Номер 28.1, страница 207, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.1. В трех коробках имеются шары. В первой коробке 4 красных и 3 желтых, во второй – 5 красных и 2 желтых, в третьей – 2 красных и 5 желтых шаров. Случайным образом выбирают одну из коробок и вынимают из нее шар. Найдите вероятность того, что:

1) этот шар будет красным;

2) красный шар будет вынут из второй коробки.

1) этот шар будет красным;

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Введем следующие события:

$H_1$ – событие, состоящее в выборе первой коробки.

$H_2$ – событие, состоящее в выборе второй коробки.

$H_3$ – событие, состоящее в выборе третьей коробки.

Поскольку коробка выбирается случайным образом, вероятности этих событий равны:

$P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$

Пусть событие $A$ – из выбранной коробки вынут красный шар. Найдем условные вероятности события $A$ для каждой из коробок.

В первой коробке всего $4 + 3 = 7$ шаров, из них 4 красных. Вероятность вынуть красный шар, если выбрана первая коробка, равна:

$P(A|H_1) = \frac{4}{7}$

Во второй коробке всего $5 + 2 = 7$ шаров, из них 5 красных. Вероятность вынуть красный шар, если выбрана вторая коробка, равна:

$P(A|H_2) = \frac{5}{7}$

В третьей коробке всего $2 + 5 = 7$ шаров, из них 2 красных. Вероятность вынуть красный шар, если выбрана третья коробка, равна:

$P(A|H_3) = \frac{2}{7}$

Полная вероятность события $A$ вычисляется по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$

Подставим найденные значения в формулу:

$P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1}{3} \left(\frac{4}{7} + \frac{5}{7} + \frac{2}{7}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4+5+2}{7} = \frac{1}{3} \cdot \frac{11}{7} = \frac{11}{21}$

Ответ: $\frac{11}{21}$

2) красный шар будет вынут из второй коробки.

Это событие представляет собой совместное наступление двух событий: была выбрана вторая коробка (событие $H_2$) и из нее был вынут красный шар (событие $A$ при условии $H_2$). Нам нужно найти вероятность пересечения этих событий $P(A \cap H_2)$.

Для нахождения этой вероятности используется формула умножения вероятностей:

$P(A \cap H_2) = P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Мы уже определили эти вероятности в предыдущем пункте:

Вероятность выбора второй коробки $P(H_2) = \frac{1}{3}$.

Вероятность вынуть красный шар из второй коробки $P(A|H_2) = \frac{5}{7}$.

Теперь вычислим искомую вероятность:

$P(A \cap H_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{21}$

Ответ: $\frac{5}{21}$