Номер 28.6, страница 208, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.6. Деталь к изделию поступает из двух заготовительных цехов: из первого цеха — 70%, из второго цеха — 30%. Деталь из первого цеха имеет 10% брака, из второго — 20% брака. Взятая наудачу деталь оказалась без дефекта. Какова вероятность ее изготовления первым цехом?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Байеса. Введем следующие обозначения для событий:

$H_1$ – событие, заключающееся в том, что деталь изготовлена в первом цехе.

$H_2$ – событие, заключающееся в том, что деталь изготовлена во втором цехе.

$A$ – событие, заключающееся в том, что взятая наудачу деталь оказалась без дефекта.

Из условия задачи известны следующие априорные вероятности гипотез $H_1$ и $H_2$:

Вероятность того, что деталь из первого цеха: $P(H_1) = 0.70$ (70%).

Вероятность того, что деталь из второго цеха: $P(H_2) = 0.30$ (30%).

Также известны условные вероятности того, что деталь будет с дефектом. Найдем условные вероятности того, что деталь будет без дефекта (событие $A$) для каждого цеха:

Вероятность брака для первого цеха составляет 10%, следовательно, вероятность того, что деталь из первого цеха окажется без дефекта, равна:$P(A|H_1) = 1 - 0.10 = 0.90$.

Вероятность брака для второго цеха составляет 20%, следовательно, вероятность того, что деталь из второго цеха окажется без дефекта, равна:$P(A|H_2) = 1 - 0.20 = 0.80$.

Нам необходимо найти вероятность того, что деталь была изготовлена первым цехом, при условии, что она оказалась без дефекта. Это апостериорная вероятность $P(H_1|A)$.

Сначала найдем полную вероятность события $A$ (то есть, вероятность того, что любая наугад взятая деталь будет без дефекта) по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Подставим известные значения:

$P(A) = (0.70 \cdot 0.90) + (0.30 \cdot 0.80) = 0.63 + 0.24 = 0.87$.

Теперь, используя формулу Байеса, найдем искомую вероятность $P(H_1|A)$:

$P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)}$

Подставим вычисленные значения:

$P(H_1|A) = \frac{0.70 \cdot 0.90}{0.87} = \frac{0.63}{0.87}$

Упростим полученную дробь, умножив числитель и знаменатель на 100 и сократив на общий делитель 3:

$P(H_1|A) = \frac{63}{87} = \frac{21 \cdot 3}{29 \cdot 3} = \frac{21}{29}$.

Ответ: $\frac{21}{29}$