Номер 29.2, страница 212, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.2. В коробке находятся 3 шара синего цвета и 2 шара красного. Извлекаются два шара. Найдите вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажется:

1) один шар синего цвета;

2) два шара синего цвета;

3) хотя бы один шар синего цвета.

Всего в коробке находится 3 синих и 2 красных шара, то есть 3 + 2 = 5 шаров. Мы извлекаем 2 шара. Для решения задачи будем использовать классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию. Общее число исходов $N$ — это количество способов выбрать 2 шара из 5 имеющихся, без учета порядка. Это число сочетаний из 5 по 2. $N = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{2! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$. Итак, существует 10 различных пар шаров, которые можно извлечь.

1) один шар синего цвета;

Это событие означает, что мы извлекли 1 синий шар и 1 красный шар. Число способов выбрать 1 синий шар из 3 синих равно $C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3$. Число способов выбрать 1 красный шар из 2 красных равно $C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = 2$. Чтобы найти общее число благоприятных исходов, нужно перемножить эти количества (по правилу произведения в комбинаторике): $m_1 = C_3^1 \cdot C_2^1 = 3 \cdot 2 = 6$. Вероятность того, что среди извлеченных шаров будет ровно один синий, равна: $P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Ответ: 0,6

2) два шара синего цвета;

Это событие означает, что оба извлеченных шара — синие. Число способов выбрать 2 синих шара из 3 синих равно: $m_2 = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$. Вероятность того, что оба извлеченных шара будут синими, равна: $P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: 0,3

3) хотя бы один шар синего цвета.

Событие "хотя бы один шар синего цвета" означает, что извлечен либо 1 синий шар, либо 2 синих шара. Эти два исхода несовместны, поэтому их вероятности можно сложить. Мы уже вычислили эти вероятности в пунктах 1 и 2. $P_3 = P_1 + P_2 = 0,6 + 0,3 = 0,9$.

Также можно решить эту задачу через противоположное событие. Противоположное событие для "хотя бы один синий шар" — это "ни одного синего шара", что в данном случае означает "оба шара красные". Найдем число способов извлечь 2 красных шара из 2 имеющихся: $m_{\text{против}} = C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$. Вероятность противоположного события: $P_{\text{против}} = \frac{m_{\text{против}}}{N} = \frac{1}{10} = 0,1$. Тогда искомая вероятность равна: $P_3 = 1 - P_{\text{против}} = 1 - 0,1 = 0,9$.

Ответ: 0,9