Номер 29.18, страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.18. Разложите на множители многочлен:

1) $x^3 + 3x - 4$;

2) $x^3 + 2x^2 - 3x - 6$;

3) $x^3 + 3x^2 + 3x + 9$.

1) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 + 3x - 4$, воспользуемся методом группировки. Для этого представим член $3x$ как $ -x + 4x $ и свободный член $-4$ как $ -1 - 3 $, но удобнее найти один из корней. По теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена (числа -4), то есть среди чисел $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим $x=1$: $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.

Так как $x=1$ является корнем, то многочлен делится на $(x-1)$ без остатка. Другой способ — это преобразование выражения:

$x^3 + 3x - 4 = x^3 - 1 + 3x - 3$

Сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 1) + (3x - 3)$.

Первую скобку разложим по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$

Из второй скобки вынесем общий множитель 3:

$3x - 3 = 3(x-1)$

Подставим полученные выражения обратно:

$(x-1)(x^2+x+1) + 3(x-1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)( (x^2+x+1) + 3 ) = (x-1)(x^2+x+4)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $x^2+x+4$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как дискриминант отрицательный, у трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(x-1)(x^2+x+4)$.

2) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 + 2x^2 - 3x - 6$, применим метод группировки слагаемых.

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^3 + 2x^2) + (-3x - 6)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

В первой группе это $x^2$: $x^2(x+2)$.

Во второй группе это $-3$: $-3(x+2)$.

Получим выражение: $x^2(x+2) - 3(x+2)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x+2)$:

$(x+2)(x^2 - 3)$

Выражение $x^2 - 3$ можно рассматривать как разность квадратов, но в рамках разложения на множители с целыми коэффициентами оно является иррациональным. Поэтому разложение завершено.

Ответ: $(x+2)(x^2 - 3)$.

3) Для разложения на множители многочлена $x^3 + 3x^2 + 3x + 9$ также используем метод группировки.

Сгруппируем попарно слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) + (3x + 9)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(x+3)$

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель 3:

$3(x+3)$

Получим следующее выражение:

$x^2(x+3) + 3(x+3)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$(x+3)(x^2+3)$

Многочлен $x^2+3$ не имеет действительных корней (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+3 > 0$), поэтому он не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(x+3)(x^2+3)$.