Номер 28.14, страница 209, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.14. Запишите разложения степеней:

1) $(y + 2a)^5$;

2) $(2x + 3a)^6$;

3) $(3x - 2a)^4$.

Для разложения степеней биномов используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальные коэффициенты.

Биномиальные коэффициенты также можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) Для выражения $(y + 2a)^5$ имеем $n=5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Разложим степень по формуле, где $a=y$ и $b=2a$:

$(y + 2a)^5 = C_5^0 y^5 (2a)^0 + C_5^1 y^4 (2a)^1 + C_5^2 y^3 (2a)^2 + C_5^3 y^2 (2a)^3 + C_5^4 y^1 (2a)^4 + C_5^5 y^0 (2a)^5$

$= 1 \cdot y^5 \cdot 1 + 5 \cdot y^4 \cdot (2a) + 10 \cdot y^3 \cdot (4a^2) + 10 \cdot y^2 \cdot (8a^3) + 5 \cdot y \cdot (16a^4) + 1 \cdot 1 \cdot (32a^5)$

$= y^5 + 10ay^4 + 40a^2y^3 + 80a^3y^2 + 80a^4y + 32a^5$

Ответ: $y^5 + 10ay^4 + 40a^2y^3 + 80a^3y^2 + 80a^4y + 32a^5$.

2) Для выражения $(2x + 3a)^6$ имеем $n=6$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Разложим степень по формуле, где $a=2x$ и $b=3a$:

$(2x + 3a)^6 = C_6^0 (2x)^6 (3a)^0 + C_6^1 (2x)^5 (3a)^1 + C_6^2 (2x)^4 (3a)^2 + C_6^3 (2x)^3 (3a)^3 + C_6^4 (2x)^2 (3a)^4 + C_6^5 (2x)^1 (3a)^5 + C_6^6 (2x)^0 (3a)^6$

$= 1 \cdot (64x^6) \cdot 1 + 6 \cdot (32x^5) \cdot (3a) + 15 \cdot (16x^4) \cdot (9a^2) + 20 \cdot (8x^3) \cdot (27a^3) + 15 \cdot (4x^2) \cdot (81a^4) + 6 \cdot (2x) \cdot (243a^5) + 1 \cdot 1 \cdot (729a^6)$

$= 64x^6 + 576ax^5 + 2160a^2x^4 + 4320a^3x^3 + 4860a^4x^2 + 2916a^5x + 729a^6$

Ответ: $64x^6 + 576ax^5 + 2160a^2x^4 + 4320a^3x^3 + 4860a^4x^2 + 2916a^5x + 729a^6$.

3) Для выражения $(3x - 2a)^4$ имеем $n=4$. Биномиальные коэффициенты для $n=4$ равны 1, 4, 6, 4, 1.

Разложим степень по формуле, где $a=3x$ и $b=-2a$. Обратите внимание на чередование знаков из-за отрицательного второго члена.

$(3x - 2a)^4 = C_4^0 (3x)^4 (-2a)^0 + C_4^1 (3x)^3 (-2a)^1 + C_4^2 (3x)^2 (-2a)^2 + C_4^3 (3x)^1 (-2a)^3 + C_4^4 (3x)^0 (-2a)^4$

$= 1 \cdot (81x^4) \cdot 1 + 4 \cdot (27x^3) \cdot (-2a) + 6 \cdot (9x^2) \cdot (4a^2) + 4 \cdot (3x) \cdot (-8a^3) + 1 \cdot 1 \cdot (16a^4)$

$= 81x^4 - 216ax^3 + 216a^2x^2 - 96a^3x + 16a^4$

Ответ: $81x^4 - 216ax^3 + 216a^2x^2 - 96a^3x + 16a^4$.