Страница 11 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Иррациональные уравнения

Решите уравнение:

1) $ \sqrt[12]{2x - 3} = \sqrt[12]{x^2 + x - 23} $

2) $ \sqrt{7 - x} = x - 1 $

3) $ (x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2x - 6 $

4) $ \sqrt{x + 10} - \sqrt{x - 5} = 3 $

5) $ \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6 $

1) $\sqrt[12]{2x - 3} = \sqrt[12]{x^2 + x - 23}$

Данное уравнение с корнями четной степени равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и одно из них (а значит, и оба) неотрицательно:

$\begin{cases} 2x - 3 = x^2 + x - 23, \\ 2x - 3 \ge 0. \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы:

$x^2 + x - 2x - 23 + 3 = 0$

$x^2 - x - 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-20$. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

Теперь необходимо проверить найденные корни по второму условию системы $2x - 3 \ge 0$.

Проверка для $x_1 = 5$:

$2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$. Так как $7 \ge 0$, корень $x_1 = 5$ является решением исходного уравнения.

Проверка для $x_2 = -4$:

$2(-4) - 3 = -8 - 3 = -11$. Так как $-11 < 0$, корень $x_2 = -4$ является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $5$.

2) $\sqrt{7 - x} = x - 1$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} 7 - x = (x - 1)^2, \\ x - 1 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, возведя обе части в квадрат:

$7 - x = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 2x + x + 1 - 7 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни по второму условию системы $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Проверка для $x_1 = 3$:

$3 \ge 1$. Условие выполняется, значит, $x=3$ является решением.

Проверка для $x_2 = -2$:

$-2 < 1$. Условие не выполняется, значит, $x=-2$ является посторонним корнем.

Ответ: $3$.

3) $(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2x - 6$

Преобразуем правую часть уравнения: $2x - 6 = 2(x - 3)$.

$(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2(x - 3)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2(x - 3) = 0$

$(x - 3)(\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$x^2 - 5x + 4 \ge 0$.

Корнями квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 4$ являются $x_1=1$ и $x_2=4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

1. $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Этот корень не входит в ОДЗ, так как при $x=3$ подкоренное выражение $3^2 - 5 \cdot 3 + 4 = 9 - 15 + 4 = -2$ отрицательно. Следовательно, $x=3$ не является решением.

2. $\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2 = 0 \implies \sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2$.
Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 5x + 4 = 4$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x - 5) = 0$

Получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 5$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ:

• $x_3 = 0$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1]$, следовательно, является решением.
• $x_4 = 5$ принадлежит интервалу $[4, \infty)$, следовательно, является решением.

Ответ: $0; 5$.

4) $\sqrt{x + 10} - \sqrt{x - 5} = 3$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x + 10 \ge 0, \\ x - 5 \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -10, \\ x \ge 5. \end{cases} \implies x \ge 5$.

Уединим один из радикалов:

$\sqrt{x + 10} = 3 + \sqrt{x - 5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x + 10 = (3 + \sqrt{x - 5})^2$

$x + 10 = 9 + 6\sqrt{x - 5} + (x - 5)$

$x + 10 = x + 4 + 6\sqrt{x - 5}$

Приведем подобные слагаемые:

$6 = 6\sqrt{x - 5}$

$1 = \sqrt{x - 5}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1 = x - 5$

$x = 6$

Найденный корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 5$). Проверим его, подставив в исходное уравнение:

$\sqrt{6+10} - \sqrt{6-5} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $6$.

5) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6$

ОДЗ определяется условием $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Заметим, что выражения под внешними корнями можно представить в виде полных квадратов. Для этого представим $x$ как $(x-1)+1$:

$x + 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) + 2\sqrt{x - 1} + 1 = (\sqrt{x - 1} + 1)^2$

$x - 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) - 2\sqrt{x - 1} + 1 = (\sqrt{x - 1} - 1)^2$

Подставим эти выражения в уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x - 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x - 1} - 1)^2} = 6$

По свойству $\sqrt{a^2} = |a|$, уравнение принимает вид:

$|\sqrt{x - 1} + 1| + |\sqrt{x - 1} - 1| = 6$

Поскольку $\sqrt{x - 1} \ge 0$, выражение $\sqrt{x - 1} + 1$ всегда положительно, поэтому первый модуль можно опустить:

$\sqrt{x - 1} + 1 + |\sqrt{x - 1} - 1| = 6$

Для раскрытия второго модуля рассмотрим два случая:

1. $\sqrt{x - 1} - 1 \ge 0 \implies \sqrt{x - 1} \ge 1 \implies x - 1 \ge 1 \implies x \ge 2$.
В этом случае $|\sqrt{x - 1} - 1| = \sqrt{x - 1} - 1$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x - 1} + 1) + (\sqrt{x - 1} - 1) = 6$

$2\sqrt{x - 1} = 6$

$\sqrt{x - 1} = 3$

$x - 1 = 9 \implies x = 10$.
Корень $x=10$ удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, является решением.

2. $\sqrt{x - 1} - 1 < 0 \implies \sqrt{x - 1} < 1 \implies x - 1 < 1 \implies x < 2$.
С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $1 \le x < 2$. В этом случае $|\sqrt{x - 1} - 1| = -(\sqrt{x - 1} - 1) = 1 - \sqrt{x - 1}$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x - 1} + 1) + (1 - \sqrt{x - 1}) = 6$

$2 = 6$.
Получено неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.

Единственным решением уравнения является $x = 10$.

Ответ: $10$.

Самостоятельная работа № 16

Различные приёмы решения иррациональных уравнений и их систем

Решите уравнение (систему уравнений):

1) $\sqrt{x+3} - 3\sqrt[4]{x+3} + 2 = 0;$

2) $\sqrt{\frac{2-x}{x+4}} + \sqrt{\frac{x+4}{2-x}} = 2;$

3) $5x^2 - 20x + 6 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 0;$

4) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = -27; \end{cases}$

5) $\sqrt[3]{x-7} + \sqrt[3]{9-x} = 2.$

Дано уравнение $\sqrt{x+3} - 3\sqrt[4]{x+3} + 2 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+3 \ge 0$, откуда $x \ge -3$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x+3}$. Тогда $\sqrt{x+3} = (\sqrt[4]{x+3})^2 = t^2$. Так как корень четвертой степени является неотрицательным, то $t \ge 0$.
После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1. При $t = 1$:
$\sqrt[4]{x+3} = 1$
Возведем обе части в четвертую степень:
$x+3 = 1^4$
$x+3 = 1$
$x = -2$.
2. При $t = 2$:
$\sqrt[4]{x+3} = 2$
Возведем обе части в четвертую степень:
$x+3 = 2^4$
$x+3 = 16$
$x = 13$.
Оба найденных значения, $x = -2$ и $x = 13$, удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -3$).
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 13$.

Дано уравнение $\sqrt{\frac{2-x}{x+4}} + \sqrt{\frac{x+4}{2-x}} = 2$.
ОДЗ: подкоренные выражения должны быть строго положительны (так как они также находятся в знаменателях).
$\frac{2-x}{x+4} > 0$.
Решая это неравенство методом интервалов, находим, что $x \in (-4, 2)$.
Введем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{2-x}{x+4}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x+4}{2-x}} = \frac{1}{t}$. Так как подкоренное выражение в ОДЗ строго положительно, то $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t + \frac{1}{t} = 2$.
Умножим обе части на $t$ (поскольку $t \neq 0$):
$t^2 + 1 = 2t$
$t^2 - 2t + 1 = 0$
$(t-1)^2 = 0$
Отсюда $t = 1$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{\frac{2-x}{x+4}} = 1$.
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{2-x}{x+4} = 1$
$2-x = x+4$
$2x = -2$
$x = -1$.
Значение $x = -1$ принадлежит ОДЗ $(-4, 2)$.
Ответ: $x = -1$.

Дано уравнение $5x^2 - 20x + 6 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 0$.
Заметим, что $5x^2 - 20x = 5(x^2 - 4x)$. Преобразуем это выражение, чтобы выделить подкоренное выражение $x^2 - 4x + 9$:
$5(x^2 - 4x) + 6 = 5(x^2 - 4x + 9 - 9) + 6 = 5(x^2 - 4x + 9) - 45 + 6 = 5(x^2 - 4x + 9) - 39$.
Подставим это в исходное уравнение:
$5(x^2 - 4x + 9) - 39 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 4x + 9}$. Тогда $t^2 = x^2 - 4x + 9$.
Подкоренное выражение $x^2 - 4x + 9$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20 < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, ОДЗ - все действительные числа, и $t > 0$.
Уравнение в терминах $t$:
$5t^2 - 2t - 39 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784 = 28^2$.
Корни: $t_1 = \frac{2+28}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$ и $t_2 = \frac{2-28}{10} = -2.6$.
Так как $t>0$, корень $t_2 = -2.6$ является посторонним. Используем $t=3$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - 4x + 9 = 9$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x-4) = 0$.
Отсюда получаем два корня: $x_1=0$, $x_2=4$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4$.

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 2 \\ xy = -27 \end{cases}$.
Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.
Подставим их в систему:
$\begin{cases} a + b = 2 \\ a^3 b^3 = -27 \end{cases}$.
Из второго уравнения: $(ab)^3 = (-3)^3$, откуда $ab = -3$.
Теперь система выглядит проще:
$\begin{cases} a + b = 2 \\ ab = -3 \end{cases}$.
По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 2t - 3 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Следовательно, возможны два случая:
1. $a = 3, b = -1$.
Возвращаемся к исходным переменным: $\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$.
$\sqrt[3]{y} = -1 \implies y = (-1)^3 = -1$.
Получаем решение $(27, -1)$.
2. $a = -1, b = 3$.
$\sqrt[3]{x} = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$.
$\sqrt[3]{y} = 3 \implies y = 3^3 = 27$.
Получаем решение $(-1, 27)$.
Ответ: $(27, -1), (-1, 27)$.

Дано уравнение $\sqrt[3]{x-7} + \sqrt[3]{9-x} = 2$.
ОДЗ: $x$ - любое действительное число.
Введем замену. Пусть $a = \sqrt[3]{x-7}$ и $b = \sqrt[3]{9-x}$.
Тогда уравнение примет вид $a+b=2$.
Возведем наши замены в куб: $a^3 = x-7$ и $b^3 = 9-x$.
Сложив эти два равенства, мы исключим $x$:
$a^3 + b^3 = (x-7) + (9-x) = 2$.
Получаем систему уравнений относительно $a$ и $b$:
$\begin{cases} a + b = 2 \\ a^3 + b^3 = 2 \end{cases}$.
Используем тождество $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим значения из системы: $2 = 2(a^2 - ab + b^2)$, откуда $a^2 - ab + b^2 = 1$.
Также из $a+b=2$ следует $(a+b)^2 = 4$, то есть $a^2 + 2ab + b^2 = 4$.
Вычтем из второго полученного уравнения первое: $(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - ab + b^2) = 4 - 1$, что дает $3ab = 3$, то есть $ab = 1$.
Теперь решаем систему:
$\begin{cases} a + b = 2 \\ ab = 1 \end{cases}$.
Единственное решение этой системы $a=1, b=1$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt[3]{x-7} = 1$
$x-7 = 1^3$
$x = 8$.
Ответ: $x = 8$.