Номер 29.11, страница 213, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.11. 90% изделий, изготовленных в цехе, соответствуют стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96, а нестандартную — с вероятностью 0,06. Найдите вероятность того, что:

1) взятое наудачу изделие пройдет контроль;

2) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту.

Для решения задачи введем следующие события:

$A$ – взятое наудачу изделие является стандартным.

$\bar{A}$ – взятое наудачу изделие является нестандартным.

$B$ – взятое наудачу изделие прошло контроль качества.

Исходя из условий задачи, мы имеем следующие вероятности:

Вероятность того, что изделие стандартное: $P(A) = 90\% = 0,90$.

Вероятность того, что изделие нестандартное: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,90 = 0,10$.

Вероятность того, что стандартное изделие пройдет контроль (условная вероятность): $P(B|A) = 0,96$.

Вероятность того, что нестандартное изделие пройдет контроль (условная вероятность): $P(B|\bar{A}) = 0,06$.

1) взятое наудачу изделие пройдет контроль;

Для нахождения вероятности того, что взятое наудачу изделие пройдет контроль ($P(B)$), воспользуемся формулой полной вероятности. Событие $B$ может произойти в двух несовместных случаях: изделие стандартное и прошло контроль, или изделие нестандартное и прошло контроль.

Формула полной вероятности имеет вид: $P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A})$.

Подставим известные значения в формулу:

$P(B) = 0,90 \cdot 0,96 + 0,10 \cdot 0,06$

$P(B) = 0,864 + 0,006 = 0,87$

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное изделие пройдет контроль, составляет 0,87.

Ответ: $0,87$

2) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту.

Нам необходимо найти условную вероятность того, что изделие является стандартным при условии, что оно уже прошло контроль качества. Это вероятность $P(A|B)$.

Для этого воспользуемся формулой Байеса:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}$

Мы уже знаем все необходимые значения из предыдущих расчетов:

Вероятность того, что изделие стандартное и пройдет контроль: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = 0,90 \cdot 0,96 = 0,864$.

Полная вероятность того, что изделие пройдет контроль: $P(B) = 0,87$.

Подставим эти значения в формулу Байеса:

$P(A|B) = \frac{0,864}{0,87}$

Для получения точного ответа представим десятичные дроби в виде обыкновенных и сократим:

$P(A|B) = \frac{864/1000}{870/1000} = \frac{864}{870}$

Сократим дробь на 6:

$P(A|B) = \frac{864 \div 6}{870 \div 6} = \frac{144}{145}$

Вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, является стандартным, равна $144/145$.

Ответ: $\frac{144}{145}$