Номер 28.4, страница 208, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.4. На экзамен по геометрии учитель составил 25 билетов. Учащийся подготовился только по 20 билетам. Найдите вероятность того, что учащийся экзамен сдаст, если:

1) учащийся зашел первым на экзамен;

2) учащийся зашел вторым на экзамен.

Обозначим общее количество билетов как $N=25$. Количество билетов, к которым учащийся подготовился (благоприятные исходы), равно $M=20$. Количество билетов, к которым учащийся не подготовился, составляет $N - M = 25 - 20 = 5$.

1) учащийся зашел первым на экзамен;

Вероятность события A (учащийся вытащит подготовленный билет) вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = m/n$, где $n$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае $n$ – это общее количество билетов, $n=25$.

$m$ – это количество подготовленных билетов, $m=20$.

Таким образом, вероятность сдать экзамен, зайдя первым, равна:

$P(A) = 20/25 = 4/5 = 0,8$.

Ответ: 0,8.

2) учащийся зашел вторым на экзамен.

Вероятность того, что второй учащийся вытянет подготовленный билет, не зависит от того, какой билет достался первому учащемуся (поскольку нам это неизвестно), и равна вероятности для первого учащегося. Однако, для строгости, докажем это с помощью формулы полной вероятности.

Пусть событие $B$ заключается в том, что второй учащийся вытянул подготовленный билет.

Это событие зависит от того, какой билет вытянул первый учащийся. Рассмотрим две гипотезы:

$H_1$ – первый учащийся вытянул подготовленный билет. Вероятность этого события $P(H_1) = 20/25$.

$H_2$ – первый учащийся вытянул неподготовленный билет. Вероятность этого события $P(H_2) = 5/25$.

Теперь найдем условные вероятности события $B$ при этих гипотезах.

Если первый учащийся вытянул подготовленный билет (свершилась гипотеза $H_1$), то осталось 24 билета, из которых 19 подготовленных. Вероятность второму вытянуть подготовленный билет в этом случае: $P(B|H_1) = 19/24$.

Если первый учащийся вытянул неподготовленный билет (свершилась гипотеза $H_2$), то осталось 24 билета, но все 20 подготовленных билетов на месте. Вероятность второму вытянуть подготовленный билет в этом случае: $P(B|H_2) = 20/24$.

По формуле полной вероятности, искомая вероятность $P(B)$ равна:

$P(B) = P(H_1) \cdot P(B|H_1) + P(H_2) \cdot P(B|H_2)$

$P(B) = (20/25) \cdot (19/24) + (5/25) \cdot (20/24) = (20 \cdot 19 + 5 \cdot 20) / (25 \cdot 24) = (20 \cdot (19 + 5)) / (25 \cdot 24) = (20 \cdot 24) / (25 \cdot 24)$

Сократив 24, получаем:

$P(B) = 20/25 = 4/5 = 0,8$.

Ответ: 0,8.