Номер 29.15, страница 213, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.15. В проводимом шахматном турнире вероятность выигрыша партии учеником равна 0,8. Сколько надо сыграть партий ученику, чтобы наивероятнейшее число выигрышей было равно 20?

Пусть $n$ – общее количество партий, которые должен сыграть ученик. Это искомая величина. Вероятность выигрыша в одной партии (успех) равна $p = 0.8$. Тогда вероятность неудачи (проигрыш или ничья) равна $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$. По условию, наивероятнейшее число выигрышей $k_0$ должно быть равно 20.

Наивероятнейшее число успехов $k_0$ в серии из $n$ независимых испытаний Бернулли определяется из двойного неравенства:

$np - q \le k_0 \le np + p$

Подставим в это неравенство известные значения $p=0.8$, $q=0.2$ и $k_0=20$:

$n \cdot 0.8 - 0.2 \le 20 \le n \cdot 0.8 + 0.8$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств. Решим их поочередно относительно $n$.

Первое неравенство:

$0.8n - 0.2 \le 20$

$0.8n \le 20.2$

$n \le \frac{20.2}{0.8}$

$n \le 25.25$

Второе неравенство:

$20 \le 0.8n + 0.8$

$20 - 0.8 \le 0.8n$

$19.2 \le 0.8n$

$n \ge \frac{19.2}{0.8}$

$n \ge 24$

Объединяя результаты, получаем, что число партий $n$ должно удовлетворять условию: $24 \le n \le 25.25$.

Поскольку $n$ – это количество сыгранных партий, оно должно быть целым числом. Следовательно, из полученного диапазона подходят два значения: $n = 24$ или $n = 25$.

Рассмотрим оба случая:

- Если $n=24$, то неравенство для $k_0$ имеет вид $24 \cdot 0.8 - 0.2 \le k_0 \le 24 \cdot 0.8 + 0.8$, что дает $19 \le k_0 \le 20$. В случае, когда правая граница $np+p$ является целым числом (в данном случае 20), существует два наивероятнейших числа успехов: $k_0=19$ и $k_0=20$. Их вероятности равны. Таким образом, 20 является наивероятнейшим числом выигрышей.

- Если $n=25$, то неравенство для $k_0$ имеет вид $25 \cdot 0.8 - 0.2 \le k_0 \le 25 \cdot 0.8 + 0.8$, что дает $19.8 \le k_0 \le 20.8$. В этом диапазоне есть только одно целое число, $k_0 = 20$. Следовательно, при 25 партиях существует единственное наивероятнейшее число выигрышей, равное 20.

Оба значения, $n=24$ и $n=25$, удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 24 или 25.