Страница 10 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Свойства корня n-й степени

1. Сравните:

1) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[3]{5}$;

2) $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[6]{15}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[6]{(x+2)^6}$;

2) $y = \sqrt[8]{(x-3)^5} \cdot \sqrt[8]{(x-3)^3}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^9}$;

2) $\sqrt[3]{-a^{10}}$;

3) $\sqrt[4]{x^{10}y^5}$;

4) $\sqrt[4]{-16x^7}$;

5) $\sqrt[4]{a^6b^5}$, если $a \le 0$;

6) $\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}}$, если $b \le 0$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $3y\sqrt[5]{2y^2}$;

2) $m\sqrt{-m^3}$;

3) $m^4\sqrt[4]{m^5}$;

4) $c\sqrt[8]{c^6}$, если $c \le 0$;

5) $x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}}$, если $x < 0, y > 0$.

5. Упростите выражение

$\left( \frac{\sqrt[4]{a}+4}{\sqrt[4]{a}-4} - \frac{\sqrt[4]{a}-4}{\sqrt[4]{a}+4} \right) \cdot \frac{16-\sqrt{a}}{32\sqrt[4]{a^3}}$.

1. Сравните:

1) Чтобы сравнить $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[3]{5}$, приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 3 равно 12.

$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$

$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

Так как $343 < 625$, то $\sqrt[12]{343} < \sqrt[12]{625}$, следовательно, $\sqrt[4]{7} < \sqrt[3]{5}$.

Ответ: $\sqrt[4]{7} < \sqrt[3]{5}$.

2) Чтобы сравнить $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[6]{15}$, приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 6 равно 12.

$\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot 3]{6^3} = \sqrt[12]{216}$

$\sqrt[6]{15} = \sqrt[6 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[12]{225}$

Так как $216 < 225$, то $\sqrt[12]{216} < \sqrt[12]{225}$, следовательно, $\sqrt[4]{6} < \sqrt[6]{15}$.

Ответ: $\sqrt[4]{6} < \sqrt[6]{15}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[6]{(x+2)^6}$

Используя свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, упростим функцию:

$y = |x+2|$

График этой функции — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы влево по оси Ox. Вершина графика находится в точке $(-2, 0)$. Для $x \ge -2$ график совпадает с прямой $y = x+2$, а для $x < -2$ — с прямой $y = -x-2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[6]{(x+2)^6}$ является графиком функции $y = |x+2|$.

2) $y = \sqrt[8]{(x-3)^5} \cdot \sqrt[8]{(x-3)^3}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$(x-3)^5 \ge 0 \implies x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Область определения функции: $x \ge 3$.

Упростим выражение:

$y = \sqrt[8]{(x-3)^5 \cdot (x-3)^3} = \sqrt[8]{(x-3)^8}$

Так как для $x \ge 3$ выражение $x-3$ неотрицательно, то $\sqrt[8]{(x-3)^8} = x-3$.

Таким образом, $y = x-3$ при $x \ge 3$. График этой функции — луч, выходящий из точки $(3, 0)$.

Ответ: График функции является лучом $y = x-3$ с началом в точке $(3, 0)$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^9} = \sqrt[4]{x^8 \cdot x} = \sqrt[4]{(x^2)^4 \cdot x} = |x^2|\sqrt[4]{x} = x^2\sqrt[4]{x}$.

Ответ: $x^2\sqrt[4]{x}$.

2) $\sqrt[3]{-a^{10}} = \sqrt[3]{-1 \cdot a^9 \cdot a} = \sqrt[3]{(-1) \cdot (a^3)^3 \cdot a} = -a^3\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $-a^3\sqrt[3]{a}$.

3) $\sqrt[4]{x^{10}y^5}$. Область определения $x^{10}y^5 \ge 0$, так как $x^{10} \ge 0$ для любого $x$, то $y^5 \ge 0 \implies y \ge 0$.

$\sqrt[4]{x^{10}y^5} = \sqrt[4]{x^8 \cdot x^2 \cdot y^4 \cdot y} = \sqrt[4]{(x^2)^4 \cdot y^4 \cdot x^2y} = |x^2||y|\sqrt[4]{x^2y} = x^2y\sqrt[4]{x^2y}$ (так как $y \ge 0$).

Ответ: $x^2y\sqrt[4]{x^2y}$.

4) $\sqrt[4]{-16x^7}$. Область определения $-16x^7 \ge 0 \implies x^7 \le 0 \implies x \le 0$.

$\sqrt[4]{-16x^7} = \sqrt[4]{16 \cdot (-x^7)} = \sqrt[4]{2^4 \cdot x^4 \cdot (-x^3)} = |2x|\sqrt[4]{-x^3}$.

Так как $x \le 0$, то $|2x| = -2x$.

Следовательно, $\sqrt[4]{-16x^7} = -2x\sqrt[4]{-x^3}$.

Ответ: $-2x\sqrt[4]{-x^3}$.

5) $\sqrt[4]{a^6b^5}$, если $a \le 0$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^6b^5 \ge 0$. Так как $a^6 \ge 0$, это означает $b^5 \ge 0$, то есть $b \ge 0$.

$\sqrt[4]{a^6b^5} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^2 \cdot b^4 \cdot b} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[4]{a^2b}$.

По условию $a \le 0$, значит $|a| = -a$. Так как $b \ge 0$, то $|b| = b$.

Получаем: $-ab\sqrt[4]{a^2b}$.

Ответ: $-ab\sqrt[4]{a^2b}$.

6) $\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}}$, если $b \le 0$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^{17}b^{26} \ge 0$. Так как $b^{26} \ge 0$, то $-a^{17} \ge 0$, что означает $a^{17} \le 0$, то есть $a \le 0$.

$\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}} = \sqrt[8]{a^{16} \cdot (-a) \cdot b^{24} \cdot b^2} = |a^2| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[8]{-ab^2}$.

$|a^2| = a^2$.

По условию $b \le 0$, значит $b^3 \le 0$, и $|b^3| = -b^3$.

Получаем: $a^2(-b^3)\sqrt[8]{-ab^2} = -a^2b^3\sqrt[8]{-ab^2}$.

Ответ: $-a^2b^3\sqrt[8]{-ab^2}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $3y\sqrt[5]{2y^2} = \sqrt[5]{(3y)^5 \cdot 2y^2} = \sqrt[5]{243y^5 \cdot 2y^2} = \sqrt[5]{486y^7}$.

Ответ: $\sqrt[5]{486y^7}$.

2) $m\sqrt{-m^3}$. Выражение определено при $-m^3 \ge 0$, то есть $m^3 \le 0$, откуда $m \le 0$.

Так как $m \le 0$, то вносимый под корень четной степени множитель $m$ является неположительным. Поэтому перед корнем ставим знак минус, а под корень вносим $-m$ (которое будет неотрицательным).

$m\sqrt{-m^3} = -(-m)\sqrt{-m^3} = -\sqrt{(-m)^2(-m^3)} = -\sqrt{m^2(-m^3)} = -\sqrt{-m^5}$.

Ответ: $-\sqrt{-m^5}$.

3) $m\sqrt[4]{m^5}$. Выражение определено при $m^5 \ge 0$, то есть $m \ge 0$.

Так как $m \ge 0$, множитель $m$ неотрицателен, и его можно вносить под корень четной степени.

$m\sqrt[4]{m^5} = \sqrt[4]{m^4 \cdot m^5} = \sqrt[4]{m^9}$.

Ответ: $\sqrt[4]{m^9}$.

4) $c\sqrt[8]{c^6}$, если $c \le 0$.

Так как $c \le 0$, вносимый множитель $c$ неположителен. Ставим минус перед корнем, а под корень вносим $-c$.

$c\sqrt[8]{c^6} = -(-c)\sqrt[8]{c^6} = -\sqrt[8]{(-c)^8 \cdot c^6} = -\sqrt[8]{c^8 \cdot c^6} = -\sqrt[8]{c^{14}}$.

Ответ: $-\sqrt[8]{c^{14}}$.

5) $x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}}$, если $x < 0, y > 0$.

Определим знак множителя $x^3y^7$. Так как $x < 0$, то $x^3 < 0$. Так как $y > 0$, то $y^7 > 0$. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно, то есть $x^3y^7 < 0$.

Вносим отрицательный множитель под корень четной степени, ставя минус перед корнем.

$x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}} = -(-x^3y^7)\sqrt[10]{x^8y^{12}} = -\sqrt[10]{(-x^3y^7)^{10} \cdot x^8y^{12}}$

$= -\sqrt[10]{x^{30}y^{70}x^8y^{12}} = -\sqrt[10]{x^{38}y^{82}}$.

Ответ: $-\sqrt[10]{x^{38}y^{82}}$.

5. Упростите выражение:

$(\frac{\sqrt[4]{a}+4}{\sqrt[4]{a}-4} - \frac{\sqrt[4]{a}-4}{\sqrt[4]{a}+4}) \cdot \frac{16-\sqrt{a}}{32\sqrt[4]{a^3}}$

Область допустимых значений: $a > 0$ и $a \ne 256$.

1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt[4]{a}-4)(\sqrt[4]{a}+4) = (\sqrt[4]{a})^2 - 4^2 = \sqrt{a}-16$.

$\frac{(\sqrt[4]{a}+4)^2 - (\sqrt[4]{a}-4)^2}{(\sqrt[4]{a}-4)(\sqrt[4]{a}+4)} = \frac{(\sqrt{a}+8\sqrt[4]{a}+16) - (\sqrt{a}-8\sqrt[4]{a}+16)}{\sqrt{a}-16}$

$= \frac{\sqrt{a}+8\sqrt[4]{a}+16 - \sqrt{a}+8\sqrt[4]{a}-16}{\sqrt{a}-16} = \frac{16\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}-16}$.

2. Упростим второй множитель:

$\frac{16-\sqrt{a}}{32\sqrt[4]{a^3}} = \frac{-(\sqrt{a}-16)}{32\sqrt[4]{a^3}}$.

3. Выполним умножение:

$\frac{16\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}-16} \cdot \frac{-(\sqrt{a}-16)}{32\sqrt[4]{a^3}} = -\frac{16\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}-16)}{32\sqrt[4]{a^3}(\sqrt{a}-16)}$.

Сократим $(\sqrt{a}-16)$:

$= -\frac{16\sqrt[4]{a}}{32\sqrt[4]{a^3}} = -\frac{1}{2} \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a^3}}$.

4. Упростим полученное выражение, используя свойства степеней ($ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $):

$-\frac{1}{2} \frac{a^{1/4}}{a^{3/4}} = -\frac{1}{2} a^{\frac{1}{4} - \frac{3}{4}} = -\frac{1}{2} a^{-\frac{2}{4}} = -\frac{1}{2} a^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{a}}$.

Ответ: $-\frac{1}{2\sqrt{a}}$.

Самостоятельная работа № 14

Степень с рациональным показателем

и её свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $27^{\frac{1}{3}};$

2) $64^{\frac{5}{6}};$

3) $\left(2\frac{23}{49}\right)^{1.5}$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = (x+4)^{1.2};$

2) $y=(x^2+8x-9)^{-\frac{1}{5}}$.

3. Упростите выражение:

1) $y^{3.4} \cdot y^{-1.8};$

2) $y^{\frac{15}{28}} : y^{\frac{6}{7}};$

3) $(y^{-4})^{0.9};$

4) $\left(x^{21} y^{35}\right)^{\frac{10}{49}};$

5) $\left(\sqrt[5]{a^{-4}}\right)^{16} \cdot \left(a^{-\frac{7}{8}}\right)^{\frac{4}{21}}$.

4. Постройте график функции:

$y = \left((x+4)^{-\frac{1}{7}}\right)^{-7}$.

5. Упростите выражение:

$\frac{x^{\frac{1}{8}} + 8}{x^{\frac{1}{4}} + 4x^{\frac{1}{8}}} - \frac{x^{\frac{1}{8}} + 1}{3x^{\frac{1}{8}} + 12} - \frac{6 - x^{\frac{1}{8}}}{3x^{\frac{1}{8}}}$.

1. Найти значение выражения:

1) $27^{\frac{1}{3}}$

Степень с дробным показателем $\frac{1}{n}$ эквивалентна извлечению корня n-ой степени.
$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$.
Поскольку $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3.

2) $64^{\frac{5}{6}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Представим 64 как $2^6$.
$64^{\frac{5}{6}} = (2^6)^{\frac{5}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{5}{6}} = 2^5 = 32$.

Ответ: 32.

3) $(2\frac{23}{49})^{1,5}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь и десятичную дробь в обыкновенную.
$2\frac{23}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 23}{49} = \frac{98 + 23}{49} = \frac{121}{49}$.
$1,5 = \frac{3}{2}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{121}{49})^{\frac{3}{2}}$.
Используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$(\frac{121}{49})^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{\frac{121}{49}})^3 = (\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{49}})^3 = (\frac{11}{7})^3 = \frac{11^3}{7^3} = \frac{1331}{343}$.

Ответ: $\frac{1331}{343}$.

2. Найти область определения функции:

1) $y = (x + 4)^{1,2}$

Функция вида $y = f(x)^a$, где $a$ — положительное нецелое число ($1,2 = \frac{6}{5}$), определена для тех значений $x$, при которых основание степени неотрицательно.
Следовательно, $x + 4 \ge 0$.
$x \ge -4$.
Область определения: $[-4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.

2) $y = (x^2 + 8x - 9)^{-\frac{1}{5}}$

Функция вида $y = f(x)^a$, где $a$ — отрицательное дробное число, определена для тех значений $x$, при которых основание степени строго положительно.
Следовательно, $x^2 + 8x - 9 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Графиком функции $f(x) = x^2 + 8x - 9$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Таким образом, неравенство выполняется при $x < -9$ или $x > 1$.
Область определения: $(-\infty; -9) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (1; +\infty)$.

3. Упростить выражение:

1) $y^{3,4} \cdot y^{-1,8}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$y^{3,4} \cdot y^{-1,8} = y^{3,4 + (-1,8)} = y^{3,4 - 1,8} = y^{1,6}$.

Ответ: $y^{1,6}$.

2) $y^{\frac{15}{28}} : y^{\frac{6}{7}}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$y^{\frac{15}{28}} : y^{\frac{6}{7}} = y^{\frac{15}{28} - \frac{6}{7}} = y^{\frac{15}{28} - \frac{24}{28}} = y^{\frac{15-24}{28}} = y^{-\frac{9}{28}}$.

Ответ: $y^{-\frac{9}{28}}$.

3) $(y^{-4})^{0,9}$

При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(y^{-4})^{0,9} = y^{-4 \cdot 0,9} = y^{-3,6}$.

Ответ: $y^{-3,6}$.

4) $(x^{\frac{10}{21}} y^{\frac{16}{35}})^{\frac{49}{20}}$

Используем свойства $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(x^{\frac{10}{21}})^{\frac{49}{20}} \cdot (y^{\frac{16}{35}})^{\frac{49}{20}} = x^{\frac{10}{21} \cdot \frac{49}{20}} \cdot y^{\frac{16}{35} \cdot \frac{49}{20}}$.
Вычислим показатели:
Для $x$: $\frac{10}{21} \cdot \frac{49}{20} = \frac{10 \cdot 49}{21 \cdot 20} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 2} = \frac{7}{6}$.
Для $y$: $\frac{16}{35} \cdot \frac{49}{20} = \frac{16 \cdot 49}{35 \cdot 20} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{28}{25}$.
Результат: $x^{\frac{7}{6}} y^{\frac{28}{25}}$.

Ответ: $x^{\frac{7}{6}} y^{\frac{28}{25}}$.

5) $(\sqrt[5]{a^{-4}})^{\frac{5}{16}} \cdot (a^{\frac{7}{8}})^{\frac{4}{21}}$

Преобразуем выражение, используя свойства степеней: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Первый множитель: $(\sqrt[5]{a^{-4}})^{\frac{5}{16}} = (a^{-\frac{4}{5}})^{\frac{5}{16}} = a^{-\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{16}} = a^{-\frac{4}{16}} = a^{-\frac{1}{4}}$.
Второй множитель: $(a^{\frac{7}{8}})^{\frac{4}{21}} = a^{\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{21}} = a^{\frac{28}{168}} = a^{\frac{1}{6}}$.
Перемножим результаты: $a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{-\frac{1}{4} + \frac{1}{6}} = a^{-\frac{3}{12} + \frac{2}{12}} = a^{-\frac{1}{12}}$.

Ответ: $a^{-\frac{1}{12}}$.

4. Постройте график функции $y = ((x+4)^{\frac{1}{7}})^{-7}$

Сначала упростим выражение для функции, учитывая область определения.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$y = (x+4)^{\frac{1}{7} \cdot (-7)} = (x+4)^{-1} = \frac{1}{x+4}$.
Теперь найдем область определения исходной функции. Выражение $(x+4)^{\frac{1}{7}}$ определено для всех действительных $x$. Однако, оно возводится в отрицательную степень -7, что означает деление на $((x+4)^{\frac{1}{7}})^7$. Знаменатель не может быть равен нулю.
$(x+4)^{\frac{1}{7}} \neq 0$, что эквивалентно $x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.
Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.
График функции $y = \frac{1}{x+4}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 4 единицы влево вдоль оси Ox.
Свойства графика:
1. Вертикальная асимптота: прямая $x = -4$.
2. Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось Ox).
3. График расположен в II и IV координатных четвертях относительно системы координат с центром в точке $(-4; 0)$.
Для построения можно найти несколько точек:
При $x = -3$, $y = \frac{1}{-3+4} = 1$. Точка $(-3, 1)$.
При $x = -5$, $y = \frac{1}{-5+4} = -1$. Точка $(-5, -1)$.
При $x = 0$, $y = \frac{1}{0+4} = \frac{1}{4}$. Точка $(0, \frac{1}{4})$.
При $x = -2$, $y = \frac{1}{-2+4} = \frac{1}{2}$. Точка $(-2, \frac{1}{2})$.

Ответ: График функции является гиперболой $y=\frac{1}{x}$, сдвинутой на 4 единицы влево. Вертикальная асимптота $x=-4$, горизонтальная асимптота $y=0$.

5. Упростить выражение $\frac{x^{\frac{1}{8}} + 8}{x^{\frac{1}{4}} + 4x^{\frac{1}{8}}} - \frac{x^{\frac{1}{8}} + 1}{3x^{\frac{1}{8}} + 12} - \frac{6 - x^{\frac{1}{8}}}{3x^{\frac{1}{8}}}$

Для удобства введем замену: пусть $a = x^{\frac{1}{8}}$. Тогда $x^{\frac{1}{4}} = (x^{\frac{1}{8}})^2 = a^2$. Выражение примет вид:
$\frac{a + 8}{a^2 + 4a} - \frac{a + 1}{3a + 12} - \frac{6 - a}{3a}$.
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{a + 8}{a(a + 4)} - \frac{a + 1}{3(a + 4)} - \frac{6 - a}{3a}$.
Общий знаменатель для этих дробей — $3a(a+4)$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3(a + 8)}{3a(a + 4)} - \frac{a(a + 1)}{3a(a + 4)} - \frac{(a+4)(6 - a)}{3a(a + 4)}$.
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{3(a + 8) - a(a + 1) - (a+4)(6 - a)}{3a(a + 4)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(3a + 24) - (a^2 + a) - (6a - a^2 + 24 - 4a)}{3a(a + 4)} = \frac{3a + 24 - a^2 - a - (2a - a^2 + 24)}{3a(a + 4)}$.
$\frac{3a + 24 - a^2 - a - 2a + a^2 - 24}{3a(a + 4)}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(3a - a - 2a) + (-a^2 + a^2) + (24 - 24) = 0a + 0 + 0 = 0$.
Числитель равен 0, следовательно, все выражение равно 0 (при условии, что знаменатель не равен 0, т.е. $x>0$).

Ответ: 0.