Номер 28.3, страница 208, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.3. Оператор обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания оператора, для первого станка равна 0,9, для второго — 0,8, для третьего — 0,8. Найдите вероятность того, что в течение часа:

1) ни один из трех станков не потребует внимания оператора;

2) по крайней мере один из станков не потребует внимания оператора.

Обозначим события:

$A_1$ — первый станок не потребует внимания в течение часа. По условию, $P(A_1) = 0,9$.

$A_2$ — второй станок не потребует внимания в течение часа. По условию, $P(A_2) = 0,8$.

$A_3$ — третий станок не потребует внимания в течение часа. По условию, $P(A_3) = 0,8$.

Так как станки работают независимо, события $A_1$, $A_2$ и $A_3$ являются независимыми.

1) ни один из трех станков не потребует внимания оператора;

Это событие представляет собой одновременное наступление всех трех событий: $A_1$, $A_2$ и $A_3$. Для независимых событий вероятность их совместного наступления (произведения) равна произведению их вероятностей.

$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)$

Подставим числовые значения:

$P = 0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,72 \cdot 0,8 = 0,576$

Ответ: $0,576$

2) по крайней мере один из станков не потребует внимания оператора.

Событие "по крайней мере один из станков не потребует внимания" является противоположным событию "все три станка потребуют внимания". Удобнее найти вероятность противоположного события и вычесть ее из единицы.

Найдем вероятности событий, противоположных $A_1, A_2, A_3$:

$\bar{A_1}$ — первый станок потребует внимания. $P(\bar{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,9 = 0,1$

$\bar{A_2}$ — второй станок потребует внимания. $P(\bar{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,8 = 0,2$

$\bar{A_3}$ — третий станок потребует внимания. $P(\bar{A_3}) = 1 - P(A_3) = 1 - 0,8 = 0,2$

Вероятность того, что все три станка потребуют внимания (события $\bar{A_1}, \bar{A_2}, \bar{A_3}$ также независимы):

$P(\bar{A_1} \cap \bar{A_2} \cap \bar{A_3}) = P(\bar{A_1}) \cdot P(\bar{A_2}) \cdot P(\bar{A_3}) = 0,1 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,004$

Искомая вероятность того, что хотя бы один станок не потребует внимания, равна:

$P = 1 - P(\bar{A_1} \cap \bar{A_2} \cap \bar{A_3}) = 1 - 0,004 = 0,996$

Ответ: $0,996$