Номер 10, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Степенная функция с целым показателем

1. Дана функция $f(x) = x^{-32}$. Сравните:

1) $f(7,2)$ и $f(6,5)$;

2) $f(-1,5)$ и $f(-1,8)$;

3) $f(42)$ и $f(-42)$;

4) $f(-10)$ и $f(6)$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{x} - 1)^0$;

2) $y = (x^{-2})^{-2}$.

3. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $ \begin{cases} y = -x^{-5}, \\ y = 3 - x; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = x^{-4}, \\ y = \sqrt{x - 3}. \end{cases} $

4. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-12) < f(-16)$;

2) $f(-12) < f(16)$;

3) $f(-12) > f(-16)$;

4) $f(16) < f(12)?$

1.

Дана функция $f(x) = x^{-32}$. Это степенная функция с целым отрицательным чётным показателем. Запишем её в виде $f(x) = \frac{1}{x^{32}}$.
Свойства этой функции:
1. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.
2. Функция является чётной, так как $f(-x) = (-x)^{-32} = \frac{1}{(-x)^{32}} = \frac{1}{x^{32}} = f(x)$.
3. Функция убывает на промежутке $(0; \infty)$ и возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.

1) $f(7,2)$ и $f(6,5)$
Аргументы $7,2$ и $6,5$ принадлежат промежутку $(0; \infty)$, на котором функция убывает. Поскольку $7,2 > 6,5$, то $f(7,2) < f(6,5)$.
Ответ: $f(7,2) < f(6,5)$.

2) $f(-1,5)$ и $f(-1,8)$
Аргументы $-1,5$ и $-1,8$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция возрастает. Поскольку $-1,8 < -1,5$, то $f(-1,8) < f(-1,5)$.
Ответ: $f(-1,8) < f(-1,5)$.

3) $f(42)$ и $f(-42)$
Так как функция $f(x) = x^{-32}$ является чётной, то по определению $f(x) = f(-x)$ для любого $x$ из области определения. Следовательно, $f(42) = f(-42)$.
Ответ: $f(42) = f(-42)$.

4) $f(-10)$ и $f(6)$
Используем свойство чётности функции: $f(-10) = f(10)$. Теперь задача сводится к сравнению $f(10)$ и $f(6)$. Аргументы $10$ и $6$ принадлежат промежутку $(0; \infty)$, на котором функция убывает. Поскольку $10 > 6$, то $f(10) < f(6)$. Следовательно, $f(-10) < f(6)$.
Ответ: $f(-10) < f(6)$.

2.

1) $y = (\sqrt{x} - 1)^0$
Выражение $a^0$ равно $1$ при условии, что основание $a \neq 0$. В данном случае основание $a = \sqrt{x} - 1$.
Найдём область определения функции:
Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Во-вторых, основание степени не должно быть равно нулю: $\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$.
Таким образом, область определения функции: $x \in [0, 1) \cup (1, \infty)$.
Для всех $x$ из области определения $y=1$.
Графиком функции является луч с началом в точке $(0, 1)$, идущий параллельно оси Ох, с "выколотой" точкой $(1, 1)$.
Ответ: График — горизонтальная линия $y=1$ при $x \ge 0$, с выколотой точкой $(1, 1)$.

2) $y = (x^{-2})^{-2}$
Упростим формулу, используя свойство степени $(a^m)^n=a^{mn}$:
$y = x^{(-2) \cdot (-2)} = x^4$.
Теперь найдём область определения исходной функции. Внутренняя функция $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ определена при $x \neq 0$. Так как $\frac{1}{x^2}$ никогда не равно нулю, то внешняя функция $(\cdot)^{-2}$ определена для всех $x$, для которых определена внутренняя.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.
Графиком является парабола $y=x^4$ с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.
Ответ: График — функция $y=x^4$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

3.

1) $\begin{cases} y = -x^{-5} \\ y = 3 - x \end{cases}$
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций $y = -x^{-5}$ и $y = 3 - x$.
График функции $y = -x^{-5} = -\frac{1}{x^5}$ — кривая, расположенная во втором и четвертом координатных квадрантах, симметричная относительно начала координат. Функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.
График функции $y = 3 - x$ — прямая, убывающая на всей числовой оси, пересекающая оси в точках $(0, 3)$ и $(3, 0)$.
Рассмотрим промежуток $(-\infty, 0)$. Функция $y = -x^{-5}$ возрастает, а $y = 3 - x$ убывает. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. При $x \to 0^-$ график $y = -x^{-5}$ уходит в $+\infty$, а $y=3-x$ стремится к 3. При $x \to -\infty$ график $y = -x^{-5}$ стремится к 0, а $y=3-x$ уходит в $+\infty$. Следовательно, на этом промежутке есть одна точка пересечения.
Рассмотрим промежуток $(0, \infty)$. Функция $y = -x^{-5}$ возрастает, а $y = 3 - x$ убывает. Аналогично, здесь также не более одной точки пересечения. При $x \to 0^+$ график $y = -x^{-5}$ уходит в $-\infty$, а $y=3-x$ стремится к 3. При $x \to +\infty$ график $y = -x^{-5}$ стремится к 0, а $y=3-x$ уходит в $-\infty$. Следовательно, и на этом промежутке есть одна точка пересечения.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

2) $\begin{cases} y = x^{-4} \\ y = \sqrt{x-3} \end{cases}$
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций $y = x^{-4}$ и $y = \sqrt{x-3}$.
Область определения функции $y=\sqrt{x-3}$ — это $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Значит, решения системы могут существовать только при $x \ge 3$.
На промежутке $[3, \infty)$:
- Функция $y = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$ является положительной и убывающей.
- Функция $y = \sqrt{x-3}$ является неотрицательной и возрастающей.
Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Проверим значения функций на концах промежутка или в некоторых точках.
При $x=3$: $y = 3^{-4} = \frac{1}{81}$, а $y = \sqrt{3-3} = 0$. Здесь график $y=x^{-4}$ выше.
При $x=4$: $y = 4^{-4} = \frac{1}{256}$, а $y = \sqrt{4-3} = 1$. Здесь график $y=\sqrt{x-3}$ выше.
Поскольку на отрезке $[3, 4]$ одна непрерывная функция перешла из положения "выше" в положение "ниже" относительно другой непрерывной функции, они обязательно пересеклись на этом отрезке. Так как одна функция убывает, а другая возрастает, точка пересечения единственная.
Ответ: 1 решение.

4.

1) $f(-12) < f(-16)$
Дана функция $f(x)=x^n$. Аргументы $-12$ и $-16$ отрицательны, причём $-16 < -12$.
Если $n$ — нечётное, то функция $f(x)=x^n$ возрастает на всей числовой оси. Тогда из $-16 < -12$ следовало бы $f(-16) < f(-12)$, что противоречит условию.
Если $n$ — чётное, то функция $f(x)=x^n$ на промежутке $(-\infty, 0)$ убывает. Тогда из $-16 < -12$ следует $f(-16) > f(-12)$, что эквивалентно $f(-12) < f(-16)$. Это совпадает с условием.
Следовательно, $n$ — чётное число.
Ответ: Чётным.

2) $f(-12) < f(16)$
Рассмотрим два случая.
Если $n$ — чётное, то $f(-12) = (-12)^n = 12^n$. Неравенство принимает вид $12^n < 16^n$. Так как $12 < 16$ и $n$ — натуральное число, это неравенство верно.
Если $n$ — нечётное, то $f(-12) = (-12)^n = -12^n$. Неравенство принимает вид $-12^n < 16^n$. Так как $12^n > 0$ и $16^n > 0$, слева стоит отрицательное число, а справа — положительное. Неравенство верно.
Условие выполняется для любого натурального числа $n$, как чётного, так и нечётного. Поэтому определить чётность $n$ невозможно.
Ответ: Определить невозможно.

3) $f(-12) > f(-16)$
Дана функция $f(x)=x^n$. Аргументы $-12$ и $-16$ отрицательны, причём $-16 < -12$.
Если $n$ — нечётное, то функция $f(x)=x^n$ возрастает. Тогда из $-16 < -12$ следует $f(-16) < f(-12)$, что эквивалентно $f(-12) > f(-16)$. Это совпадает с условием.
Если $n$ — чётное, то функция $f(x)=x^n$ на промежутке $(-\infty, 0)$ убывает. Тогда из $-16 < -12$ следует $f(-16) > f(-12)$, что противоречит условию.
Следовательно, $n$ — нечётное число.
Ответ: Нечётным.

4) $f(16) < f(12)$
Аргументы $16$ и $12$ положительны. Для любого натурального $n$ функция $f(x)=x^n$ на промежутке $(0, \infty)$ является возрастающей.
Поскольку $12 < 16$, для любого натурального $n$ должно выполняться неравенство $f(12) < f(16)$.
Данное в условии неравенство $f(16) < f(12)$ противоречит свойству возрастания функции. Следовательно, не существует такого натурального числа $n$, при котором это неравенство было бы верным.
Ответ: Такого натурального числа $n$ не существует.