Номер 29.9, страница 212, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.9. Бросание кубика считается удачным, если выпадает 5 или 6 очков. Найдите вероятность того, что 125 бросаний из 200 будут удачными.

Данная задача представляет собой серию из $n=200$ независимых испытаний (бросков кубика), в каждом из которых есть два исхода: "успех" (выпало 5 или 6) и "неудача" (выпало 1, 2, 3 или 4). Такая последовательность испытаний описывается схемой Бернулли.

Сначала определим вероятность "успеха" ($p$) в одном броске. На стандартном кубике 6 граней. Успешными считаются 2 исхода (5 и 6).

$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Вероятность "неудачи" ($q$) в одном броске составляет:

$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Нам нужно найти вероятность того, что в $n=200$ бросках будет ровно $k=125$ успехов. Точная вероятность вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} = C_{200}^{125} (\frac{1}{3})^{125} (\frac{2}{3})^{200-125}$

Поскольку число испытаний $n$ велико, прямое вычисление по этой формуле крайне затруднительно. В таких случаях для аппроксимации используется локальная теорема Муавра-Лапласа:

$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$, где $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ (функция плотности стандартного нормального распределения), а $x$ вычисляется по формуле $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$.

Вычислим необходимые параметры для формулы:

1. Математическое ожидание (наиболее вероятное число успехов):

$np = 200 \cdot \frac{1}{3} = \frac{200}{3} \approx 66.67$

2. Среднеквадратическое отклонение:

$\sqrt{npq} = \sqrt{200 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3} \approx 6.67$

Теперь вычислим значение $x$, которое показывает, на сколько стандартных отклонений наше значение $k=125$ отстоит от математического ожидания:

$x = \frac{125 - \frac{200}{3}}{\frac{20}{3}} = \frac{\frac{375-200}{3}}{\frac{20}{3}} = \frac{175}{20} = 8.75$

Значение $x=8.75$ является очень большим. Функция Гаусса $\phi(x)$ очень быстро стремится к нулю при увеличении $|x|$. Уже при $x > 5$ её значение становится пренебрежимо малым. Значение $\phi(8.75)$ будет чрезвычайно близко к нулю:

$\phi(8.75) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(8.75)^2/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-38.28125} \approx 2.14 \times 10^{-18}$

Следовательно, искомая вероятность крайне мала:

$P_{200}(125) \approx \frac{1}{20/3} \phi(8.75) = \frac{3}{20} \phi(8.75) \approx 0.15 \times (2.14 \times 10^{-18}) \approx 3.21 \times 10^{-19}$

Это означает, что событие, при котором из 200 бросков 125 будут удачными, практически невозможно.

Ответ: Искомая вероятность практически равна нулю. Приближенное значение, полученное с помощью локальной теоремы Муавра-Лапласа, составляет $P_{200}(125) \approx 3.2 \times 10^{-19}$.