Страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

29.18. Разложите на множители многочлен:

1) $x^3 + 3x - 4$;

2) $x^3 + 2x^2 - 3x - 6$;

3) $x^3 + 3x^2 + 3x + 9$.

1) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 + 3x - 4$, воспользуемся методом группировки. Для этого представим член $3x$ как $ -x + 4x $ и свободный член $-4$ как $ -1 - 3 $, но удобнее найти один из корней. По теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена (числа -4), то есть среди чисел $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим $x=1$: $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.

Так как $x=1$ является корнем, то многочлен делится на $(x-1)$ без остатка. Другой способ — это преобразование выражения:

$x^3 + 3x - 4 = x^3 - 1 + 3x - 3$

Сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 1) + (3x - 3)$.

Первую скобку разложим по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$

Из второй скобки вынесем общий множитель 3:

$3x - 3 = 3(x-1)$

Подставим полученные выражения обратно:

$(x-1)(x^2+x+1) + 3(x-1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)( (x^2+x+1) + 3 ) = (x-1)(x^2+x+4)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $x^2+x+4$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как дискриминант отрицательный, у трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(x-1)(x^2+x+4)$.

2) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 + 2x^2 - 3x - 6$, применим метод группировки слагаемых.

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^3 + 2x^2) + (-3x - 6)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

В первой группе это $x^2$: $x^2(x+2)$.

Во второй группе это $-3$: $-3(x+2)$.

Получим выражение: $x^2(x+2) - 3(x+2)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x+2)$:

$(x+2)(x^2 - 3)$

Выражение $x^2 - 3$ можно рассматривать как разность квадратов, но в рамках разложения на множители с целыми коэффициентами оно является иррациональным. Поэтому разложение завершено.

Ответ: $(x+2)(x^2 - 3)$.

3) Для разложения на множители многочлена $x^3 + 3x^2 + 3x + 9$ также используем метод группировки.

Сгруппируем попарно слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) + (3x + 9)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(x+3)$

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель 3:

$3(x+3)$

Получим следующее выражение:

$x^2(x+3) + 3(x+3)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$(x+3)(x^2+3)$

Многочлен $x^2+3$ не имеет действительных корней (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+3 > 0$), поэтому он не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(x+3)(x^2+3)$.

29.19. Решите уравнение с помощью замены переменной:

1) $x^4 - 4x^2 - 12 = 0;$

2) $x^4 + 4x^2 - 45 = 0;$

3) $x^2 - 4x - 3\sqrt{(x-2)^2} = 14;$

4) $x - 3 + 2\sqrt{x - 3} = 8;$

5) $(x^2 + 3x + 1) (x^2 + 3x + 3) = 0;$

6) $(x + 1)^2 (x^2 + 2x) = 12.$

1) $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной.

Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение примет вид: $t^2 - 4t - 12 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно переменной $t$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}$.

$t_1 = \frac{4+8}{2} = 6$.

$t_2 = \frac{4-8}{2} = -2$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 6$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$, используя корень $t_1 = 6$.

$x^2 = 6$.

$x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\sqrt{6}$.

Ответ: $\{-\sqrt{6}; \sqrt{6}\}$.

2) $x^4 + 4x^2 - 45 = 0$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной.

Пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $t^2 + 4t - 45 = 0$.

Найдем его корни. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -4$

$t_1 \cdot t_2 = -45$

Подбором находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -9$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 5$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -9$ не удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t=5$:

$x^2 = 5$.

$x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $\{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}$.

3) $x^2 - 4x - 3\sqrt{(x-2)^2} = 14$

Упростим выражение под корнем: $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат: $x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x-2)^2 - 4$.

Уравнение примет вид: $(x-2)^2 - 4 - 3|x-2| = 14$.

$(x-2)^2 - 3|x-2| - 18 = 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = |x-2|$. Тогда $t \ge 0$ и $t^2 = (|x-2|)^2 = (x-2)^2$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 3t - 18 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

$t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2}$.

$t_1 = \frac{3+9}{2} = 6$.

$t_2 = \frac{3-9}{2} = -3$.

Корень $t_1=6$ удовлетворяет условию $t \ge 0$. Корень $t_2=-3$ не удовлетворяет.

Возвращаемся к переменной $x$ с $t=6$:

$|x-2| = 6$.

Это уравнение равносильно двум:$x-2 = 6$ или $x-2 = -6$.

$x_1 = 8$.

$x_2 = -4$.

Ответ: $\{-4; 8\}$.

4) $x - 3 + 2\sqrt{x-3} = 8$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

Перенесем 8 в левую часть: $(x-3) + 2\sqrt{x-3} - 8 = 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x-3}$. Тогда $t \ge 0$ и $t^2 = x-3$.

Уравнение примет вид: $t^2 + 2t - 8 = 0$.

По теореме Виета: $t_1+t_2 = -2$, $t_1 \cdot t_2 = -8$. Корни: $t_1=2$ и $t_2=-4$.

Корень $t_1=2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$. Корень $t_2=-4$ не удовлетворяет.

Выполним обратную замену для $t=2$:

$\sqrt{x-3} = 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x-3 = 4$.

$x=7$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 3$). $7 \ge 3$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $\{7\}$.

5) $(x^2+3x+1)(x^2+3x+3) - 3 = 0$

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x^2+3x$. Сделаем замену.

Пусть $t = x^2+3x$.

Уравнение примет вид: $(t+1)(t+3) - 3 = 0$.

Раскроем скобки и упростим: $t^2 + 3t + t + 3 - 3 = 0$.

$t^2 + 4t = 0$.

Вынесем $t$ за скобки: $t(t+4) = 0$.

Отсюда $t_1 = 0$ или $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1) $x^2+3x = 0$.

$x(x+3) = 0$.

$x_1=0$, $x_2=-3$.

2) $x^2+3x = -4$.

$x^2+3x+4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только $0$ и $-3$.

Ответ: $\{-3; 0\}$.

6) $(x+1)^2(x^2+2x) = 12$

Раскроем первую скобку: $(x+1)^2 = x^2+2x+1$.

Уравнение примет вид: $(x^2+2x+1)(x^2+2x) = 12$.

Сделаем замену. Пусть $t = x^2+2x$.

Получим уравнение: $(t+1)t = 12$.

$t^2 + t - 12 = 0$.

Найдем корни по теореме Виета: $t_1+t_2 = -1$, $t_1 \cdot t_2 = -12$. Корни: $t_1=3$ и $t_2=-4$.

Выполним обратную замену.

1) $x^2+2x = 3$.

$x^2+2x-3 = 0$.

По теореме Виета: $x_1+x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1=1$, $x_2=-3$.

2) $x^2+2x = -4$.

$x^2+2x+4 = 0$.

Дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Таким образом, решения исходного уравнения - это $1$ и $-3$.

Ответ: $\{-3; 1\}$.

29.20. Упростите выражение:

1) $(x^2 + 3x + 1)(x - 3) - 3x^2 + 3;$

2) $(x - 1)(x^2 + 2x) - 12x^2 + 3x - 2.$

1) Для упрощения выражения $(x^2 + 3x + 1)(x - 3) - 3x^2 + 3$ необходимо выполнить умножение многочленов и затем привести подобные слагаемые.

Сначала раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x^2 + 3x + 1)(x - 3) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-3) + 3x \cdot x + 3x \cdot (-3) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-3) = x^3 - 3x^2 + 3x^2 - 9x + x - 3$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(x^3 - 3x^2 + 3x^2 - 9x + x - 3) - 3x^2 + 3$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-3x^2 + 3x^2 - 3x^2) + (-9x + x) + (-3 + 3)$

Выполним действия в каждой группе:

$x^3 - 3x^2 - 8x + 0 = x^3 - 3x^2 - 8x$.

Ответ: $x^3 - 3x^2 - 8x$

2) Упростим выражение $(x - 1)(x^2 + 2x) - 12x^2 + 3x - 2$. Аналогично первому пункту, начнем с раскрытия скобок.

Выполним умножение многочленов:

$(x - 1)(x^2 + 2x) = x \cdot x^2 + x \cdot 2x - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x = x^3 + 2x^2 - x^2 - 2x$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(x^3 + 2x^2 - x^2 - 2x) - 12x^2 + 3x - 2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 2x^2 - x^2 - 12x^2 - 2x + 3x - 2$

Сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной $x$:

$x^3 + (2x^2 - x^2 - 12x^2) + (-2x + 3x) - 2 = x^3 - 11x^2 + x - 2$.

Ответ: $x^3 - 11x^2 + x - 2$

1. Количество различных двухзначных чисел, составленных из цифр 0, 2, 5, 7 и 8, равно:

A) 16; B) 22; C) 42; D) 20.

Чтобы найти количество различных двузначных чисел, которые можно составить из цифр {0, 2, 5, 7, 8}, нужно рассмотреть две позиции в числе: десятки и единицы.

1. Выбор цифры для разряда десятков (первая цифра).

Первая цифра двузначного числа не может быть 0. Поэтому для этой позиции можно выбрать одну из следующих цифр: {2, 5, 7, 8}. Количество возможных вариантов для первой цифры равно 4.

2. Выбор цифры для разряда единиц (вторая цифра).

Вторая цифра может быть любой из предложенных, так как в условии нет ограничения на повторение цифр. Следовательно, для этой позиции можно выбрать одну из цифр: {0, 2, 5, 7, 8}. Количество возможных вариантов для второй цифры равно 5.

Для нахождения общего количества различных двузначных чисел необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило произведения.

Общее количество чисел = (количество вариантов для первой цифры) × (количество вариантов для второй цифры).

Количество = $4 \times 5 = 20$.

Ответ: 20.

2. Если в классе 30 учащихся, то число различных способов назначения

4 дежурных равно:

A) 16 000;

B) 27 405;

C) 13 800;

D) 27 000.

Для решения этой задачи необходимо найти количество способов выбрать 4 человека из 30 без учета порядка. Порядок выбора дежурных не важен, имеет значение только итоговый состав группы. Поэтому мы имеем дело с сочетаниями.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество элементов (учащихся), а $k$ — количество элементов, которые нужно выбрать (дежурных).

В данном случае $n = 30$ и $k = 4$. Подставляем значения в формулу:

$C_{30}^4 = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4! \cdot 26!}$

Распишем факториалы и сократим выражение:

$C_{30}^4 = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 26!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Произведем вычисления, последовательно сокращая дробь:

$C_{30}^4 = \frac{30}{3 \cdot 2} \times 29 \times \frac{28}{4} \times 27 = 5 \times 29 \times 7 \times 27$

Теперь перемножим оставшиеся числа:

$5 \times 29 = 145$

$7 \times 27 = 189$

$145 \times 189 = 27405$

Следовательно, существует 27 405 различных способов назначения 4 дежурных. Этот результат соответствует варианту B).

Ответ: B) 27 405

3. Число способов распределения 1, 2 и 3 призовых места между 15 участниками конкурса равно:
A) 2 100; B) 2 700; C) 2 730; D) 2 250.

3. Задача состоит в том, чтобы определить количество способов распределения трех призовых мест (1-го, 2-го и 3-го) между 15 участниками конкурса. Поскольку порядок распределения мест важен (кому достанется первое место, кому второе и т.д.), эта задача относится к размещениям в комбинаторике.

Для решения можно использовать правило умножения:

- Первое место может занять любой из 15 участников, следовательно, есть 15 вариантов.

- После того как определился победитель, на второе место претендуют оставшиеся 14 участников, то есть 14 вариантов.

- Соответственно, для третьего места остается 13 участников, то есть 13 вариантов.

Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого места:

$15 \times 14 \times 13 = 210 \times 13 = 2730$

Также можно применить формулу для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае $n = 15$ (общее число участников), а $k = 3$ (число призовых мест).

$A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{12!} = 15 \times 14 \times 13 = 2730$

Таким образом, существует 2730 способов распределения призовых мест. Этот результат соответствует варианту C).

Ответ: C) 2 730

4. Десять баскетболистов строятся перед началом игры. Первым становится капитан, а остальные — случайным образом.

Тогда число способов построения команды перед игрой равно:

A) $9!$; B) $8!$; C) $10!$; D) $11!$.

Для решения этой задачи необходимо определить количество возможных перестановок игроков с учётом заданных условий.

Всего в команде 10 баскетболистов, которые должны выстроиться в ряд. Это означает, что у нас есть 10 позиций.

По условию, первая позиция в строю всегда занята капитаном. Это фиксированное условие, поэтому для первого места существует только один возможный вариант.

После того как капитан занял своё место, остаются 9 свободных позиций и 9 игроков, которых нужно расставить случайным образом.

Количество способов, которыми можно расставить 9 игроков по 9 оставшимся местам, является числом перестановок из 9 элементов. Число перестановок из $n$ элементов обозначается как $n!$ (n-факториал) и вычисляется по формуле:

$P_n = n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$

В данном случае $n = 9$, поэтому количество способов расставить оставшихся игроков равно:

$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362 \, 880$

Так как позиция капитана зафиксирована (1 способ), общее число способов построения команды равно числу перестановок для оставшихся 9 игроков.

Следовательно, правильный вариант ответа — A.

Ответ: $9!$

5. Число способов разбиения группы из 20 человек на две подгруппы из 7 и 13 человек равно:

A) $C_{20}^{10}$;

B) $C_{20}^{7}$;

C) $C_{13}^{7}$;

D) $7!$.

Задача заключается в нахождении числа способов разделить группу из 20 человек на две подгруппы по 7 и 13 человек. Поскольку порядок выбора людей внутри подгрупп не имеет значения, данная задача решается с помощью формулы числа сочетаний.

Число сочетаний из n элементов по k определяется формулой: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Мы можем определить количество способов, выбрав сначала одну из подгрупп. Например, выберем подгруппу из 7 человек из общего числа 20 человек.

Количество способов выбрать 7 человек из 20 равно:

$C_{20}^7 = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7!13!}$

После того, как мы выбрали 7 человек для первой подгруппы, оставшиеся $20 - 7 = 13$ человек автоматически формируют вторую подгруппу. Количество способов сформировать вторую подгруппу из оставшихся 13 человек равно $C_{13}^{13} = 1$.

Следовательно, общее число способов разбиения группы на две указанные подгруппы равно числу способов выбрать первую подгруппу, то есть $C_{20}^7$.

Стоит отметить, что если бы мы начали с выбора подгруппы из 13 человек, результат был бы тем же самым, так как по свойству сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{20}^{13} = \frac{20!}{13!(20-13)!} = \frac{20!}{13!7!} = C_{20}^7$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что правильным является вариант B.

Ответ: B) $C_{20}^7$

6. Значение выражения $\frac{C_6^3 - C_6^2}{P_3 \cdot A_6^2}$ равно:
A) $\frac{1}{6}$; B) 0,4; C) 0,5; D) $\frac{1}{36}$.

Чтобы найти значение данного выражения, необходимо вычислить значения его числителя и знаменателя.

Выражение имеет вид: $\frac{C_6^3 - C_6^2}{P_3 \cdot A_6^2}$.

1. Вычисление числителя ($C_6^3 - C_6^2$):

Сначала найдем число сочетаний из 6 по 3 ($C_6^3$) и число сочетаний из 6 по 2 ($C_6^2$).

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Теперь найдем разность: $C_6^3 - C_6^2 = 20 - 15 = 5$.

2. Вычисление знаменателя ($P_3 \cdot A_6^2$):

Сначала найдем число перестановок из 3 элементов ($P_3$) и число размещений из 6 по 2 ($A_6^2$).

Формула для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.

$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30$.

Теперь найдем произведение: $P_3 \cdot A_6^2 = 6 \cdot 30 = 180$.

3. Вычисление итогового значения:

Подставим найденные значения числителя и знаменателя в исходное выражение:

$\frac{C_6^3 - C_6^2}{P_3 \cdot A_6^2} = \frac{5}{180}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5}{180} = \frac{1}{36}$.

Среди предложенных вариантов ответа, этот результат соответствует варианту D.

Ответ: $\frac{1}{36}$.

7. Найдите корень уравнения $C^2_{n+1} - C^2_n = 49$:

A) 7; B) 49; C) 42; D) 50.

Для решения данного уравнения $C_{n+1}^2 - C_n^2 = 49$ воспользуемся определением числа сочетаний.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применим эту формулу к каждому члену в левой части уравнения.

Для первого члена $C_{n+1}^2$:$C_{n+1}^2 = \frac{(n+1)!}{2!((n+1)-2)!} = \frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}$Распишем $(n+1)!$ как $(n-1)! \cdot n \cdot (n+1)$, чтобы сократить дробь:$C_{n+1}^2 = \frac{(n-1)! \cdot n \cdot (n+1)}{2 \cdot (n-1)!} = \frac{n(n+1)}{2}$.

Для второго члена $C_n^2$:$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}$Распишем $n!$ как $(n-2)! \cdot (n-1) \cdot n$:$C_n^2 = \frac{(n-2)! \cdot (n-1) \cdot n}{2 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:$\frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n-1)}{2} = 49$.

Решим полученное уравнение относительно $n$. Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{n(n+1) - n(n-1)}{2} = 49$.

Вынесем общий множитель $n$ за скобки в числителе:$\frac{n \cdot ((n+1) - (n-1))}{2} = 49$.

Раскроем скобки в числителе:$\frac{n \cdot (n+1 - n + 1)}{2} = 49$.

Упростим выражение в скобках:$\frac{n \cdot 2}{2} = 49$.

Сократим на 2:$n = 49$.

Область допустимых значений для $n$ определяется из условий существования сочетаний: верхний индекс должен быть не меньше нижнего. То есть $n+1 \ge 2$ и $n \ge 2$. Оба условия сводятся к $n \ge 2$. Найденный корень $n=49$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: 49.

8. Коэффициент четвертого члена в разложении бинома Ньютона $(x - 2)^{10}$ равен:

A) -960;

B) 120;

C) -40;

D) 90.

Для нахождения коэффициента четвертого члена в разложении бинома Ньютона $(x - 2)^{10}$ используется формула $(k+1)$-го члена разложения $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ является биномиальным коэффициентом.

В данном выражении $(x - 2)^{10}$ мы имеем следующие параметры: $a = x$, $b = -2$, и $n = 10$.

Мы ищем четвертый член, что означает $k+1 = 4$. Следовательно, индекс $k$ равен $3$.

Подставим значения в формулу, чтобы найти четвертый член ($T_4$):

$T_4 = T_{3+1} = C_{10}^3 \cdot x^{10-3} \cdot (-2)^3$

Сначала вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^3$:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

Далее, вычислим значение $(-2)^3$:

$(-2)^3 = -8$

Теперь объединим все части для получения полного четвертого члена:

$T_4 = 120 \cdot x^7 \cdot (-8) = -960x^7$

Коэффициентом является числовая часть этого члена. Таким образом, искомый коэффициент равен $-960$.

Ответ: -960