Номер 28.12, страница 209, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.12. Функция задана формулой $f(n) = \frac{C_n^3 \cdot C_n^2}{(n-2)!}$. Найдите значение функции при: 1) $n = 4$; 2) $n = 5$; 3) $n = 7$.

Для нахождения значений функции $f(n) = \frac{C_n^3 \cdot C_n^2}{(n-2)!}$ при заданных значениях $n$, необходимо подставить каждое значение $n$ в формулу и произвести вычисления. Воспользуемся формулой для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1) n = 4

Подставляем $n=4$ в формулу функции:

$f(4) = \frac{C_4^3 \cdot C_4^2}{(4-2)!} = \frac{C_4^3 \cdot C_4^2}{2!}$.

Сначала вычислим значения сочетаний:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1} = 4$.

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2 \cdot 1 \cdot 2!} = \frac{12}{2} = 6$.

Теперь подставим найденные значения в выражение для $f(4)$:

$f(4) = \frac{4 \cdot 6}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.

Ответ: 12

2) n = 5

Подставляем $n=5$ в формулу функции:

$f(5) = \frac{C_5^3 \cdot C_5^2}{(5-2)!} = \frac{C_5^3 \cdot C_5^2}{3!}$.

Вычислим значения сочетаний. Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$, откуда следует, что $C_5^3 = C_5^{5-3} = C_5^2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10$.

Следовательно, $C_5^3 = 10$ и $C_5^2 = 10$.

Подставим найденные значения в выражение для $f(5)$:

$f(5) = \frac{10 \cdot 10}{3!} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}$.

Ответ: $\frac{50}{3}$

3) n = 7

Подставляем $n=7$ в формулу функции:

$f(7) = \frac{C_7^3 \cdot C_7^2}{(7-2)!} = \frac{C_7^3 \cdot C_7^2}{5!}$.

Вычислим значения сочетаний:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{210}{6} = 35$.

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{42}{2} = 21$.

Подставим найденные значения в выражение для $f(7)$:

$f(7) = \frac{35 \cdot 21}{5!} = \frac{35 \cdot 21}{120}$.

Сократим полученную дробь. Сначала разделим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{35 \cdot 21}{120} = \frac{7 \cdot 21}{24}$.

Теперь разделим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{7 \cdot 21}{24} = \frac{7 \cdot 7}{8} = \frac{49}{8}$.

Ответ: $\frac{49}{8}$