Номер 28.10, страница 209, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.10. В четырех коробках находятся альчики. В первой коробке 1 белый и 1 красный альчик, во второй — 2 белых и 3 красных, в третьей — 3 белых и 5 красных, в четвертой — 4 белых и 7 красных альчиков. Вероятности выбора коробки равны $P(A_1) = \frac{1}{10}$; $P(A_2) = \frac{2}{10}$; $P(A_3) = \frac{3}{10}$; $P(A_4) = \frac{4}{10}$. Выбирается наугад одна из коробок и из нее вынимается альчик. Найдите вероятность того, что этот альчик будет:

1) белым;

2) красным.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть $A_1, A_2, A_3, A_4$ — события, состоящие в выборе первой, второй, третьей и четвертой коробки соответственно. Вероятности этих событий даны в условии:

$P(A_1) = \frac{1}{10}$; $P(A_2) = \frac{2}{10}$; $P(A_3) = \frac{3}{10}$; $P(A_4) = \frac{4}{10}$.

Сумма этих вероятностей равна $ \frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = 1 $, что подтверждает, что события образуют полную группу.

1) белым

Пусть событие $B$ — извлечение белого альчика. Найдем вероятность этого события по формуле полной вероятности:

$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) + P(A_4)P(B|A_4)$

где $P(B|A_i)$ — условная вероятность извлечения белого альчика при условии, что была выбрана $i$-я коробка.

Рассчитаем эти условные вероятности:

• В первой коробке 1 белый и 1 красный альчик (всего 2). Вероятность вынуть белый: $P(B|A_1) = \frac{1}{2}$.
• Во второй коробке 2 белых и 3 красных альчика (всего 5). Вероятность вынуть белый: $P(B|A_2) = \frac{2}{5}$.
• В третьей коробке 3 белых и 5 красных альчиков (всего 8). Вероятность вынуть белый: $P(B|A_3) = \frac{3}{8}$.
• В четвертой коробке 4 белых и 7 красных альчиков (всего 11). Вероятность вынуть белый: $P(B|A_4) = \frac{4}{11}$.

Теперь подставим все значения в формулу полной вероятности:

$P(B) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{10} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{8} + \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{11}$

$P(B) = \frac{1}{20} + \frac{4}{50} + \frac{9}{80} + \frac{16}{110}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 20, 50, 80 и 110 равен 4400.

$P(B) = \frac{1 \cdot 220}{4400} + \frac{4 \cdot 88}{4400} + \frac{9 \cdot 55}{4400} + \frac{16 \cdot 40}{4400}$

$P(B) = \frac{220 + 352 + 495 + 640}{4400} = \frac{1707}{4400}$

Ответ: $\frac{1707}{4400}$.

2) красным

Пусть событие $C$ — извлечение красного альчика. Так как в коробках находятся только белые и красные альчики, то события $B$ (вынут белый) и $C$ (вынут красный) являются противоположными. Сумма их вероятностей равна 1:

$P(C) + P(B) = 1$

Следовательно, вероятность вынуть красный альчик можно найти, вычтя из единицы вероятность вынуть белый альчик, которую мы уже рассчитали:

$P(C) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1707}{4400} = \frac{4400 - 1707}{4400} = \frac{2693}{4400}$

Проверим результат, вычислив $P(C)$ по формуле полной вероятности, как и в первом пункте.

Условные вероятности вынуть красный альчик: $P(C|A_1) = \frac{1}{2}$, $P(C|A_2) = \frac{3}{5}$, $P(C|A_3) = \frac{5}{8}$, $P(C|A_4) = \frac{7}{11}$.

$P(C) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{10} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{8} + \frac{4}{10} \cdot \frac{7}{11} = \frac{1}{20} + \frac{6}{50} + \frac{15}{80} + \frac{28}{110}$

$P(C) = \frac{1 \cdot 220}{4400} + \frac{6 \cdot 88}{4400} + \frac{15 \cdot 55}{4400} + \frac{28 \cdot 40}{4400} = \frac{220 + 528 + 825 + 1120}{4400} = \frac{2693}{4400}$

Результаты совпали, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: $\frac{2693}{4400}$.