Номер 29.13, страница 213, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.13. Событие $B$ появится в том случае, если событие $A$ наступит не менее четырех раз. Найдите вероятность наступления события $B$, если проведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события $A$ равна $0.8$.

Данная задача решается с использованием формулы Бернулли для схемы независимых испытаний. У нас есть последовательность из $n$ одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых событие А (успех) может произойти с вероятностью $p$.

Определим параметры из условия задачи:

- Общее число испытаний: $n = 5$.

- Вероятность наступления события А в одном испытании (вероятность "успеха"): $p = 0,8$.

- Вероятность того, что событие А не наступит в одном испытании (вероятность "неудачи"): $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

Событие B произойдет, если событие A наступит "не менее четырех раз". Это означает, что число наступлений события А, которое мы обозначим как $k$, должно быть либо 4, либо 5. Так как эти два исхода (ровно 4 успеха и ровно 5 успехов) являются несовместными, то вероятность события B можно найти как сумму их вероятностей:

$P(B) = P(k=4) + P(k=5)$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $k$).

1. Вычислим вероятность того, что событие А наступит ровно 4 раза ($k=4$):

$P_5(4) = C_5^4 \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^{5-4}$

$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5$.

$P_5(4) = 5 \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^1 = 5 \cdot 0,4096 \cdot 0,2 = 0,4096$.

2. Вычислим вероятность того, что событие А наступит ровно 5 раз ($k=5$):

$P_5(5) = C_5^5 \cdot (0,8)^5 \cdot (0,2)^{5-5}$

$C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = 1$.

$P_5(5) = 1 \cdot (0,8)^5 \cdot (0,2)^0 = 1 \cdot 0,32768 \cdot 1 = 0,32768$.

3. Теперь сложим полученные вероятности, чтобы найти вероятность события B:

$P(B) = P_5(4) + P_5(5) = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728$.

Ответ: 0,73728