Номер 12, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Свойства корня n-й степени

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}$;

2) $\sqrt[8]{3^5} \cdot 5^2 \cdot \sqrt[8]{3^3} \cdot 5^6$;

3) $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}}$.

2. Упростите выражение:

1) $5\sqrt[4]{m}$;

2) $\sqrt[24]{a^{32}}$;

3) $\sqrt[10]{x^{14}}$;

4) $\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}}$;

5) $\sqrt[8]{c^5\sqrt[6]{c^3}}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{54}$;

2) $\sqrt[4]{405}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $-2\sqrt[3]{5}$;

2) $-10\sqrt[4]{0.312}$.

5. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[6]{a}+1}$;

2) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt[4]{a}}{a-\sqrt[4]{a^3}}$;

3) $\frac{x+8}{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4}$.

1.

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}$ воспользуемся свойством произведения корней n-й степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \cdot 2} = \sqrt[5]{32}$

Поскольку $2^5 = 32$, получаем:

$\sqrt[5]{32} = 2$

Ответ: $2$

2) Для выражения $\sqrt[8]{3^5 \cdot 5^2} \cdot \sqrt[8]{3^3 \cdot 5^6}$ применяем то же свойство, а затем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$\sqrt[8]{3^5 \cdot 5^2} \cdot \sqrt[8]{3^3 \cdot 5^6} = \sqrt[8]{(3^5 \cdot 5^2) \cdot (3^3 \cdot 5^6)} = \sqrt[8]{3^{5+3} \cdot 5^{2+6}} = \sqrt[8]{3^8 \cdot 5^8}$

Используя свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:

$\sqrt[8]{3^8} \cdot \sqrt[8]{5^8} = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: $15$

3) Для выражения $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}}$ используем свойство частного корней n-й степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}} = \sqrt[5]{\frac{96}{729}}$

Разложим числитель и знаменатель на множители: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$ и $729 = 3^6$.

$\sqrt[5]{\frac{2^5 \cdot 3}{3^6}} = \sqrt[5]{\frac{2^5}{3^5}} = \sqrt[5]{(\frac{2}{3})^5} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

2.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}}$ используем свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$.

$\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[5 \cdot 4]{m} = \sqrt[20]{m}$

Ответ: $\sqrt[20]{m}$

2) Упростим $\sqrt[24]{a^{32}}$, сократив показатель корня и показатель степени на их наибольший общий делитель, который равен 8.

$\sqrt[24]{a^{32}} = \sqrt[3 \cdot 8]{a^{4 \cdot 8}} = \sqrt[3]{a^4}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = a\sqrt[3]{a}$

Ответ: $a\sqrt[3]{a}$

3) Упростим $\sqrt[10]{x^{14}}$, сократив показатель корня и показатель степени на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$\sqrt[10]{x^{14}} = \sqrt[5 \cdot 2]{x^{7 \cdot 2}} = \sqrt[5]{x^7}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[5]{x^7} = \sqrt[5]{x^5 \cdot x^2} = x\sqrt[5]{x^2}$

Ответ: $x\sqrt[5]{x^2}$

4) Упростим $\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}}$. Сначала внесем множитель 2 под внутренний корень, возведя его в степень 6.

$\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{2^6 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{64 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{192}}$

Затем используем свойство корня из корня:

$\sqrt[4 \cdot 6]{192} = \sqrt[24]{192}$

Ответ: $\sqrt[24]{192}$

5) Упростим $\sqrt[8]{c^5\sqrt[5]{c^3}}$. Внесем $c^5$ под внутренний корень.

$\sqrt[8]{c^5\sqrt[5]{c^3}} = \sqrt[8]{\sqrt[5]{(c^5)^5 \cdot c^3}} = \sqrt[8]{\sqrt[5]{c^{25} \cdot c^3}} = \sqrt[8]{\sqrt[5]{c^{28}}}$

Перемножим показатели корней:

$\sqrt[8 \cdot 5]{c^{28}} = \sqrt[40]{c^{28}}$

Сократим показатель корня и показатель степени на 4:

$\sqrt[10 \cdot 4]{c^{7 \cdot 4}} = \sqrt[10]{c^7}$

Ответ: $\sqrt[10]{c^7}$

3.

1) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[3]{54}$. Для этого разложим 54 на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа.

$54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

2) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{405}$. Разложим 405 на множители так, чтобы один из них был четвертой степенью целого числа.

$405 = 81 \cdot 5 = 3^4 \cdot 5$

$\sqrt[4]{405} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 3\sqrt[4]{5}$

Ответ: $3\sqrt[4]{5}$

4.

1) Внесем множитель под знак корня в выражении $-2\sqrt[3]{5}$. Так как степень корня нечетная (3), можно внести отрицательный множитель.

$-2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{(-2)^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{-8 \cdot 5} = \sqrt[3]{-40}$

Ответ: $\sqrt[3]{-40}$

2) Внесем множитель под знак корня в выражении $-10\sqrt[4]{0.312}$. Так как степень корня четная (4), под корень можно вносить только положительный множитель. Знак минус остается перед корнем.

$-10\sqrt[4]{0.312} = -\sqrt[4]{10^4 \cdot 0.312} = -\sqrt[4]{10000 \cdot 0.312} = -\sqrt[4]{3120}$

Ответ: $-\sqrt[4]{3120}$

5.

1) Сократим дробь $\frac{\sqrt[3]{a} - 1}{\sqrt[6]{a} + 1}$. Сделаем замену $y = \sqrt[6]{a}$, тогда $y^2 = (\sqrt[6]{a})^2 = \sqrt[3]{a}$.

$\frac{y^2 - 1}{y + 1}$

Применим формулу разности квадратов $y^2-1 = (y-1)(y+1)$:

$\frac{(y-1)(y+1)}{y+1} = y-1$

Сделаем обратную замену:

$y-1 = \sqrt[6]{a} - 1$

Ответ: $\sqrt[6]{a} - 1$

2) Сократим дробь $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[4]{a}}{a - \sqrt[4]{a^3}}$. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

Числитель: $\sqrt{a} - \sqrt[4]{a} = (\sqrt[4]{a})^2 - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - 1)$

Знаменатель: $a - \sqrt[4]{a^3} = (\sqrt[4]{a})^4 - (\sqrt[4]{a})^3 = (\sqrt[4]{a})^3(\sqrt[4]{a} - 1) = \sqrt[4]{a^3}(\sqrt[4]{a} - 1)$

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - 1)}{\sqrt[4]{a^3}(\sqrt[4]{a} - 1)} = \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a^3}} = \sqrt[4]{\frac{a}{a^3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{a^2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{a^2}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}}$

3) Сократим дробь $\frac{x+8}{\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4}$. Числитель $x+8$ можно представить как сумму кубов: $x+8 = (\sqrt[3]{x})^3 + 2^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = \sqrt[3]{x}$ и $b=2$.

$x+8 = (\sqrt[3]{x}+2)((\sqrt[3]{x})^2 - 2\sqrt[3]{x} + 2^2) = (\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{(\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)}{\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)$:

$\sqrt[3]{x}+2$

Ответ: $\sqrt[3]{x}+2$