Вопросы, страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример комбинаторной задачи.

2. В чем сходство и в чем различие перестановок и размещений без повторений?

3. В чем сходство и в чем различие перестановок и размещений с повторениями?

1. Приведите пример комбинаторной задачи.

Комбинаторная задача — это задача, в которой требуется подсчитать количество различных способов (комбинаций), которыми можно выбрать или расположить элементы из некоторого множества по заданным правилам.

Пример задачи:

В классе изучают 8 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 4 различных урока?

Решение:

Эта задача является задачей на нахождение числа размещений без повторений, так как важен не только набор предметов, но и их порядок в расписании, и все уроки должны быть разными.

На первый урок можно выбрать любой из 8 предметов.

На второй урок — любой из оставшихся 7 предметов.

На третий урок — любой из оставшихся 6 предметов.

На четвертый урок — любой из оставшихся 5 предметов.

По правилу произведения, общее число способов равно: $8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$.

Это можно также вычислить по формуле для числа размещений без повторений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=8$ (общее число предметов), а $k=4$ (количество уроков в день):

$A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = \frac{40320}{24} = 1680$.

Ответ: Существует 1680 способов составить расписание.

2. В чем сходство и в чем различие перестановок и размещений без повторений?

И перестановки, и размещения без повторений являются комбинаторными соединениями, которые оперируют с конечным множеством различных элементов.

Сходство:

1. Учет порядка: И для перестановок, и для размещений порядок следования элементов в комбинации имеет значение. Например, наборы {1, 2, 3} и {3, 2, 1} считаются двумя разными комбинациями.

2. Уникальность элементов: В обоих случаях элементы в одной комбинации не повторяются. Каждый элемент из исходного множества может быть использован не более одного раза.

Различие:

Основное различие заключается в количестве элементов из исходного множества, которые участвуют в формировании комбинации.

1. Перестановки без повторений — это комбинации, в которые входят все $n$ элементов исходного множества. Они отличаются друг от друга только порядком расположения этих элементов. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

2. Размещения без повторений — это комбинации, которые составляются из $n$ элементов исходного множества по $k$ элементов, где $k \le n$. В них участвует только часть ($k$) элементов исходного множества. Размещения отличаются друг от друга либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений из $n$ по $k$ вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Таким образом, перестановки являются частным случаем размещений, когда количество выбираемых элементов равно общему количеству элементов в множестве ($k=n$). В этом случае формула для размещений дает тот же результат, что и формула для перестановок: $A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n! = P_n$.

Ответ: Сходство заключается в том, что в обоих случаях важен порядок и элементы не повторяются. Различие — в том, что в перестановках участвуют все элементы исходного множества, а в размещениях — только их часть ($k$ из $n$).

3. В чем сходство и в чем различие перестановок и размещений с повторениями?

И перестановки, и размещения с повторениями — это комбинации, в которых порядок элементов важен, а сами элементы могут повторяться.

Сходство:

1. Учет порядка: Как и в случае без повторений, порядок элементов в комбинации имеет значение.

2. Допустимость повторений: В обоих видах соединений элементы могут использоваться в комбинации более одного раза.

Различие:

Ключевое различие состоит в природе исходных данных и цели задачи.

1. Перестановки с повторениями используются, когда нужно найти число способов переупорядочить элементы заданного набора (мультимножества), в котором уже есть повторения. Общее количество элементов $n$ и число повторений каждого типа элемента ($n_1, n_2, \dots, n_m$) строго зафиксированы. Мы переставляем все $n$ элементов этого набора. Например, при нахождении числа анаграмм для слова "МАТЕМАТИКА" мы имеем фиксированный набор из 10 букв (М-2, А-3, Т-2, Е-1, И-1, К-1). Формула для числа перестановок с повторениями: $P_n(n_1, \dots, n_m) = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_m!}$.

2. Размещения с повторениями используются, когда мы создаем упорядоченные последовательности (кортежи) длины $k$ из элементов, принадлежащих $n$ различным типам. Предполагается, что элементы каждого типа можно использовать неограниченное число раз (или, по крайней мере, $k$ раз). Здесь мы выбираем на каждую из $k$ позиций один из $n$ типов элементов. Длина комбинации $k$ никак не связана с числом типов $n$. Например, при составлении всех возможных 4-значных PIN-кодов из 10 цифр (от 0 до 9) мы имеем $n=10$ типов элементов (цифры) и составляем последовательность длиной $k=4$. Формула для числа размещений с повторениями: $\bar{A}_n^k = n^k$.

Следовательно, в перестановках с повторениями мы переставляем конкретный, заданный набор элементов, а в размещениях с повторениями — конструируем новые последовательности из доступных типов элементов.

Ответ: Сходство — в учете порядка и возможности повторения элементов. Различие — в том, что перестановки с повторениями — это переупорядочивание всех элементов заданного набора с фиксированными повторениями, а размещения с повторениями — это составление последовательностей заданной длины из $n$ типов элементов, которые можно выбирать неограниченно.