Страница 212, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

29.1. В коробке находится 6 одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найдите вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

29.1. Для решения этой задачи воспользуемся классической формулой вероятности: $P(A) = m/N$, где $N$ – общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Событие $A$, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Найдем общее число исходов $N$. В коробке 6 занумерованных кубиков. Мы извлекаем их все по одному без возвращения. Порядок, в котором извлекаются кубики, важен. Следовательно, общее число всех возможных последовательностей извлечения кубиков равно числу перестановок из 6 элементов.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n = 6$.

$N = P_6 = 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$.

Таким образом, существует 720 различных способов (исходов) извлечь 6 кубиков из коробки.

Теперь найдем число благоприятствующих исходов $m$. Благоприятствующий исход — это тот, при котором номера кубиков появляются строго в возрастающем порядке. Поскольку все номера на кубиках различны (предполагаем, что это числа от 1 до 6), существует только одна единственная последовательность, удовлетворяющая этому условию. Например, если номера кубиков (1, 2, 3, 4, 5, 6), то только последовательность их извлечения (1, 2, 3, 4, 5, 6) является упорядоченной по возрастанию.

Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$.

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность:

$P(A) = m/N = 1/720$.

Ответ: $1/720$.

29.2. В коробке находятся 3 шара синего цвета и 2 шара красного. Извлекаются два шара. Найдите вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажется:

1) один шар синего цвета;

2) два шара синего цвета;

3) хотя бы один шар синего цвета.

Всего в коробке находится 3 синих и 2 красных шара, то есть 3 + 2 = 5 шаров. Мы извлекаем 2 шара. Для решения задачи будем использовать классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию. Общее число исходов $N$ — это количество способов выбрать 2 шара из 5 имеющихся, без учета порядка. Это число сочетаний из 5 по 2. $N = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{2! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$. Итак, существует 10 различных пар шаров, которые можно извлечь.

1) один шар синего цвета;

Это событие означает, что мы извлекли 1 синий шар и 1 красный шар. Число способов выбрать 1 синий шар из 3 синих равно $C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3$. Число способов выбрать 1 красный шар из 2 красных равно $C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = 2$. Чтобы найти общее число благоприятных исходов, нужно перемножить эти количества (по правилу произведения в комбинаторике): $m_1 = C_3^1 \cdot C_2^1 = 3 \cdot 2 = 6$. Вероятность того, что среди извлеченных шаров будет ровно один синий, равна: $P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Ответ: 0,6

2) два шара синего цвета;

Это событие означает, что оба извлеченных шара — синие. Число способов выбрать 2 синих шара из 3 синих равно: $m_2 = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$. Вероятность того, что оба извлеченных шара будут синими, равна: $P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: 0,3

3) хотя бы один шар синего цвета.

Событие "хотя бы один шар синего цвета" означает, что извлечен либо 1 синий шар, либо 2 синих шара. Эти два исхода несовместны, поэтому их вероятности можно сложить. Мы уже вычислили эти вероятности в пунктах 1 и 2. $P_3 = P_1 + P_2 = 0,6 + 0,3 = 0,9$.

Также можно решить эту задачу через противоположное событие. Противоположное событие для "хотя бы один синий шар" — это "ни одного синего шара", что в данном случае означает "оба шара красные". Найдем число способов извлечь 2 красных шара из 2 имеющихся: $m_{\text{против}} = C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$. Вероятность противоположного события: $P_{\text{против}} = \frac{m_{\text{против}}}{N} = \frac{1}{10} = 0,1$. Тогда искомая вероятность равна: $P_3 = 1 - P_{\text{против}} = 1 - 0,1 = 0,9$.

Ответ: 0,9

29.3. На стол бросают монету и игральный кубик. Найдите вероят-

ность того, что:

1) на монете появится орел, на кубике — 4 очка;

2) на монете появится решка, на кубике — нечетное число очков.

Для решения задачи определим общее количество возможных исходов. При бросании монеты есть 2 равновероятных исхода (орел или решка). При бросании игрального кубика есть 6 равновероятных исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Так как бросание монеты и кубика — это независимые события, общее число элементарных исходов эксперимента равно произведению числа исходов для каждого события: $N = 2 \times 6 = 12$.

1) на монете появится орел, на кубике — 4 очка;

Найдем вероятность каждого из событий по отдельности. Вероятность того, что на монете появится орел, равна $P(\text{орел}) = \frac{1}{2}$. Вероятность того, что на кубике выпадет 4 очка, равна $P(4) = \frac{1}{6}$, поскольку это один из шести возможных исходов.

Так как события "на монете появится орел" и "на кубике выпадет 4 очка" являются независимыми, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(\text{орел и 4}) = P(\text{орел}) \times P(4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.

Другой способ — это подсчет благоприятных исходов. Из 12 всех возможных исходов (Орел,1; Орел,2; ...; Решка,6) нам подходит только один: (Орел, 4). Таким образом, вероятность равна $\frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$

2) на монете появится решка, на кубике — нечетное число очков.

Вероятность того, что на монете появится решка, равна $P(\text{решка}) = \frac{1}{2}$.

На кубике есть 3 нечетных числа: 1, 3, 5. Всего на кубике 6 граней. Следовательно, вероятность выпадения нечетного числа очков равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов для кубика: $P(\text{нечетное}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

События "на монете появится решка" и "на кубике выпадет нечетное число очков" независимы, поэтому искомая вероятность равна произведению их вероятностей:

$P(\text{решка и нечетное}) = P(\text{решка}) \times P(\text{нечетное}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Другой способ — подсчет благоприятных исходов. Из 12 всех возможных исходов нам подходят те, где на монете решка, а на кубике нечетное число: (Решка, 1), (Решка, 3), (Решка, 5). Всего 3 благоприятных исхода. Вероятность равна $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

29.4. Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Найдите вероятность того, что это число:
1) четное;
2) нечетное;
3) делится на 5;
4) делится на 4.

Для решения задачи сначала определим общее количество $N$ всех возможных двузначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Двузначное число состоит из двух цифр. Первая цифра (разряд десятков) не может быть нулем, поэтому для нее есть 4 варианта: 1, 2, 3 или 4. В условии не сказано, что цифры не могут повторяться, значит, для второй цифры (разряд единиц) есть 5 вариантов: 0, 1, 2, 3 или 4.Общее число возможных двузначных чисел (исходов) равно произведению числа вариантов для каждой цифры: $N = 4 \cdot 5 = 20$.Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{M}{N}$, где $M$ — число благоприятных исходов.

1) четное

Число является четным, если его последняя цифра — четная. Из данных цифр {0, 1, 2, 3, 4} четными являются {0, 2, 4}.Для первой цифры есть 4 варианта (1, 2, 3, 4).Для второй (последней) цифры есть 3 варианта (0, 2, 4).Число благоприятных исходов (количество четных чисел) $M_1 = 4 \cdot 3 = 12$.Вероятность того, что составленное число будет четным: $P_1 = \frac{M_1}{N} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6$.

Ответ: 0,6.

2) нечетное

Число является нечетным, если его последняя цифра — нечетная. Из данных цифр нечетными являются {1, 3}.Для первой цифры есть 4 варианта (1, 2, 3, 4).Для второй (последней) цифры есть 2 варианта (1, 3).Число благоприятных исходов (количество нечетных чисел) $M_2 = 4 \cdot 2 = 8$.Вероятность того, что составленное число будет нечетным: $P_2 = \frac{M_2}{N} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Ответ: 0,4.

3) делится на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Из данных цифр подходит только 0.Для первой цифры есть 4 варианта (1, 2, 3, 4).Для второй (последней) цифры есть только 1 вариант (0).Число благоприятных исходов $M_3 = 4 \cdot 1 = 4$. (Это числа: 10, 20, 30, 40).Вероятность того, что составленное число делится на 5: $P_3 = \frac{M_3}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: 0,2.

4) делится на 4

Чтобы найти вероятность, нужно перечислить все числа, которые делятся на 4, из 20 возможных.Выпишем все возможные числа: 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44.Из этого списка выберем те, что делятся на 4: 12, 20, 24, 32, 40, 44.Число благоприятных исходов $M_4 = 6$.Вероятность того, что составленное число делится на 4: $P_4 = \frac{M_4}{N} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: 0,3.

29.5. В одной партии электросчетчиков 3% бракованных, в другой — 4% бракованных. Наугад берут по одному счетчику из каждой партии. Найдите вероятность того, что оба электросчетчика окажутся бракованными.

Для решения этой задачи нам нужно найти вероятность совместного наступления двух независимых событий.

Событие A: «взятый из первой партии электросчетчик является бракованным».

Событие B: «взятый из второй партии электросчетчик является бракованным».

Вероятность события A равна доле бракованных счетчиков в первой партии. Переведем проценты в десятичную дробь:

$P(A) = 3\% = \frac{3}{100} = 0.03$

Вероятность события B равна доле бракованных счетчиков во второй партии:

$P(B) = 4\% = \frac{4}{100} = 0.04$

Выбор счетчика из одной партии не зависит от выбора счетчика из другой, поэтому события A и B являются независимыми. Вероятность того, что произойдут оба независимых события, равна произведению их вероятностей.

Искомая вероятность $P(A \cap B)$ вычисляется по формуле:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Подставим значения и вычислим:

$P(A \cap B) = 0.03 \times 0.04 = 0.0012$

Ответ: $0.0012$

29.6. Надежность (т. е. вероятность безотказной работы) прибора равна 0,8. Для увеличения надежности работы изделия прибор дублируется в параллельном соединении $n - 1$ такими же приборами. Сколько приборов надо соединить параллельно, чтобы повысить надежность работы изделия до 0,98?

Пусть $p$ — надежность (вероятность безотказной работы) одного прибора. По условию задачи, $p = 0,8$.

Вероятность отказа одного прибора, обозначим ее $q$, является событием, противоположным безотказной работе. Следовательно, ее можно вычислить как: $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

Когда $n$ приборов соединены параллельно, вся система отказывает только в том случае, если отказывают все $n$ приборов. Предполагая, что отказы приборов являются независимыми событиями, вероятность отказа всей системы $Q_n$ равна произведению вероятностей отказа каждого из $n$ приборов: $Q_n = q^n$.

Надежность всей системы $P_n$ — это вероятность того, что система будет работать. Это событие, противоположное отказу системы. Таким образом, надежность системы из $n$ параллельно соединенных приборов равна: $P_n = 1 - Q_n = 1 - q^n$.

Нам необходимо найти минимальное целое число приборов $n$, при котором надежность системы будет не менее 0,98. Запишем это в виде неравенства: $P_n \ge 0,98$

Подставим в неравенство выражение для $P_n$ и значение $q$: $1 - (0,2)^n \ge 0,98$

Теперь решим это показательное неравенство относительно $n$: $-(0,2)^n \ge 0,98 - 1$ $-(0,2)^n \ge -0,02$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $(0,2)^n \le 0,02$

Чтобы найти наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому неравенству, можно проверить значения $n$ по порядку, начиная с 1:

• При $n=1$: $(0,2)^1 = 0,2$. Неравенство $0,2 \le 0,02$ не выполняется.
• При $n=2$: $(0,2)^2 = 0,04$. Неравенство $0,04 \le 0,02$ не выполняется.
• При $n=3$: $(0,2)^3 = 0,008$. Неравенство $0,008 \le 0,02$ выполняется.

Следовательно, минимальное количество приборов, которое необходимо соединить параллельно для достижения требуемой надежности, равно 3.

Проверка: надежность системы из 3 приборов составит $P_3 = 1 - (0,2)^3 = 1 - 0,008 = 0,992$, что больше, чем 0,98.

Ответ: 3.

29.7. При изготовлении детали совершается три операции. Вероятность брака при первой и третьей операциях равна 0,01, а при второй — 0,02. Найдите вероятность того, что после трех операций деталь окажется стандартной.

Для того чтобы деталь оказалась стандартной, она должна успешно пройти все три операции. Это означает, что ни на одной из операций не должно быть брака. Событие "деталь стандартная" является произведением трех независимых событий: "успешное прохождение первой операции", "успешное прохождение второй операции" и "успешное прохождение третьей операции".

Найдем вероятность успешного прохождения для каждой операции. Вероятность успеха является событием, противоположным браку, и вычисляется как $1$ минус вероятность брака.

Вероятность брака при первой операции равна $0.01$. Следовательно, вероятность успешного прохождения первой операции:

$P_1 = 1 - 0.01 = 0.99$

Вероятность брака при второй операции равна $0.02$. Следовательно, вероятность успешного прохождения второй операции:

$P_2 = 1 - 0.02 = 0.98$

Вероятность брака при третьей операции равна $0.01$. Следовательно, вероятность успешного прохождения третьей операции:

$P_3 = 1 - 0.01 = 0.99$

Чтобы найти вероятность того, что деталь окажется стандартной, нужно перемножить вероятности успешного прохождения всех трех независимых операций:

$P_{\text{стандарт}} = P_1 \times P_2 \times P_3 = 0.99 \times 0.98 \times 0.99$

$P_{\text{стандарт}} = 0.9801 \times 0.98 = 0.960498$

Ответ: $0.960498$.

29.8. Случайным образом называют десять цифр. Найдите вероятность того, что цифра 5 встретится ровно семь раз.

Это задача на применение формулы Бернулли для схемы независимых испытаний.

Рассмотрим каждое называние цифры как отдельное испытание. Всего проводится $n=10$ испытаний.

Событие "успех" — это выпадение цифры 5. Поскольку всего 10 цифр (от 0 до 9) и они равновероятны, вероятность "успеха" в одном испытании составляет $p = \frac{1}{10} = 0.1$.

Событие "неудача" — это выпадение любой другой цифры. Вероятность "неудачи" равна $q = 1 - p = 1 - 0.1 = 0.9$.

Мы ищем вероятность того, что в $n=10$ испытаниях произойдет ровно $k=7$ "успехов". Формула Бернулли имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k$ — это биномиальный коэффициент, равный числу способов выбрать $k$ элементов из $n$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Подставим наши значения: $n=10$, $k=7$, $p=0.1$, $q=0.9$.

1. Вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^7$:

$C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.

2. Подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_{10}(7) = C_{10}^7 \cdot (0.1)^7 \cdot (0.9)^{10-7} = 120 \cdot (0.1)^7 \cdot (0.9)^3$

$P_{10}(7) = 120 \cdot 0.0000001 \cdot 0.729 = 0.000008748$.

Ответ: $0.000008748$.

29.9. Бросание кубика считается удачным, если выпадает 5 или 6 очков. Найдите вероятность того, что 125 бросаний из 200 будут удачными.

Данная задача представляет собой серию из $n=200$ независимых испытаний (бросков кубика), в каждом из которых есть два исхода: "успех" (выпало 5 или 6) и "неудача" (выпало 1, 2, 3 или 4). Такая последовательность испытаний описывается схемой Бернулли.

Сначала определим вероятность "успеха" ($p$) в одном броске. На стандартном кубике 6 граней. Успешными считаются 2 исхода (5 и 6).

$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Вероятность "неудачи" ($q$) в одном броске составляет:

$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Нам нужно найти вероятность того, что в $n=200$ бросках будет ровно $k=125$ успехов. Точная вероятность вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} = C_{200}^{125} (\frac{1}{3})^{125} (\frac{2}{3})^{200-125}$

Поскольку число испытаний $n$ велико, прямое вычисление по этой формуле крайне затруднительно. В таких случаях для аппроксимации используется локальная теорема Муавра-Лапласа:

$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$, где $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ (функция плотности стандартного нормального распределения), а $x$ вычисляется по формуле $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$.

Вычислим необходимые параметры для формулы:

1. Математическое ожидание (наиболее вероятное число успехов):

$np = 200 \cdot \frac{1}{3} = \frac{200}{3} \approx 66.67$

2. Среднеквадратическое отклонение:

$\sqrt{npq} = \sqrt{200 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3} \approx 6.67$

Теперь вычислим значение $x$, которое показывает, на сколько стандартных отклонений наше значение $k=125$ отстоит от математического ожидания:

$x = \frac{125 - \frac{200}{3}}{\frac{20}{3}} = \frac{\frac{375-200}{3}}{\frac{20}{3}} = \frac{175}{20} = 8.75$

Значение $x=8.75$ является очень большим. Функция Гаусса $\phi(x)$ очень быстро стремится к нулю при увеличении $|x|$. Уже при $x > 5$ её значение становится пренебрежимо малым. Значение $\phi(8.75)$ будет чрезвычайно близко к нулю:

$\phi(8.75) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(8.75)^2/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-38.28125} \approx 2.14 \times 10^{-18}$

Следовательно, искомая вероятность крайне мала:

$P_{200}(125) \approx \frac{1}{20/3} \phi(8.75) = \frac{3}{20} \phi(8.75) \approx 0.15 \times (2.14 \times 10^{-18}) \approx 3.21 \times 10^{-19}$

Это означает, что событие, при котором из 200 бросков 125 будут удачными, практически невозможно.

Ответ: Искомая вероятность практически равна нулю. Приближенное значение, полученное с помощью локальной теоремы Муавра-Лапласа, составляет $P_{200}(125) \approx 3.2 \times 10^{-19}$.

29.10. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено 8 точек. Найдите вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Эта задача описывает схему независимых испытаний с несколькими исходами, которая решается с помощью полиномиального распределения. Мы бросаем $n=8$ точек, и для каждой точки есть $k=4$ возможных исхода (попадание в одну из четырех частей отрезка).

Согласно условию, отрезок разделен на четыре равные части. Это означает, что вероятность попадания одной случайно брошенной точки в любую из этих четырех частей одинакова и равна $p = 1/4$.

Мы ищем вероятность события A, которое заключается в том, что на каждую из четырех частей отрезка попадет ровно по две точки. То есть, у нас есть $n_1=2$ попадания в первую часть, $n_2=2$ во вторую, $n_3=2$ в третью и $n_4=2$ в четвертую.

Вероятность такого события вычисляется по формуле полиномиального распределения: $P(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_k^{n_k}$

Подставляем в формулу наши значения: $n=8$, $n_1=n_2=n_3=n_4=2$ и $p_1=p_2=p_3=p_4=1/4$. $P(A) = \frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{8!}{(2!)^4} \left(\frac{1}{4}\right)^8$

Вычислим первую часть формулы — количество способов, которыми можно распределить 8 различных точек на 4 группы по 2 точки в каждой: $\frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{40320}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{40320}{16} = 2520$

Вычислим вторую часть — вероятность одного конкретного такого распределения (например, первые две точки попали в первую часть, третья и четвертая — во вторую и т.д.): $\left(\frac{1}{4}\right)^8 = \frac{1}{4^8} = \frac{1}{65536}$

Теперь найдем искомую вероятность, перемножив полученные значения: $P(A) = 2520 \cdot \frac{1}{65536} = \frac{2520}{65536}$

Сократим полученную дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, делятся на 8: $\frac{2520 \div 8}{65536 \div 8} = \frac{315}{8192}$

Разложим числитель и знаменатель на простые множители, чтобы убедиться, что дробь несократима: $315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$, а $8192 = 2^{13}$. Общих множителей нет.

Ответ: $\frac{315}{8192}$