Номер 29.19, страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.19. Решите уравнение с помощью замены переменной:

1) $x^4 - 4x^2 - 12 = 0;$

2) $x^4 + 4x^2 - 45 = 0;$

3) $x^2 - 4x - 3\sqrt{(x-2)^2} = 14;$

4) $x - 3 + 2\sqrt{x - 3} = 8;$

5) $(x^2 + 3x + 1) (x^2 + 3x + 3) = 0;$

6) $(x + 1)^2 (x^2 + 2x) = 12.$

1) $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной.

Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение примет вид: $t^2 - 4t - 12 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно переменной $t$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}$.

$t_1 = \frac{4+8}{2} = 6$.

$t_2 = \frac{4-8}{2} = -2$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 6$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$, используя корень $t_1 = 6$.

$x^2 = 6$.

$x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\sqrt{6}$.

Ответ: $\{-\sqrt{6}; \sqrt{6}\}$.

2) $x^4 + 4x^2 - 45 = 0$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной.

Пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $t^2 + 4t - 45 = 0$.

Найдем его корни. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -4$

$t_1 \cdot t_2 = -45$

Подбором находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -9$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 5$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -9$ не удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t=5$:

$x^2 = 5$.

$x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $\{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}$.

3) $x^2 - 4x - 3\sqrt{(x-2)^2} = 14$

Упростим выражение под корнем: $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат: $x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x-2)^2 - 4$.

Уравнение примет вид: $(x-2)^2 - 4 - 3|x-2| = 14$.

$(x-2)^2 - 3|x-2| - 18 = 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = |x-2|$. Тогда $t \ge 0$ и $t^2 = (|x-2|)^2 = (x-2)^2$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 3t - 18 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

$t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2}$.

$t_1 = \frac{3+9}{2} = 6$.

$t_2 = \frac{3-9}{2} = -3$.

Корень $t_1=6$ удовлетворяет условию $t \ge 0$. Корень $t_2=-3$ не удовлетворяет.

Возвращаемся к переменной $x$ с $t=6$:

$|x-2| = 6$.

Это уравнение равносильно двум:$x-2 = 6$ или $x-2 = -6$.

$x_1 = 8$.

$x_2 = -4$.

Ответ: $\{-4; 8\}$.

4) $x - 3 + 2\sqrt{x-3} = 8$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

Перенесем 8 в левую часть: $(x-3) + 2\sqrt{x-3} - 8 = 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x-3}$. Тогда $t \ge 0$ и $t^2 = x-3$.

Уравнение примет вид: $t^2 + 2t - 8 = 0$.

По теореме Виета: $t_1+t_2 = -2$, $t_1 \cdot t_2 = -8$. Корни: $t_1=2$ и $t_2=-4$.

Корень $t_1=2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$. Корень $t_2=-4$ не удовлетворяет.

Выполним обратную замену для $t=2$:

$\sqrt{x-3} = 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x-3 = 4$.

$x=7$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 3$). $7 \ge 3$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $\{7\}$.

5) $(x^2+3x+1)(x^2+3x+3) - 3 = 0$

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x^2+3x$. Сделаем замену.

Пусть $t = x^2+3x$.

Уравнение примет вид: $(t+1)(t+3) - 3 = 0$.

Раскроем скобки и упростим: $t^2 + 3t + t + 3 - 3 = 0$.

$t^2 + 4t = 0$.

Вынесем $t$ за скобки: $t(t+4) = 0$.

Отсюда $t_1 = 0$ или $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1) $x^2+3x = 0$.

$x(x+3) = 0$.

$x_1=0$, $x_2=-3$.

2) $x^2+3x = -4$.

$x^2+3x+4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только $0$ и $-3$.

Ответ: $\{-3; 0\}$.

6) $(x+1)^2(x^2+2x) = 12$

Раскроем первую скобку: $(x+1)^2 = x^2+2x+1$.

Уравнение примет вид: $(x^2+2x+1)(x^2+2x) = 12$.

Сделаем замену. Пусть $t = x^2+2x$.

Получим уравнение: $(t+1)t = 12$.

$t^2 + t - 12 = 0$.

Найдем корни по теореме Виета: $t_1+t_2 = -1$, $t_1 \cdot t_2 = -12$. Корни: $t_1=3$ и $t_2=-4$.

Выполним обратную замену.

1) $x^2+2x = 3$.

$x^2+2x-3 = 0$.

По теореме Виета: $x_1+x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1=1$, $x_2=-3$.

2) $x^2+2x = -4$.

$x^2+2x+4 = 0$.

Дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Таким образом, решения исходного уравнения - это $1$ и $-3$.

Ответ: $\{-3; 1\}$.