Номер 1, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Множества. Операции над множествами

1) $3 \in \{1, 3, 5\}$;

2) $\{1\} \in \{1, 3, 5\}$;

3) $5 \subset \{1, 3, 5\}$;

4) $\{5\} \subset \{1, 3, 5\}$;

5) $\emptyset \subset \{1, 3, 5\}$;

6) $\{\emptyset\} \in \{1, 3, 5\}$?

1) $\{3\} \cap \{3, 9\} = \{3, 9\}$;

2) $\{3\} \cap \{3, 9\} = \{3\}$;

3) $\{3\} \cup \{3, 9\} = \{9\}$;

4) $\{3\} \cup \{3, 9\} = \{3, 9\}$?

1) $A \cap B$;

2) $A \cup B$;

3) $A \setminus B$;

4) $B \setminus A$.

1) $(A \cap C) \cup B$;

2) $(A \cup B) \setminus C$;

3) $(B \setminus C) \cap A$.

Рис. 1

1. Какие из следующих утверждений верны:

Проанализируем каждое утверждение, где дано множество $M = \{1, 3, 5\}$.

1) $3 \in \{1, 3, 5\}$;

Знак $\in$ означает "принадлежит". Утверждение гласит, что элемент 3 принадлежит множеству $\{1, 3, 5\}$. Это верно, так как 3 является одним из элементов данного множества.

2) $\{1\} \in \{1, 3, 5\}$;

Это утверждение гласит, что множество $\{1\}$ является элементом множества $\{1, 3, 5\}$. Элементами множества $\{1, 3, 5\}$ являются числа 1, 3 и 5, а не множество $\{1\}$. Следовательно, утверждение неверно.

3) $5 \subset \{1, 3, 5\}$;

Знак $\subset$ означает "является подмножеством". Этот знак используется для сравнения двух множеств. В данном случае слева стоит число 5, которое является элементом, а не множеством. Поэтому утверждение некорректно и считается неверным. Если бы имелось в виду $\{5\} \subset \{1, 3, 5\}$, то утверждение было бы верным.

4) $\{5\} \subset \{1, 3, 5\}$;

Утверждение гласит, что множество $\{5\}$ является подмножеством множества $\{1, 3, 5\}$. Множество A является подмножеством множества B, если все элементы A также являются элементами B. Элемент 5 из множества $\{5\}$ также является элементом множества $\{1, 3, 5\}$. Следовательно, утверждение верно.

5) $\emptyset \subset \{1, 3, 5\}$;

Знак $\emptyset$ обозначает пустое множество. Пустое множество является подмножеством любого множества. Следовательно, утверждение верно.

6) $\{\emptyset\} \in \{1, 3, 5\}$?

Утверждение гласит, что множество, содержащее пустое множество, является элементом множества $\{1, 3, 5\}$. Элементами множества $\{1, 3, 5\}$ являются числа 1, 3 и 5. Множество $\{\emptyset\}$ не является одним из этих чисел. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: верными являются утверждения 1, 4, 5.

2. Какие из следующих утверждений верны:

Проанализируем каждое утверждение.

1) $\{3\} \cap \{3, 9\} = \{3, 9\}$;

Знак $\cap$ обозначает операцию пересечения множеств. Результатом пересечения является новое множество, содержащее только общие элементы исходных множеств. Общим элементом для $\{3\}$ и $\{3, 9\}$ является только число 3. Таким образом, $\{3\} \cap \{3, 9\} = \{3\}$. Утверждение неверно.

2) $\{3\} \cap \{3, 9\} = \{3\}$;

Как было показано в предыдущем пункте, пересечением множеств $\{3\}$ и $\{3, 9\}$ является множество $\{3\}$. Следовательно, утверждение верно.

3) $\{3\} \cup \{3, 9\} = \{9\}$;

Знак $\cup$ обозначает операцию объединения множеств. Результатом объединения является новое множество, содержащее все элементы из исходных множеств без повторений. Объединение $\{3\}$ и $\{3, 9\}$ содержит элементы 3 и 9. Таким образом, $\{3\} \cup \{3, 9\} = \{3, 9\}$. Утверждение неверно.

4) $\{3\} \cup \{3, 9\} = \{3, 9\}$?

Как было показано в предыдущем пункте, объединением множеств $\{3\}$ и $\{3, 9\}$ является множество $\{3, 9\}$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верными являются утверждения 2, 4.

3. Даны множества $A = \{x | x^2 - 4 = 0\}$ и $B = \{x | (x - 2)(x + 3) = 0\}$. Найдите:

Сначала определим элементы множеств A и B.

Для множества A: решим уравнение $x^2 - 4 = 0$.
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$
Таким образом, $A = \{-2, 2\}$.

Для множества B: решим уравнение $(x - 2)(x + 3) = 0$.
$x - 2 = 0$ или $x + 3 = 0$
$x_1 = 2$, $x_2 = -3$
Таким образом, $B = \{-3, 2\}$.

Теперь выполним операции над множествами.

1) $A \cap B$

Пересечение множеств A и B — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат и A, и B.
$A = \{-2, 2\}$, $B = \{-3, 2\}$.
Общий элемент — 2.
$A \cap B = \{2\}$.
Ответ: $A \cap B = \{2\}$.

2) $A \cup B$

Объединение множеств A и B — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат A или B.
$A = \{-2, 2\}$, $B = \{-3, 2\}$.
$A \cup B = \{-3, -2, 2\}$.
Ответ: $A \cup B = \{-3, -2, 2\}$.

3) $A \setminus B$

Разность множеств A и B — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат A, но не принадлежат B.
$A = \{-2, 2\}$, $B = \{-3, 2\}$.
Элемент 2 из A принадлежит B, поэтому мы его исключаем. Элемент -2 из A не принадлежит B, поэтому он остается.
$A \setminus B = \{-2\}$.
Ответ: $A \setminus B = \{-2\}$.

4) $B \setminus A$

Разность множеств B и A — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат B, но не принадлежат A.
$B = \{-3, 2\}$, $A = \{-2, 2\}$.
Элемент 2 из B принадлежит A, поэтому мы его исключаем. Элемент -3 из B не принадлежит A, поэтому он остается.
$B \setminus A = \{-3\}$.
Ответ: $B \setminus A = \{-3\}$.

4. На диаграмме Эйлера (рис. 1) изображены множества A, B и C. Заштрихуйте множество:

1) $(A \cap C) \cup B$

Это выражение означает объединение двух множеств: результата пересечения A и C, и множества B. Таким образом, нужно заштриховать всю область, принадлежащую множеству B, а также добавить к ней область, которая одновременно принадлежит и A, и C.
Заштрихованная область показана на рисунке:

Ответ: Заштрихована вся область множества B и область пересечения множеств A и C.

2) $(A \cup B) \setminus C$

Это выражение означает разность двух множеств: объединения A и B, и множества C. Нужно взять всю область, принадлежащую A или B, и исключить из нее ту часть, которая также принадлежит C.
Заштрихованная область показана на рисунке:

Ответ: Заштрихована область, принадлежащая множествам A или B, но не принадлежащая множеству C.

3) $(B \setminus C) \cap A$

Это выражение можно прочитать как пересечение множества A с результатом разности множеств B и C. Сначала находим область, принадлежащую B, но не C ($B \setminus C$). Затем из этой области выбираем ту часть, которая также принадлежит A. В результате будет заштрихована область, принадлежащая одновременно A и B, но не C.
Заштрихованная область показана на рисунке:

Ответ: Заштрихована область, принадлежащая одновременно множествам A и B, но не принадлежащая множеству C.