Номер 28.11, страница 209, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ

28.11. Английский математик Томас Байес сформулировал и решил одну из основных задач теории вероятностей (теорема Байеса).

Формула Байеса играет важную роль в современной математической статистике и теории вероятностей.

Томас Байес

(1702—1761)

Биография Томаса Байеса

Томас Байес (англ. Thomas Bayes) — английский математик и пресвитерианский священник, живший в 18 веке (около 1702–1761). Родился в Лондоне в семье нонконформистского священника. Получил частное образование, а затем изучал логику и теологию в Эдинбургском университете. Пойдя по стопам отца, Байес стал священником и служил в городе Танбридж-Уэллс.

Помимо своей основной деятельности, Байес глубоко интересовался математикой, в частности теорией вероятностей. В 1742 году он был избран членом Лондонского королевского общества, что свидетельствует о признании его научных заслуг, хотя при жизни он не опубликовал ни одной математической работы под своим именем. Его главный труд, «Эссе о решении задачи в доктрине шансов» (An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances), был опубликован посмертно в 1763 году его другом Ричардом Прайсом. Именно в этой работе была представлена знаменитая теорема, названная в его честь. Ответ:

Теорема Байеса

Теорема Байеса — одна из фундаментальных теорем теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое, статистически взаимосвязанное с ним событие. Иными словами, формула Байеса позволяет «пересчитать» вероятность гипотезы, получив новую информацию (доказательства).

В простейшем виде формула выглядит так:

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$

Где:

• $P(A|B)$ — апостериорная вероятность, то есть вероятность гипотезы $A$ при наступлении события $B$ (после опыта).

• $P(B|A)$ — условная вероятность наступления события $B$ при истинности гипотезы $A$.

• $P(A)$ — априорная вероятность, то есть исходная вероятность гипотезы $A$ (до опыта).

• $P(B)$ — полная вероятность наступления события $B$.

Часто вероятность $P(B)$ неизвестна, но её можно вычислить по формуле полной вероятности. Если имеется полная группа несовместных гипотез $A_1, A_2, \dots, A_n$, то формула Байеса для гипотезы $A_k$ приобретает вид:

$P(A_k|B) = \frac{P(B|A_k) \cdot P(A_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B|A_i) \cdot P(A_i)}$

Эта формула является основой байесовского подхода в статистике. Ответ:

Значение и применение теоремы Байеса

Как указано в задаче, формула Байеса играет ключевую роль в современной математической статистике и теории вероятностей. Она лежит в основе целого направления — байесовской статистики, которая рассматривает вероятность как степень уверенности в суждении и позволяет обновлять эту уверенность по мере поступления новых данных. Этот подход находит широкое применение в различных областях науки и техники.

Основные области применения:

• Машинное обучение: Байесовские методы используются для создания спам-фильтров (определение вероятности, что письмо — спам, по наличию определённых слов), систем рекомендаций и классификаторов (например, наивный байесовский классификатор).

• Медицинская диагностика: Расчёт вероятности наличия заболевания у пациента на основе результатов анализов, учитывая их точность (чувствительность и специфичность).

• Финансы и экономика: Моделирование рисков, прогнозирование цен на активы и оценка вероятности банкротства.

• Искусственный интеллект: Построение байесовских сетей доверия — моделей, которые представляют вероятностные связи между переменными.

• Судебная практика: Оценка силы улик и вероятности виновности или невиновности подозреваемого.

Таким образом, идея, сформулированная Томасом Байесом более 250 лет назад, оказалась чрезвычайно плодотворной и востребованной в эпоху больших данных и искусственного интеллекта. Ответ: