Страница 9 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Определение корня n-й степени. Функция $y = \sqrt[n]{x}$

1. Вычислите $4(-\sqrt[8]{6})^8 - 0,8\sqrt[4]{10000} + (\frac{1}{3}\sqrt[3]{270})^3$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[11]{-x+1})^{11}$; 2) $y = (\sqrt[6]{x-2})^6$.

3. Решите неравенство:

1) $\sqrt[4]{4x+1} \le 5$; 2) $\sqrt[12]{x^2-8} > \sqrt[12]{7x}$.

4. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $(a-1)\sqrt[8]{x} = 0$; 2) $ax^8 = 6$.

5. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x + \sqrt[10]{x} = y + \sqrt[10]{y}, \\ 5y^2 - x^2 = 4. \end{cases}$

Вычислим значение выражения $4(-\sqrt[8]{6})^8 - 0,8\sqrt[4]{10\;000} + (\frac{1}{3}\sqrt[3]{270})^3$ по частям.

1) Первое слагаемое: $4(-\sqrt[8]{6})^8 = 4 \cdot (\sqrt[8]{6})^8 = 4 \cdot 6 = 24$, так как показатель степени $8$ является четным числом, и для любого $b \ge 0$ и натурального $k$ выполняется $(-\sqrt[2k]{b})^{2k} = b$.

2) Второе слагаемое: $-0,8\sqrt[4]{10\;000} = -0,8\sqrt[4]{10^4} = -0,8 \cdot 10 = -8$.

3) Третье слагаемое: $(\frac{1}{3}\sqrt[3]{270})^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (\sqrt[3]{270})^3 = \frac{1}{27} \cdot 270 = \frac{270}{27} = 10$.

Сложим полученные результаты: $24 - 8 + 10 = 16 + 10 = 26$.

Ответ: 26.

1) $y = (\sqrt[11]{-x+1})^{11}$
Поскольку корень нечетной степени ($11$) определен для любого действительного подкоренного выражения, область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Для нечетного $n$ тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$ справедливо для любого $a \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция тождественно равна $y = -x+1$. Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения найдем две точки, через которые проходит прямая: Если $x=0$, то $y=1$. Точка $(0, 1)$. Если $y=0$, то $-x+1=0$, откуда $x=1$. Точка $(1, 0)$. График — прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

2) $y = (\sqrt[6]{x-2})^6$
Поскольку корень четной степени ($6$) определен только для неотрицательных подкоренных выражений, область определения функции (ОДЗ) задается неравенством: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. На этой области определения ($x-2 \ge 0$) справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для четного $n$. Следовательно, функция имеет вид $y = x-2$ при условии $x \ge 2$. Графиком является луч с началом в точке $(2, 0)$ (при $x=2$, $y=2-2=0$). Найдем еще одну точку для построения луча: Если $x=4$, то $y=4-2=2$. Точка $(4, 2)$. График — луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий через точку $(4, 2)$.

Ответ: 1) График — прямая $y=-x+1$. 2) График — луч $y=x-2$ с началом в точке $(2, 0)$.

1) $\sqrt[4]{4x+1} \le 5$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $4x+1 \ge 0 \implies 4x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{4}$. Поскольку обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, можно возвести их в 4-ю степень, сохранив знак неравенства: $(\sqrt[4]{4x+1})^4 \le 5^4$ $4x+1 \le 625$ $4x \le 624$ $x \le 156$. Пересекая полученное решение с ОДЗ ($x \ge -\frac{1}{4}$), получаем итоговый ответ: $-\frac{1}{4} \le x \le 156$.

2) $\sqrt[12]{x^2-8} > \sqrt[12]{7x}$
Найдем ОДЗ из условия неотрицательности подкоренных выражений: $\begin{cases} x^2-8 \ge 0 \\ 7x \ge 0 \end{cases}$ Из второго неравенства получаем $x \ge 0$. Из первого: $x^2 \ge 8$, что означает $x \le -2\sqrt{2}$ или $x \ge 2\sqrt{2}$. Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 2\sqrt{2}$. На ОДЗ функция $y=\sqrt[12]{t}$ является возрастающей, поэтому неравенство равносильно неравенству для подкоренных выражений: $x^2-8 > 7x$ $x^2 - 7x - 8 > 0$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1=8$, $x_2=-1$. Графиком функции $y=x^2 - 7x - 8$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (8, \infty)$. Найдем пересечение этого множества с ОДЗ ($x \ge 2\sqrt{2}$): Учитывая, что $2\sqrt{2} \approx 2.828$, пересечением будет интервал $(8, \infty)$.

Ответ: 1) $[-\frac{1}{4}, 156]$; 2) $(8, \infty)$.

1) $(a-1)\sqrt[8]{x} = 0$
Уравнение представляет собой произведение, равное нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю. Случай 1: $a-1=0$, т.е. $a=1$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0$, что является верным равенством для любого $x$ из области определения $\sqrt[8]{x}$. ОДЗ: $x \ge 0$. Значит, при $a=1$ решением является любое $x \ge 0$. Случай 2: $a-1 \ne 0$, т.е. $a \ne 1$. В этом случае можно разделить обе части на $a-1$, получив $\sqrt[8]{x} = 0$. Возведя в 8-ю степень, находим $x=0$.

2) $ax^8 = 6$
Рассмотрим различные значения параметра $a$. Случай 1: $a=0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x^8 = 6$, или $0=6$, что неверно. Решений нет. Случай 2: $a \ne 0$. Выразим $x^8$: $x^8 = \frac{6}{a}$. Левая часть уравнения, $x^8$, всегда неотрицательна. Поэтому для существования действительных корней необходимо, чтобы правая часть была также неотрицательна: $\frac{6}{a} \ge 0$. Так как $6>0$, это условие выполняется при $a>0$. а) Если $a < 0$, то $\frac{6}{a} < 0$. Уравнение $x^8 = (\text{отрицательное число})$ не имеет действительных решений. б) Если $a > 0$, то $\frac{6}{a} > 0$. Уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt[8]{\frac{6}{a}}$.

Ответ: 1) если $a=1$, то $x \in [0, +\infty)$; если $a \ne 1$, то $x=0$; 2) если $a \le 0$, корней нет; если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt[8]{\frac{6}{a}}$.

Дана система уравнений $\begin{cases} x + \sqrt[10]{x} = y + \sqrt[10]{y}, \\ 5y^2 - x^2 = 4. \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) системы определяется из-за наличия корней четной степени: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $x + \sqrt[10]{x} = y + \sqrt[10]{y}$. Введем функцию $f(t) = t + \sqrt[10]{t}$, которая определена при $t \ge 0$. Её производная $f'(t) = 1 + \frac{1}{10}t^{-9/10} = 1 + \frac{1}{10\sqrt[10]{t^9}}$. На интервале $(0, \infty)$ производная $f'(t) > 0$, значит, функция $f(t)$ является строго возрастающей на своей области определения $[0, \infty)$. Уравнение $f(x)=f(y)$ для строго монотонной функции возможно только тогда, когда $x=y$.

Таким образом, исходная система равносильна системе: $\begin{cases} x=y, \\ 5y^2 - x^2 = 4. \end{cases}$ при условиях $x \ge 0, y \ge 0$.

Подставим $x=y$ во второе уравнение: $5y^2 - y^2 = 4$ $4y^2 = 4$ $y^2 = 1$ Отсюда $y=1$ или $y=-1$.

Учитывая ОДЗ ($y \ge 0$), выбираем корень $y=1$. Поскольку $x=y$, то $x=1$. Пара $(1, 1)$ удовлетворяет ОДЗ. Проверим решение, подставив его в исходную систему: $\begin{cases} 1 + \sqrt[10]{1} = 1 + \sqrt[10]{1} \implies 1+1=1+1 \implies 2=2 \\ 5(1)^2 - 1^2 = 4 \implies 5-1=4 \implies 4=4 \end{cases}$ Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(1, 1)$.

Самостоятельная работа № 12

Свойства корня n-й степени

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}$;

2) $\sqrt[8]{3^5} \cdot 5^2 \cdot \sqrt[8]{3^3} \cdot 5^6$;

3) $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}}$.

2. Упростите выражение:

1) $5\sqrt[4]{m}$;

2) $\sqrt[24]{a^{32}}$;

3) $\sqrt[10]{x^{14}}$;

4) $\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}}$;

5) $\sqrt[8]{c^5\sqrt[6]{c^3}}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{54}$;

2) $\sqrt[4]{405}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $-2\sqrt[3]{5}$;

2) $-10\sqrt[4]{0.312}$.

5. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[6]{a}+1}$;

2) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt[4]{a}}{a-\sqrt[4]{a^3}}$;

3) $\frac{x+8}{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4}$.

1.

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}$ воспользуемся свойством произведения корней n-й степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \cdot 2} = \sqrt[5]{32}$

Поскольку $2^5 = 32$, получаем:

$\sqrt[5]{32} = 2$

Ответ: $2$

2) Для выражения $\sqrt[8]{3^5 \cdot 5^2} \cdot \sqrt[8]{3^3 \cdot 5^6}$ применяем то же свойство, а затем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$\sqrt[8]{3^5 \cdot 5^2} \cdot \sqrt[8]{3^3 \cdot 5^6} = \sqrt[8]{(3^5 \cdot 5^2) \cdot (3^3 \cdot 5^6)} = \sqrt[8]{3^{5+3} \cdot 5^{2+6}} = \sqrt[8]{3^8 \cdot 5^8}$

Используя свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:

$\sqrt[8]{3^8} \cdot \sqrt[8]{5^8} = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: $15$

3) Для выражения $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}}$ используем свойство частного корней n-й степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}} = \sqrt[5]{\frac{96}{729}}$

Разложим числитель и знаменатель на множители: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$ и $729 = 3^6$.

$\sqrt[5]{\frac{2^5 \cdot 3}{3^6}} = \sqrt[5]{\frac{2^5}{3^5}} = \sqrt[5]{(\frac{2}{3})^5} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

2.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}}$ используем свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$.

$\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[5 \cdot 4]{m} = \sqrt[20]{m}$

Ответ: $\sqrt[20]{m}$

2) Упростим $\sqrt[24]{a^{32}}$, сократив показатель корня и показатель степени на их наибольший общий делитель, который равен 8.

$\sqrt[24]{a^{32}} = \sqrt[3 \cdot 8]{a^{4 \cdot 8}} = \sqrt[3]{a^4}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = a\sqrt[3]{a}$

Ответ: $a\sqrt[3]{a}$

3) Упростим $\sqrt[10]{x^{14}}$, сократив показатель корня и показатель степени на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$\sqrt[10]{x^{14}} = \sqrt[5 \cdot 2]{x^{7 \cdot 2}} = \sqrt[5]{x^7}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[5]{x^7} = \sqrt[5]{x^5 \cdot x^2} = x\sqrt[5]{x^2}$

Ответ: $x\sqrt[5]{x^2}$

4) Упростим $\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}}$. Сначала внесем множитель 2 под внутренний корень, возведя его в степень 6.

$\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{2^6 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{64 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{192}}$

Затем используем свойство корня из корня:

$\sqrt[4 \cdot 6]{192} = \sqrt[24]{192}$

Ответ: $\sqrt[24]{192}$

5) Упростим $\sqrt[8]{c^5\sqrt[5]{c^3}}$. Внесем $c^5$ под внутренний корень.

$\sqrt[8]{c^5\sqrt[5]{c^3}} = \sqrt[8]{\sqrt[5]{(c^5)^5 \cdot c^3}} = \sqrt[8]{\sqrt[5]{c^{25} \cdot c^3}} = \sqrt[8]{\sqrt[5]{c^{28}}}$

Перемножим показатели корней:

$\sqrt[8 \cdot 5]{c^{28}} = \sqrt[40]{c^{28}}$

Сократим показатель корня и показатель степени на 4:

$\sqrt[10 \cdot 4]{c^{7 \cdot 4}} = \sqrt[10]{c^7}$

Ответ: $\sqrt[10]{c^7}$

3.

1) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[3]{54}$. Для этого разложим 54 на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа.

$54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

2) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{405}$. Разложим 405 на множители так, чтобы один из них был четвертой степенью целого числа.

$405 = 81 \cdot 5 = 3^4 \cdot 5$

$\sqrt[4]{405} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 3\sqrt[4]{5}$

Ответ: $3\sqrt[4]{5}$

4.

1) Внесем множитель под знак корня в выражении $-2\sqrt[3]{5}$. Так как степень корня нечетная (3), можно внести отрицательный множитель.

$-2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{(-2)^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{-8 \cdot 5} = \sqrt[3]{-40}$

Ответ: $\sqrt[3]{-40}$

2) Внесем множитель под знак корня в выражении $-10\sqrt[4]{0.312}$. Так как степень корня четная (4), под корень можно вносить только положительный множитель. Знак минус остается перед корнем.

$-10\sqrt[4]{0.312} = -\sqrt[4]{10^4 \cdot 0.312} = -\sqrt[4]{10000 \cdot 0.312} = -\sqrt[4]{3120}$

Ответ: $-\sqrt[4]{3120}$

5.

1) Сократим дробь $\frac{\sqrt[3]{a} - 1}{\sqrt[6]{a} + 1}$. Сделаем замену $y = \sqrt[6]{a}$, тогда $y^2 = (\sqrt[6]{a})^2 = \sqrt[3]{a}$.

$\frac{y^2 - 1}{y + 1}$

Применим формулу разности квадратов $y^2-1 = (y-1)(y+1)$:

$\frac{(y-1)(y+1)}{y+1} = y-1$

Сделаем обратную замену:

$y-1 = \sqrt[6]{a} - 1$

Ответ: $\sqrt[6]{a} - 1$

2) Сократим дробь $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[4]{a}}{a - \sqrt[4]{a^3}}$. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

Числитель: $\sqrt{a} - \sqrt[4]{a} = (\sqrt[4]{a})^2 - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - 1)$

Знаменатель: $a - \sqrt[4]{a^3} = (\sqrt[4]{a})^4 - (\sqrt[4]{a})^3 = (\sqrt[4]{a})^3(\sqrt[4]{a} - 1) = \sqrt[4]{a^3}(\sqrt[4]{a} - 1)$

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - 1)}{\sqrt[4]{a^3}(\sqrt[4]{a} - 1)} = \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a^3}} = \sqrt[4]{\frac{a}{a^3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{a^2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{a^2}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}}$

3) Сократим дробь $\frac{x+8}{\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4}$. Числитель $x+8$ можно представить как сумму кубов: $x+8 = (\sqrt[3]{x})^3 + 2^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = \sqrt[3]{x}$ и $b=2$.

$x+8 = (\sqrt[3]{x}+2)((\sqrt[3]{x})^2 - 2\sqrt[3]{x} + 2^2) = (\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{(\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)}{\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)$:

$\sqrt[3]{x}+2$

Ответ: $\sqrt[3]{x}+2$