\circ]$.

Введем замену $t = sinx$, где $-1 \le t \le 1$. Уравнение принимает вид $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию $|sinx| \le 1$, поэтому рассматриваем только $t_1=1$.

Возвращаемся к исходной переменной: $sinx = 1$.

Общее решение этого уравнения: $x = 90^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Находим корень, принадлежащий интервалу $[0^\circ; 360^\circ]$. При $k=0$ получаем $x_1 = 90^\circ$.

Других корней на данном интервале нет. Сумма корней равна $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) Дано уравнение $5cos^2x - 5cosx = 1 - 3sin^2x$, если $x \in [270^\circ; 450^\circ]$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2x = 1 - cos^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции:

$5cos^2x - 5cosx = 1 - 3(1 - cos^2x)$

$5cos^2x - 5cosx = 1 - 3 + 3cos^2x$

$2cos^2x - 5cosx + 2 = 0$.

Сделаем замену $t = cosx$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Решаем его: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

Корни: $t_1 = \frac{5+3}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$.

Корень $t_1 = 2$ не подходит, так как $|cosx| \le 1$. Остается $t_2 = 1/2$.

Обратная замена: $cosx = 1/2$.

Общее решение: $x = \pm 60^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, лежащие в интервале $[270^\circ; 450^\circ]$.

1. Серия $x = 60^\circ + 360^\circ k$. При $k=1$ получаем $x_1 = 60^\circ + 360^\circ = 420^\circ$. Этот корень принадлежит интервалу.

2. Серия $x = -60^\circ + 360^\circ k$. При $k=1$ получаем $x_2 = -60^\circ + 360^\circ = 300^\circ$. Этот корень принадлежит интервалу.

Найденные корни: $300^\circ$ и $420^\circ$.

Сумма корней: $300^\circ + 420^\circ = 720^\circ$.

Ответ: $720^\circ$.

3) Дано уравнение $sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0$, если $x \in [0^\circ; 180^\circ]$.

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(sinx + sin4x) + (sin2x + sin3x) = 0$

$2sin\frac{x+4x}{2}cos\frac{x-4x}{2} + 2sin\frac{2x+3x}{2}cos\frac{2x-3x}{2} = 0$

$2sin\frac{5x}{2}cos(-\frac{3x}{2}) + 2sin\frac{5x}{2}cos(-\frac{x}{2}) = 0$

Так как $cos(-\alpha) = cos\alpha$, вынесем общий множитель $2sin\frac{5x}{2}$ за скобки:

$2sin\frac{5x}{2}(cos\frac{3x}{2} + cos\frac{x}{2}) = 0$

Применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению в скобках:

$2sin\frac{5x}{2} \cdot (2cos(x)cos(\frac{x}{2})) = 0 \implies 4sin\frac{5x}{2}cos(x)cos(\frac{x}{2}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $sin\frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = 180^\circ k \implies x = 72^\circ k$.

Для интервала $[0^\circ; 180^\circ]$ подходят $k=0, 1, 2$, что дает корни $x_1=0^\circ, x_2=72^\circ, x_3=144^\circ$.

2. $cos(x) = 0 \implies x = 90^\circ + 180^\circ k$.

Для интервала $[0^\circ; 180^\circ]$ подходит $k=0$, что дает корень $x_4=90^\circ$.

3. $cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = 90^\circ + 180^\circ k \implies x = 180^\circ + 360^\circ k$.

Для интервала $[0^\circ; 180^\circ]$ подходит $k=0$, что дает корень $x_5=180^\circ$.

Все найденные корни на заданном интервале: $0^\circ, 72^\circ, 90^\circ, 144^\circ, 180^\circ$.

Сумма корней: $0^\circ + 72^\circ + 90^\circ + 144^\circ + 180^\circ = 486^\circ$.

Ответ: $486^\circ$.

4) Дано уравнение $sinx + \sqrt{3} cosx = 1$, если $x \in [270^\circ; 450^\circ]$.

Это уравнение вида $a \cdot sinx + b \cdot cosx = c$. Применим метод введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{1}{2}sinx + \frac{\sqrt{3}}{2}cosx = \frac{1}{2}$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = cos(60^\circ)$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = sin(60^\circ)$.

$cos(60^\circ)sinx + sin(60^\circ)cosx = \frac{1}{2}$.

Используя формулу синуса суммы $sin(\alpha+\beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$, получаем:

$sin(x+60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Это уравнение распадается на две серии решений:

1. $x+60^\circ = 30^\circ + 360^\circ k \implies x = -30^\circ + 360^\circ k$

2. $x+60^\circ = 180^\circ - 30^\circ + 360^\circ k \implies x+60^\circ = 150^\circ + 360^\circ k \implies x = 90^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $[270^\circ; 450^\circ]$.

1. Для $x = -30^\circ + 360^\circ k$: при $k=1$ получаем $x_1 = -30^\circ + 360^\circ = 330^\circ$. Корень подходит.

2. Для $x = 90^\circ + 360^\circ k$: при $k=1$ получаем $x_2 = 90^\circ + 360^\circ = 450^\circ$. Корень подходит, так как интервал включает правую границу.

Найденные корни: $330^\circ$ и $450^\circ$.

Сумма корней: $330^\circ + 450^\circ = 780^\circ$.

Ответ: $780^\circ$.

20.7. Решите тригонометрическое уравнение:

1) $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 0;$

2) $\frac{\cos x}{\cos 3x} = 0.$

1) $\frac{\sin3x}{\sin x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \sin3x = 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение системы: $\sin3x = 0$.

Его решениями являются $3x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

Отсюда $x = \frac{\pi k}{3}$.

Теперь нужно проверить второе условие: $\sin x \neq 0$.

Условие $\sin x = 0$ выполняется при $x = \pi n$, где $n \in Z$. Следовательно, мы должны исключить из наших решений $x = \frac{\pi k}{3}$ те значения, которые совпадают с $x = \pi n$.

Приравняем их: $\frac{\pi k}{3} = \pi n$.

Сократив на $\pi$, получим $k = 3n$.

Это означает, что мы должны исключить все значения $k$, которые кратны 3 (например, $k = 0, \pm3, \pm6, \dots$).

Таким образом, в серии решений $x = \frac{\pi k}{3}$ остаются только те, где $k$ не делится на 3. Эти решения можно представить в виде двух серий:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi m$

$x = \frac{2\pi}{3} + \pi m$, где $m \in Z$.

Эти две серии также можно объединить в одну формулу $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m$, где $m \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, x = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in Z$.

2) $\frac{\cos x}{\cos 3x} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x = 0 \\ \cos 3x \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\cos x = 0$.

Его решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Теперь проверим, выполняется ли для этих значений $x$ условие $\cos 3x \neq 0$.

Подставим $x$ в выражение $\cos 3x$:

$3x = 3(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$.

Вычислим $\cos(3x) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k)$. По формуле косинуса суммы:

$\cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{2})\cos(3\pi k) - \sin(\frac{3\pi}{2})\sin(3\pi k)$

Зная, что $\cos(\frac{3\pi}{2})=0$, $\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$ и $\sin(3\pi k)=0$ для любого целого $k$, получаем:

$0 \cdot \cos(3\pi k) - (-1) \cdot 0 = 0$.

Таким образом, для любого целого $k$ значение $\cos(3x)$ оказывается равным нулю. Это означает, что ни одно из решений уравнения $\cos x = 0$ не удовлетворяет условию $\cos 3x \neq 0$.

Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

20.8. Решите уравнение способом понижения степени уравнения:

1) $\sin^2 x + \sin^2 2x - \sin^2 3x = \sin^2 4x;$

2) $\cos \frac{4x}{3} + \sin^2 \frac{3x}{2} + 2\sin^2 \frac{5x}{4} - \cos^2 \frac{3x}{2} = 0;$

3) $\sin^4 x + \cos^4 x - \frac{5}{8} = 0;$

4) $\cos^2 x + \cos^2 2x - \cos^2 3x - \cos^2 4x = 0;$

5) $\cos^2 \frac{3x}{4} + \cos^2 x + \cos^2 \frac{5x}{4} = \frac{3}{2};$

6) $\sin^2 \frac{x}{3} + \sin^2 \frac{4x}{9} = \sin^2 \frac{5x}{9} + \sin^2 \frac{2x}{3}.$

1) Исходное уравнение: $sin^2x + sin^22x - sin^23x = sin^24x$.

Перенесем все члены в одну сторону: $sin^2x + sin^22x - sin^23x - sin^24x = 0$.

Применим формулу понижения степени $sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ к каждому члену уравнения:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(4x)}{2} - \frac{1 - \cos(6x)}{2} - \frac{1 - \cos(8x)}{2} = 0$.

Умножим обе части на 2:

$(1 - \cos(2x)) + (1 - \cos(4x)) - (1 - \cos(6x)) - (1 - \cos(8x)) = 0$.

Раскроем скобки и упростим:

$1 - \cos(2x) + 1 - \cos(4x) - 1 + \cos(6x) - 1 + \cos(8x) = 0$

$-\cos(2x) - \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = 0$

Сгруппируем члены уравнения: $(\cos(8x) + \cos(6x)) - (\cos(4x) + \cos(2x)) = 0$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos(\frac{8x+6x}{2})\cos(\frac{8x-6x}{2}) - 2\cos(\frac{4x+2x}{2})\cos(\frac{4x-2x}{2}) = 0$

$2\cos(7x)\cos(x) - 2\cos(3x)\cos(x) = 0$.

Вынесем общий множитель $2\cos(x)$ за скобки:

$2\cos(x)(\cos(7x) - \cos(3x)) = 0$.

Применим формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ ко второму множителю:

$2\cos(x)(-2\sin(\frac{7x+3x}{2})\sin(\frac{7x-3x}{2})) = 0$

$-4\cos(x)\sin(5x)\sin(2x) = 0$.

Это уравнение распадается на три случая:

1. $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

3. $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что серия решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi m}{2}$ (при нечетных $m$). Таким образом, решения можно объединить в две серии.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, x = \frac{\pi m}{2}$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\cos\frac{4x}{3} + \sin^2\frac{3x}{2} + 2\sin^2\frac{5x}{4} - \cos^2\frac{3x}{2} = 0$.

Сгруппируем члены с одинаковым аргументом: $\cos\frac{4x}{3} + 2\sin^2\frac{5x}{4} - (\cos^2\frac{3x}{2} - \sin^2\frac{3x}{2}) = 0$.

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$\cos\frac{4x}{3} + 2\sin^2\frac{5x}{4} - \cos(2 \cdot \frac{3x}{2}) = 0$

$\cos\frac{4x}{3} + 2\sin^2\frac{5x}{4} - \cos(3x) = 0$.

Применим формулу понижения степени $2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha)$:

$\cos\frac{4x}{3} + (1 - \cos(2 \cdot \frac{5x}{4})) - \cos(3x) = 0$

$\cos\frac{4x}{3} + 1 - \cos(\frac{5x}{2}) - \cos(3x) = 0$.

Перепишем уравнение в виде: $(\cos\frac{4x}{3} - \cos(3x)) + (1 - \cos\frac{5x}{2}) = 0$.

Решения можно искать в виде, когда обе скобки одновременно равны нулю:

$\begin{cases} \cos\frac{4x}{3} - \cos(3x) = 0 \\ 1 - \cos\frac{5x}{2} = 0 \end{cases}$.

Из второго уравнения: $\cos\frac{5x}{2} = 1 \implies \frac{5x}{2} = 2\pi k \implies x = \frac{4\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

Подставим это решение в первое уравнение:

$\cos(\frac{4}{3} \cdot \frac{4\pi k}{5}) = \cos(3 \cdot \frac{4\pi k}{5})$

$\cos(\frac{16\pi k}{15}) = \cos(\frac{12\pi k}{5}) = \cos(\frac{36\pi k}{15})$.

Это равенство выполняется, если $\frac{16\pi k}{15} = \pm \frac{36\pi k}{15} + 2\pi n$.

При $k=0$ получаем $x=0$, что является решением. Если $k \neq 0$, сокращаем на $k$:

$\frac{16\pi}{15} = \pm \frac{36\pi}{15} + \frac{2\pi n}{k} \implies 16 = \pm 36 + \frac{30n}{k}$.

Случай 1: $16 = 36 + \frac{30n}{k} \implies -20 = \frac{30n}{k} \implies \frac{n}{k} = -\frac{2}{3}$. Это возможно, например, при $k=3m, n=-2m$. Тогда $x = \frac{4\pi(3m)}{5} = \frac{12\pi m}{5}$.

Случай 2: $16 = -36 + \frac{30n}{k} \implies 52 = \frac{30n}{k} \implies \frac{n}{k} = \frac{26}{15}$. Это возможно, например, при $k=15m, n=26m$. Тогда $x = \frac{4\pi(15m)}{5} = 12\pi m$. Эта серия решений является подмножеством первой (при $m$ кратных 5).

Таким образом, решения этого вида $x = \frac{12\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{12\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sin^4x + cos^4x - \frac{5}{8} = 0$.

Преобразуем выражение $sin^4x + cos^4x$:

$sin^4x + cos^4x = (sin^2x + cos^2x)^2 - 2sin^2xcos^2x = 1^2 - 2(sinxcosx)^2 = 1 - 2(\frac{sin2x}{2})^2 = 1 - \frac{sin^22x}{2}$.

Подставим в уравнение:

$1 - \frac{sin^22x}{2} - \frac{5}{8} = 0$

$\frac{3}{8} = \frac{sin^22x}{2} \implies sin^22x = \frac{3}{4}$.

Применим формулу понижения степени $sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{3}{4}$

$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{3}{4}$.

$1 - \cos(4x) = \frac{3}{2} \implies \cos(4x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Решаем полученное уравнение:

$4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$

$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $cos^2x + cos^22x - cos^23x - cos^24x = 0$.

Применим формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ к каждому члену:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} - \frac{1 + \cos(6x)}{2} - \frac{1 + \cos(8x)}{2} = 0$.

Умножим обе части на 2:

$(1 + \cos(2x)) + (1 + \cos(4x)) - (1 + \cos(6x)) - (1 + \cos(8x)) = 0$.

Раскроем скобки и упростим:

$\cos(2x) + \cos(4x) - \cos(6x) - \cos(8x) = 0$.

Сгруппируем члены: $(\cos(4x) + \cos(2x)) - (\cos(8x) + \cos(6x)) = 0$.

Заметим, что это уравнение отличается от уравнения в задаче 1) только знаками. После преобразований из задачи 1) мы получили бы: $(\cos(8x) + \cos(6x)) - (\cos(4x) + \cos(2x)) = 0$. В данном случае у нас $\cos(2x)+\cos(4x) - (\cos(6x)+\cos(8x)) = 0$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos(3x)\cos(x) - 2\cos(7x)\cos(x) = 0$.

$2\cos(x)(\cos(3x) - \cos(7x)) = 0$.

Применим формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$2\cos(x)(-2\sin(5x)\sin(-2x)) = 0$

$4\cos(x)\sin(5x)\sin(2x) = 0$.

Это уравнение распадается на три случая:

1. $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

3. $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Серия решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi m}{2}$ (при нечетных $m$).

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, x = \frac{\pi m}{2}$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $cos^2\frac{3x}{4} + cos^2x + cos^2\frac{5x}{4} = \frac{3}{2}$.

Применим формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(\frac{3x}{2})}{2} + \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(\frac{5x}{2})}{2} = \frac{3}{2}$.

Умножим обе части на 2:

$(1 + \cos(\frac{3x}{2})) + (1 + \cos(2x)) + (1 + \cos(\frac{5x}{2})) = 3$.

Упростим:

$3 + \cos(\frac{3x}{2}) + \cos(2x) + \cos(\frac{5x}{2}) = 3$

$\cos(\frac{3x}{2}) + \cos(2x) + \cos(\frac{5x}{2}) = 0$.

Сгруппируем крайние члены и применим формулу суммы косинусов:

$(\cos(\frac{5x}{2}) + \cos(\frac{3x}{2})) + \cos(2x) = 0$

$2\cos(\frac{\frac{5x}{2}+\frac{3x}{2}}{2})\cos(\frac{\frac{5x}{2}-\frac{3x}{2}}{2}) + \cos(2x) = 0$

$2\cos(2x)\cos(\frac{x}{2}) + \cos(2x) = 0$.

Вынесем $\cos(2x)$ за скобки:

$\cos(2x)(2\cos(\frac{x}{2}) + 1) = 0$.

Уравнение распадается на два случая:

1. $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2. $2\cos(\frac{x}{2}) + 1 = 0 \implies \cos(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$.

$\frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $sin^2\frac{x}{3} + sin^2\frac{4x}{9} = sin^2\frac{5x}{9} + sin^2\frac{2x}{3}$.

Перенесем все члены в одну сторону: $sin^2\frac{x}{3} - sin^2\frac{2x}{3} + sin^2\frac{4x}{9} - sin^2\frac{5x}{9} = 0$.

Применим формулу понижения степени $sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(\frac{2x}{3})}{2} - \frac{1 - \cos(\frac{4x}{3})}{2} + \frac{1 - \cos(\frac{8x}{9})}{2} - \frac{1 - \cos(\frac{10x}{9})}{2} = 0$.

Умножим на 2 и упростим:

$(1 - \cos(\frac{2x}{3})) - (1 - \cos(\frac{4x}{3})) + (1 - \cos(\frac{8x}{9})) - (1 - \cos(\frac{10x}{9})) = 0$

$\cos(\frac{4x}{3}) - \cos(\frac{2x}{3}) + \cos(\frac{10x}{9}) - \cos(\frac{8x}{9}) = 0$.

Приведем аргументы к общему знаменателю 9: $\cos(\frac{12x}{9}) - \cos(\frac{6x}{9}) + \cos(\frac{10x}{9}) - \cos(\frac{8x}{9}) = 0$.

Сгруппируем и применим формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$(\cos(\frac{12x}{9}) - \cos(\frac{6x}{9})) + (\cos(\frac{10x}{9}) - \cos(\frac{8x}{9})) = 0$

$-2\sin(\frac{18x/9}{2})\sin(\frac{6x/9}{2}) - 2\sin(\frac{18x/9}{2})\sin(\frac{2x/9}{2}) = 0$

$-2\sin(x)\sin(\frac{x}{3}) - 2\sin(x)\sin(\frac{x}{9}) = 0$.

Вынесем $-2\sin(x)$ за скобки:

$-2\sin(x)(\sin(\frac{x}{3}) + \sin(\frac{x}{9})) = 0$.

Применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$-2\sin(x)(2\sin(\frac{x/3+x/9}{2})\cos(\frac{x/3-x/9}{2})) = 0$

$-4\sin(x)\sin(\frac{2x}{9})\cos(\frac{x}{9}) = 0$.

Уравнение распадается на три случая:

1. $\sin(x) = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin(\frac{2x}{9}) = 0 \implies \frac{2x}{9} = \pi n \implies x = \frac{9\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3. $\cos(\frac{x}{9}) = 0 \implies \frac{x}{9} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{9\pi}{2} + 9\pi m = \frac{9\pi(1+2m)}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Серия решений из случая 3 является подмножеством серии из случая 2 (при нечетных $n$).

Ответ: $x = \pi k, x = \frac{9\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

20.9. Решите уравнение способом преобразования произведения в сумму тригонометрических функций:

1) $sinx cosx cos2x cos8x - \frac{1}{4}sin12x = 0;$

2) $4cosx cos2x cos3x - cos6x = 0;$

3) $sinx sin2x sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0;$

4) $cosx cos2x cos4x cos8x - \frac{1}{8}cos15x = 0;$

5) $cosx cos\frac{7x}{2} sin\frac{9x}{2} = \frac{1}{4}sin7x;$

6) $cosx cos2x cos4x cos8x - \frac{1}{16} = 0.$

1) Дано уравнение: $sinx cosx cos2x cos8x - \frac{1}{4}sin12x = 0$.

Преобразуем произведение $sinx cosx$, используя формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$:

$sinx cosx = \frac{1}{2}sin2x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2}sin2x cos2x cos8x - \frac{1}{4}sin12x = 0$.

Аналогично, $\frac{1}{2}sin2x cos2x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}sin4x = \frac{1}{4}sin4x$.

Подставляем в уравнение:

$\frac{1}{4}sin4x cos8x - \frac{1}{4}sin12x = 0$.

Умножим обе части на 4:

$sin4x cos8x - sin12x = 0$.

Применим формулу преобразования произведения в сумму $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$:

$\frac{1}{2}(sin(4x+8x) + sin(4x-8x)) - sin12x = 0$

$\frac{1}{2}(sin12x + sin(-4x)) - sin12x = 0$.

Поскольку $sin(-4x) = -sin4x$, получаем:

$\frac{1}{2}(sin12x - sin4x) - sin12x = 0$

$sin12x - sin4x - 2sin12x = 0$

$-sin12x - sin4x = 0$ или $sin12x + sin4x = 0$.

Применим формулу преобразования суммы синусов в произведение $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2sin\frac{12x+4x}{2}cos\frac{12x-4x}{2} = 0$

$2sin8x cos4x = 0$.

Это уравнение распадается на два:

а) $sin8x = 0 \implies 8x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi(1+2n)}{8}, n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что вторая серия решений (при нечетных числителях) является подмножеством первой серии. Следовательно, все решения можно записать одной формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение: $4cosx cos2x cos3x - cos6x = 0$.

Сгруппируем и преобразуем произведение $2cosx cos2x$ по формуле $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta))$:

$2(2cosx cos2x)cos3x - cos6x = 0$

$2(cos(x+2x) + cos(x-2x))cos3x - cos6x = 0$

$2(cos3x + cosx)cos3x - cos6x = 0$

$2cos^2(3x) + 2cosx cos3x - cos6x = 0$.

Используем формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$:

$2\frac{1+cos(6x)}{2} + 2cosx cos3x - cos6x = 0$

$1 + cos6x + 2cosx cos3x - cos6x = 0$

$1 + 2cosx cos3x = 0$.

Снова применим формулу преобразования произведения в сумму:

$1 + (cos(x+3x) + cos(x-3x)) = 0$

$1 + cos4x + cos2x = 0$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$:

$1 + (2cos^2(2x) - 1) + cos2x = 0$

$2cos^2(2x) + cos2x = 0$

$cos2x(2cos2x + 1) = 0$.

Получаем два случая:

а) $cos2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2cos2x + 1 = 0 \implies cos2x = -\frac{1}{2} \implies 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение: $sinx sin2x sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0$.

Преобразуем произведение $sinx sin2x$ по формуле $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta) - cos(\alpha+\beta))$:

$\frac{1}{2}(cos(x-2x) - cos(x+2x))sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0$

$\frac{1}{2}(cos(-x) - cos3x)sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0$

$\frac{1}{2}(cosx - cos3x)sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0$

$\frac{1}{2}cosx sin3x - \frac{1}{2}cos3x sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0$.

Используем $sin\alpha cos\alpha = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$, тогда $\frac{1}{2}cos3x sin3x = \frac{1}{4}sin6x$.

$\frac{1}{2}cosx sin3x - \frac{1}{4}sin6x - \frac{1}{4}sin4x = 0$.

Умножим на 4: $2cosx sin3x - sin6x - sin4x = 0$.

Преобразуем $2cosx sin3x$ по формуле $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$:

$2sin3x cosx = sin(3x+x) + sin(3x-x) = sin4x + sin2x$.

Подставляем в уравнение:

$(sin4x + sin2x) - sin6x - sin4x = 0$

$sin2x - sin6x = 0 \implies sin6x = sin2x$.

Решения этого уравнения находятся по формулам:

а) $6x = 2x + 2\pi k \implies 4x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $6x = \pi - 2x + 2\pi n \implies 8x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение: $cosx cos2x cos4x cos8x - \frac{1}{8}cos15x = 0$.

Обозначим $P = cosx cos2x cos4x cos8x$. Предположим, что $sinx \neq 0$ (то есть $x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$). Умножим $P$ на $16sinx$:

$16sinx \cdot P = 16sinx cosx cos2x cos4x cos8x = 8(2sinx cosx)cos2x cos4x cos8x = 8sin2x cos2x cos4x cos8x = 4sin4x cos4x cos8x = 2sin8x cos8x = sin16x$.

Следовательно, $P = \frac{sin16x}{16sinx}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{sin16x}{16sinx} - \frac{1}{8}cos15x = 0$

$\frac{sin16x}{16sinx} = \frac{cos15x}{8}$.

Умножим обе части на $16sinx$:

$sin16x = 2sinx cos15x$.

Применим формулу $2sin\alpha cos\beta = sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta)$:

$sin16x = sin(x+15x) + sin(x-15x)$

$sin16x = sin16x + sin(-14x)$

$sin16x = sin16x - sin14x$

$sin14x = 0$.

$14x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{14}, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь нужно исключить значения $k$, для которых нарушается наше предположение $sinx \neq 0$.

$sinx = 0$ при $x = \pi m$. $\frac{\pi k}{14} = \pi m \implies k = 14m$.

Таким образом, $k$ не должно быть кратно 14.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{14}$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $k$ не делится на 14.

5) Дано уравнение: $cosx cos\frac{7x}{2} sin\frac{9x}{2} = \frac{1}{4}sin7x$.

Преобразуем произведение $cos\frac{7x}{2} sin\frac{9x}{2}$ по формуле $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$:

$sin\frac{9x}{2}cos\frac{7x}{2} = \frac{1}{2}(sin(\frac{9x}{2}+\frac{7x}{2}) + sin(\frac{9x}{2}-\frac{7x}{2})) = \frac{1}{2}(sin8x + sinx)$.

Подставим в уравнение:

$cosx \cdot \frac{1}{2}(sin8x + sinx) = \frac{1}{4}sin7x$.

Умножим на 4: $2cosx(sin8x + sinx) = sin7x$.

$2cosx sin8x + 2cosx sinx = sin7x$.

Преобразуем произведения в суммы:

$2sin8x cosx = sin(8x+x) + sin(8x-x) = sin9x + sin7x$.

$2sinx cosx = sin2x$.

Подставляем обратно:

$(sin9x + sin7x) + sin2x = sin7x$

$sin9x + sin2x = 0$.

Преобразуем сумму в произведение:

$2sin\frac{9x+2x}{2}cos\frac{9x-2x}{2} = 0$

$2sin\frac{11x}{2}cos\frac{7x}{2} = 0$.

Получаем два случая:

а) $sin\frac{11x}{2} = 0 \implies \frac{11x}{2} = \pi k \implies x = \frac{2\pi k}{11}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos\frac{7x}{2} = 0 \implies \frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{11}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение: $cosx cos2x cos4x cos8x - \frac{1}{16} = 0$.

Как и в задаче 4, произведение $P = cosx cos2x cos4x cos8x = \frac{sin16x}{16sinx}$ при условии $sinx \neq 0$.

Подставляем в уравнение:

$\frac{sin16x}{16sinx} - \frac{1}{16} = 0$

$\frac{sin16x}{16sinx} = \frac{1}{16}$.

При $sinx \neq 0$ можем умножить на $16sinx$:

$sin16x = sinx$.

Решения этого уравнения находятся по формулам:

а) $16x = x + 2\pi k \implies 15x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{15}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $16x = \pi - x + 2\pi n \implies 17x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi(1+2n)}{17}, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие $sinx \neq 0$.

Для серии а): $sinx = 0$ при $x = \pi m$. $\frac{2\pi k}{15} = \pi m \implies 2k = 15m$. Так как 2 и 15 взаимно просты, $k$ должно быть кратно 15. Значит, нужно исключить $k$, кратные 15.Для серии б): $sinx = 0$ при $x = \pi m$. $\frac{\pi(1+2n)}{17} = \pi m \implies 1+2n = 17m$. Это возможно, если $m$ - нечетное число. Таким образом, нужно исключить значения $n$, для которых $1+2n$ кратно 17.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{15}$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $k$ не делится на 15; $x = \frac{\pi(1+2n)}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $1+2n$ не делится на 17.