Номер 28.2, страница 208, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.2. В соревнованиях по стрельбе участвуют три спортсмена. Вероятность попадания в мишень первым спортсменом равна $0,3$, вторым — $0,8$, третьим — $0,5$. Один из них выстрелил по мишени и поразил ее. Найдите вероятность того, что по мишени выстрелил третий спортсмен.

Для решения этой задачи используется формула Байеса, которая позволяет переоценить вероятность гипотезы после того, как стало известно о наступлении некоторого события. В данном случае, мы хотим найти вероятность того, что стрелял третий спортсмен, зная, что выстрел был точным.

Введем следующие события:

$H_1$ – событие, состоящее в том, что выстрелил первый спортсмен;

$H_2$ – событие, состоящее в том, что выстрелил второй спортсмен;

$H_3$ – событие, состоящее в том, что выстрелил третий спортсмен.

$A$ – событие, состоящее в том, что мишень была поражена.

Поскольку по условию «один из них выстрелил», и нет никаких дополнительных сведений, мы предполагаем, что выбор стрелявшего был случайным и равновероятным. Следовательно, априорные (изначальные) вероятности гипотез равны:

$P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$

Из условия задачи нам известны условные вероятности попадания в мишень для каждого спортсмена:

$P(A|H_1) = 0,3$ (вероятность попадания, если стрелял первый);

$P(A|H_2) = 0,8$ (вероятность попадания, если стрелял второй);

$P(A|H_3) = 0,5$ (вероятность попадания, если стрелял третий).

Мы ищем апостериорную (послеопытную) вероятность $P(H_3|A)$ – вероятность того, что стрелял третий спортсмен, при условии, что произошло попадание.

Сначала найдем полную вероятность события $A$ (попадания в мишень) по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$

Подставив значения, получаем:

$P(A) = \frac{1}{3} \cdot 0,3 + \frac{1}{3} \cdot 0,8 + \frac{1}{3} \cdot 0,5 = \frac{1}{3}(0,3 + 0,8 + 0,5) = \frac{1}{3} \cdot 1,6 = \frac{1,6}{3}$

Теперь, используя формулу Байеса, найдем искомую вероятность $P(H_3|A)$:

$P(H_3|A) = \frac{P(H_3)P(A|H_3)}{P(A)}$

Подставим известные и вычисленные значения в формулу:

$P(H_3|A) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0,5}{\frac{1,6}{3}}$

Сократим множитель $\frac{1}{3}$ в числителе и знаменателе:

$P(H_3|A) = \frac{0,5}{1,6} = \frac{5}{16}$

Для удобства можно перевести простую дробь в десятичную:

$\frac{5}{16} = 5 \div 16 = 0,3125$

Ответ: $\frac{5}{16}$ (или 0,3125).