Номер 28.9, страница 209, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.9. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками равны 0,4; 0,5; 0,6. Найдите вероятность того, что первый стрелок поразил мишень.

Пусть $A_1, A_2, A_3$ — события, состоящие в том, что в мишень попали соответственно первый, второй и третий стрелки. По условию задачи, вероятности этих событий равны:

$P(A_1) = 0.4$

$P(A_2) = 0.5$

$P(A_3) = 0.6$

Вероятности противоположных событий (промахов), которые мы обозначим $\bar{A_1}, \bar{A_2}, \bar{A_3}$, будут равны:

$P(\bar{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0.4 = 0.6$

$P(\bar{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0.5 = 0.5$

$P(\bar{A_3}) = 1 - P(A_3) = 1 - 0.6 = 0.4$

Пусть событие $B$ — «в мишень попали ровно две пули». Это событие может произойти в результате одной из трех следующих несовместных комбинаций (гипотез):

1. Первый и второй стрелки попали, а третий промахнулся ($A_1 \cap A_2 \cap \bar{A_3}$). Вероятность этого события:

$P(B_1) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(\bar{A_3}) = 0.4 \cdot 0.5 \cdot 0.4 = 0.08$.

2. Первый и третий стрелки попали, а второй промахнулся ($A_1 \cap \bar{A_2} \cap A_3$). Вероятность этого события:

$P(B_2) = P(A_1) \cdot P(\bar{A_2}) \cdot P(A_3) = 0.4 \cdot 0.5 \cdot 0.6 = 0.12$.

3. Второй и третий стрелки попали, а первый промахнулся ($\bar{A_1} \cap A_2 \cap A_3$). Вероятность этого события:

$P(B_3) = P(\bar{A_1}) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.6 = 0.18$.

По формуле полной вероятности, вероятность события $B$ равна сумме вероятностей этих трех комбинаций:

$P(B) = P(B_1) + P(B_2) + P(B_3) = 0.08 + 0.12 + 0.18 = 0.38$.

Нам необходимо найти условную вероятность того, что первый стрелок поразил мишень (событие $A_1$) при условии, что произошло событие $B$. Искомая вероятность — $P(A_1|B)$.

Для этого воспользуемся формулой условной вероятности (формулой Байеса): $P(A_1|B) = \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)}$.

Событие $A_1 \cap B$ означает, что «первый стрелок попал и при этом было ровно два попадания». Это событие соответствует комбинациям 1 и 2, рассмотренным выше, так как в обеих из них первый стрелок попал. Его вероятность равна:

$P(A_1 \cap B) = P(B_1) + P(B_2) = 0.08 + 0.12 = 0.20$.

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность:

$P(A_1|B) = \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{0.20}{0.38} = \frac{20}{38} = \frac{10}{19}$.

Ответ: $\frac{10}{19}$