Номер 4, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 4

Предикаты. Операции над предикатами.

Виды теорем

1. На множестве всех упорядоченных пар $(x; y)$ действительных чисел задан предикат $A(x; y) = \{x^2 + (y - 1)^2 = 0\}$. Укажите область истинности этого предиката.

2. На множестве $R$ заданы предикаты $A(x) = \{x^2 - 2x = 0\}$ и $B(x) = \{x^2 - 4 = 0\}$. Укажите область истинности предиката:

1) $A(x) \land B(x)$;

2) $A(x) \lor B(x)$;

3) $A(x) \Rightarrow B(x)$;

4) $A(x) \Leftrightarrow B(x)$.

3. Вместо $\ast$ поставьте один из кванторов $\forall$ или $\exists$, чтобы образовалось истинное высказывание:

1) $(\ast x \in R)(2x + 3 < 0)$;

2) $(\ast x \in R)(x^2 - 2x + 3 \ge 2)$.

4. Рассмотрим теорему: если в параллелограмме один из углов равен $90^\circ$, то этот параллелограмм является прямоугольником. Сформулируйте теорему:

1) противоположную данной;

2) обратную противоположной.

1.

На множестве всех упорядоченных пар действительных чисел $(x; y)$ задан предикат $A(x; y) = \{x^2 + (y-1)^2 = 0\}$. Область истинности этого предиката — это множество всех пар $(x; y)$, для которых высказывание $x^2 + (y-1)^2 = 0$ является истинным.

Поскольку $x$ и $y$ — действительные числа, то $x^2 \ge 0$ и $(y-1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, мы имеем систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 = 0 \\ (y-1)^2 = 0 \end{cases} $$ Решая эту систему, получаем: $$ \begin{cases} x = 0 \\ y - 1 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \end{cases} $$ Таким образом, единственной парой чисел, удовлетворяющей условию, является $(0; 1)$.

Ответ: Область истинности предиката $A(x; y)$ есть множество, состоящее из одной пары: $\{(0; 1)\}$.

2.

На множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ заданы предикаты $A(x) = \{x^2 - 2x = 0\}$ и $B(x) = \{x^2 - 4 = 0\}$. Сначала найдем области истинности для каждого предиката в отдельности. Обозначим их $T_A$ и $T_B$.

Для предиката $A(x)$: $x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Область истинности $T_A = \{0, 2\}$.

Для предиката $B(x)$: $x^2 - 4 = 0 \implies (x - 2)(x + 2) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$. Область истинности $T_B = \{-2, 2\}$.

Теперь найдем области истинности для составных предикатов.

1) $A(x) \wedge B(x)$
Конъюнкция $A(x) \wedge B(x)$ истинна тогда и только тогда, когда истинны оба предиката $A(x)$ и $B(x)$. Область истинности конъюнкции является пересечением областей истинности исходных предикатов: $T_{A \wedge B} = T_A \cap T_B$. $T_A \cap T_B = \{0, 2\} \cap \{-2, 2\} = \{2\}$.

Ответ: $\{2\}$.

2) $A(x) \vee B(x)$
Дизъюнкция $A(x) \vee B(x)$ истинна тогда и только тогда, когда истинен хотя бы один из предикатов $A(x)$ или $B(x)$. Область истинности дизъюнкции является объединением областей истинности исходных предикатов: $T_{A \vee B} = T_A \cup T_B$. $T_A \cup T_B = \{0, 2\} \cup \{-2, 2\} = \{-2, 0, 2\}$.

Ответ: $\{-2, 0, 2\}$.

3) $A(x) \Rightarrow B(x)$
Импликация $A(x) \Rightarrow B(x)$ ложна только в одном случае: когда $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. Область истинности импликации можно найти как $(\mathbb{R} \setminus T_A) \cup T_B$. Найдем, когда $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно. Это происходит для $x \in T_A$, но $x \notin T_B$. $T_A \setminus T_B = \{0, 2\} \setminus \{-2, 2\} = \{0\}$. Значит, импликация ложна только при $x = 0$. Следовательно, она истинна для всех остальных действительных чисел.

Ответ: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, или $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) $A(x) \Leftrightarrow B(x)$
Эквиваленция $A(x) \Leftrightarrow B(x)$ истинна тогда и только тогда, когда оба предиката $A(x)$ и $B(x)$ имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны). - Оба истинны на множестве $T_A \cap T_B = \{2\}$. - Оба ложны на множестве $\mathbb{R} \setminus (T_A \cup T_B) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 2\}$. Область истинности эквиваленции — это объединение этих двух множеств: $\{2\} \cup (\mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 2\}) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 0\}$.

Ответ: $\mathbb{R} \setminus \{-2, 0\}$, или $(-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

3.

1) $(*x \in \mathbb{R})(2x + 3 < 0)$
Рассмотрим неравенство $2x + 3 < 0 \implies 2x < -3 \implies x < -1.5$. Это неравенство выполняется не для всех действительных чисел $x$ (например, для $x=0$ оно ложно), но существуют такие $x$, для которых оно истинно (например, $x=-2$). Следовательно, чтобы высказывание было истинным, нужно использовать квантор существования $\exists$.

Ответ: $\exists$.

2) $(*x \in \mathbb{R})(x^2 - 2x + 3 \ge 2)$
Рассмотрим неравенство $x^2 - 2x + 3 \ge 2 \implies x^2 - 2x + 1 \ge 0 \implies (x-1)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство $(x-1)^2 \ge 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, чтобы высказывание было истинным, нужно использовать квантор всеобщности $\forall$.

Ответ: $\forall$.

4.

Исходная теорема: "если в параллелограмме один из углов равен 90°, то этот параллелограмм является прямоугольником". Обозначим высказывания: $P$: "в параллелограмме один из углов равен 90°". $Q$: "этот параллелограмм является прямоугольником". Прямая теорема имеет вид $P \Rightarrow Q$.

1) противоположную данной;
Противоположная теорема (инверсия) имеет вид $\neg P \Rightarrow \neg Q$. $\neg P$: "в параллелограмме ни один угол не равен 90°". $\neg Q$: "этот параллелограмм не является прямоугольником". Формулировка: "Если в параллелограмме ни один угол не равен 90°, то этот параллелограмм не является прямоугольником".

Ответ: Если в параллелограмме ни один угол не равен 90°, то этот параллелограмм не является прямоугольником.

2) обратную противоположной.
Теорема, обратная противоположной (контрапозиция), имеет вид $\neg Q \Rightarrow \neg P$. $\neg Q$: "параллелограмм не является прямоугольником". $\neg P$: "ни один из его углов не равен 90°". Формулировка: "Если параллелограмм не является прямоугольником, то ни один из его углов не равен 90°".

Ответ: Если параллелограмм не является прямоугольником, то ни один из его углов не равен 90°.