Номер 29.6, страница 212, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.6. Надежность (т. е. вероятность безотказной работы) прибора равна 0,8. Для увеличения надежности работы изделия прибор дублируется в параллельном соединении $n - 1$ такими же приборами. Сколько приборов надо соединить параллельно, чтобы повысить надежность работы изделия до 0,98?

Пусть $p$ — надежность (вероятность безотказной работы) одного прибора. По условию задачи, $p = 0,8$.

Вероятность отказа одного прибора, обозначим ее $q$, является событием, противоположным безотказной работе. Следовательно, ее можно вычислить как: $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

Когда $n$ приборов соединены параллельно, вся система отказывает только в том случае, если отказывают все $n$ приборов. Предполагая, что отказы приборов являются независимыми событиями, вероятность отказа всей системы $Q_n$ равна произведению вероятностей отказа каждого из $n$ приборов: $Q_n = q^n$.

Надежность всей системы $P_n$ — это вероятность того, что система будет работать. Это событие, противоположное отказу системы. Таким образом, надежность системы из $n$ параллельно соединенных приборов равна: $P_n = 1 - Q_n = 1 - q^n$.

Нам необходимо найти минимальное целое число приборов $n$, при котором надежность системы будет не менее 0,98. Запишем это в виде неравенства: $P_n \ge 0,98$

Подставим в неравенство выражение для $P_n$ и значение $q$: $1 - (0,2)^n \ge 0,98$

Теперь решим это показательное неравенство относительно $n$: $-(0,2)^n \ge 0,98 - 1$ $-(0,2)^n \ge -0,02$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $(0,2)^n \le 0,02$

Чтобы найти наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому неравенству, можно проверить значения $n$ по порядку, начиная с 1:

• При $n=1$: $(0,2)^1 = 0,2$. Неравенство $0,2 \le 0,02$ не выполняется.
• При $n=2$: $(0,2)^2 = 0,04$. Неравенство $0,04 \le 0,02$ не выполняется.
• При $n=3$: $(0,2)^3 = 0,008$. Неравенство $0,008 \le 0,02$ выполняется.

Следовательно, минимальное количество приборов, которое необходимо соединить параллельно для достижения требуемой надежности, равно 3.

Проверка: надежность системы из 3 приборов составит $P_3 = 1 - (0,2)^3 = 1 - 0,008 = 0,992$, что больше, чем 0,98.

Ответ: 3.