Вопросы, страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие испытания называются независимыми?

2. В каких случаях используется формула Бернулли? Запишите ее.
$P_n(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

3. Как находится вероятность наступления события при $n$ независимых испытаниях хотя бы один раз?
$P(A \ge 1) = 1 - (1-p)^n$

1. Какие испытания называются независимыми?

Испытания называются независимыми, если исход любого из них не влияет на вероятности исходов других испытаний. Другими словами, вероятность наступления какого-либо события в одном испытании не изменяется от того, какие исходы имели место в предыдущих испытаниях.

Например, многократное подбрасывание монеты является серией независимых испытаний, так как результат каждого следующего броска (орел или решка) не зависит от результатов предыдущих. Аналогично, извлечение карты из колоды с последующим возвращением ее обратно также представляет собой независимые испытания. Если же карта не возвращается, испытания становятся зависимыми, так как состав колоды меняется.

Формально, если у нас есть последовательность испытаний и события $A_1, A_2, \dots, A_n$, где каждое событие $A_i$ относится к $i$-му испытанию, то испытания независимы, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot \dots \cdot P(A_n)$.

Ответ: Независимые испытания — это такие испытания, при которых вероятность исхода каждого из них не зависит от исходов всех остальных.

2. В каких случаях используется формула Бернулли? Запишите ее.

Формула Бернулли используется для вычисления вероятности получения ровно $k$ "успехов" в серии из $n$ независимых испытаний. Для ее применения должны выполняться следующие условия (такая серия испытаний называется схемой Бернулли):

1. Проводится фиксированное количество испытаний — $n$.

2. Все испытания являются независимыми друг от друга.

3. Каждое испытание имеет ровно два возможных исхода, которые условно называют "успех" и "неудача".

4. Вероятность "успеха", обозначаемая как $p$, постоянна для каждого испытания. Следовательно, вероятность "неудачи", обозначаемая как $q$, также постоянна и равна $q = 1 - p$.

Формула Бернулли имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где:

$P_n(k)$ — вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях;

$n$ — общее число независимых испытаний;

$k$ — число "успехов";

$p$ — вероятность "успеха" в одном испытании;

$q = 1 - p$ — вероятность "неудачи" в одном испытании;

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$, то есть количество способов выбрать $k$ успешных испытаний из $n$.

Ответ: Формула Бернулли используется в серии из $n$ независимых испытаний с двумя исходами и постоянной вероятностью успеха $p$ для нахождения вероятности наступления ровно $k$ успехов. Формула: $P_n(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.

3. Как находится вероятность наступления события при n независимых испытаниях хотя бы один раз?

Для нахождения вероятности того, что некоторое событие $A$ произойдет хотя бы один раз в серии из $n$ независимых испытаний, удобнее всего использовать метод вычисления через противоположное событие.

Пусть событие $A$ — "событие произошло хотя бы один раз".

Тогда противоположное ему событие $\bar{A}$ — "событие не произошло ни разу".

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$. Отсюда, искомая вероятность $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Найдем вероятность $P(\bar{A})$.

Пусть $p$ — это вероятность наступления события в одном испытании ("успех").

Тогда вероятность того, что событие не наступит в одном испытании ("неудача"), равна $q = 1 - p$.

Поскольку все $n$ испытаний независимы, вероятность того, что событие не произойдет во всех $n$ испытаниях, равна произведению вероятностей того, что оно не произойдет в каждом из них:

$P(\bar{A}) = q \cdot q \cdot \dots \cdot q$ ($n$ раз) $= q^n = (1-p)^n$.

Таким образом, вероятность наступления события $A$ хотя бы один раз равна:

$P(A) = 1 - q^n = 1 - (1-p)^n$.

Ответ: Вероятность наступления события хотя бы один раз при $n$ независимых испытаниях находится по формуле $P(A) = 1 - q^n$, где $q$ — вероятность того, что событие не наступит в одном испытании.