Номер 29.16, страница 213, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.16. Наблюдениями установлено, что в городе N в сентябре бывает 12 дождливых дней. Найдите вероятность того, что в случайно выбранных в сентябре месяце 8 днях дождливыми будут:

1) 3 дня;

2) не менее 3 дней;

3) не более 3 дней.

Данная задача решается с использованием формулы гипергеометрической вероятности, так как мы производим выборку без возвращения из конечной совокупности.

Общее число дней в сентябре (размер совокупности) $N = 30$.

Число дождливых дней в сентябре (число «успехов» в совокупности) $K = 12$.

Число не дождливых дней в сентябре $N - K = 30 - 12 = 18$.

Число случайно выбранных дней (размер выборки) $n = 8$.

Вероятность того, что в выборке окажется ровно $k$ дождливых дней, вычисляется по формуле:

$P(X=k) = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Сначала вычислим общее число способов выбрать 8 дней из 30, то есть знаменатель дроби:

$C_{30}^8 = \frac{30!}{8!(30-8)!} = \frac{30!}{8!22!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5\,852\,925$.

Теперь решим каждый из подпунктов.

1) 3 дня;

Нужно найти вероятность того, что среди 8 выбранных дней ровно 3 будут дождливыми ($k=3$). Для этого нужно выбрать 3 дождливых дня из 12 и 5 не дождливых дней из 18.

Число способов выбрать 3 дождливых дня из 12:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$.

Число способов выбрать $8-3=5$ не дождливых дней из 18:

$C_{18}^5 = \frac{18!}{5!13!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8568$.

Число благоприятных исходов:

$m_3 = C_{12}^3 \cdot C_{18}^5 = 220 \cdot 8568 = 1\,884\,960$.

Вероятность $P(X=3)$:

$P(X=3) = \frac{m_3}{C_{30}^8} = \frac{1\,884\,960}{5\,852\,925} = \frac{41888}{130065}$.

Ответ: $P(X=3) = \frac{41888}{130065} \approx 0.322$.

2) не менее 3 дней;

Это означает, что дождливыми могут быть 3, 4, 5, 6, 7 или 8 дней. Проще вычислить вероятность противоположного события (менее 3 дождливых дней, то есть 0, 1 или 2) и вычесть ее из 1.

$P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))$

Вычислим вероятности для $k=0, 1, 2$:

$P(X=0) = \frac{C_{12}^0 C_{18}^8}{C_{30}^8} = \frac{1 \cdot 43758}{5852925} = \frac{43758}{5852925}$

$P(X=1) = \frac{C_{12}^1 C_{18}^7}{C_{30}^8} = \frac{12 \cdot 31824}{5852925} = \frac{381888}{5852925}$

$P(X=2) = \frac{C_{12}^2 C_{18}^6}{C_{30}^8} = \frac{66 \cdot 18564}{5852925} = \frac{1225224}{5852925}$

Суммарная вероятность $P(X < 3)$:

$P(X < 3) = \frac{43758 + 381888 + 1225224}{5852925} = \frac{1650870}{5852925} = \frac{275145}{975487.5}$ (неправильное сокращение). Правильно: $\frac{1650870}{5852925} = \frac{36686}{130065}$.

Тогда искомая вероятность:

$P(X \ge 3) = 1 - \frac{1650870}{5852925} = \frac{5852925 - 1650870}{5852925} = \frac{4202055}{5852925} = \frac{7183}{10005}$.

Ответ: $P(X \ge 3) = \frac{7183}{10005} \approx 0.718$.

3) не более 3 дней.

Это означает, что дождливыми могут быть 0, 1, 2 или 3 дня. Нам нужно найти $P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$.

Мы уже вычислили все необходимые слагаемые:

$P(X < 3) = \frac{1650870}{5852925}$

$P(X=3) = \frac{1884960}{5852925}$

Суммируем их:

$P(X \le 3) = \frac{1650870 + 1884960}{5852925} = \frac{3535830}{5852925} = \frac{78574}{130065}$.

Ответ: $P(X \le 3) = \frac{78574}{130065} \approx 0.604$.