Номер 29.10, страница 212, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.10. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено 8 точек. Найдите вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Эта задача описывает схему независимых испытаний с несколькими исходами, которая решается с помощью полиномиального распределения. Мы бросаем $n=8$ точек, и для каждой точки есть $k=4$ возможных исхода (попадание в одну из четырех частей отрезка).

Согласно условию, отрезок разделен на четыре равные части. Это означает, что вероятность попадания одной случайно брошенной точки в любую из этих четырех частей одинакова и равна $p = 1/4$.

Мы ищем вероятность события A, которое заключается в том, что на каждую из четырех частей отрезка попадет ровно по две точки. То есть, у нас есть $n_1=2$ попадания в первую часть, $n_2=2$ во вторую, $n_3=2$ в третью и $n_4=2$ в четвертую.

Вероятность такого события вычисляется по формуле полиномиального распределения: $P(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_k^{n_k}$

Подставляем в формулу наши значения: $n=8$, $n_1=n_2=n_3=n_4=2$ и $p_1=p_2=p_3=p_4=1/4$. $P(A) = \frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{8!}{(2!)^4} \left(\frac{1}{4}\right)^8$

Вычислим первую часть формулы — количество способов, которыми можно распределить 8 различных точек на 4 группы по 2 точки в каждой: $\frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{40320}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{40320}{16} = 2520$

Вычислим вторую часть — вероятность одного конкретного такого распределения (например, первые две точки попали в первую часть, третья и четвертая — во вторую и т.д.): $\left(\frac{1}{4}\right)^8 = \frac{1}{4^8} = \frac{1}{65536}$

Теперь найдем искомую вероятность, перемножив полученные значения: $P(A) = 2520 \cdot \frac{1}{65536} = \frac{2520}{65536}$

Сократим полученную дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, делятся на 8: $\frac{2520 \div 8}{65536 \div 8} = \frac{315}{8192}$

Разложим числитель и знаменатель на простые множители, чтобы убедиться, что дробь несократима: $315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$, а $8192 = 2^{13}$. Общих множителей нет.

Ответ: $\frac{315}{8192}$