Страница 18 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 27

Формулы двойного, тройного и половинного углов

1. Дано: $\sin \alpha = 0,8$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите:

1) $\sin 2\alpha$;

2) $\cos 2\alpha$;

3) $\operatorname{tg} 4\alpha$.

2. Понизьте степень выражения:

1) $\sin^2 3x$;

2) $\cos^2 \left( 2\alpha - \frac{\pi}{8} \right)$.

3. Докажите тождество:

1) $\cos 4\alpha + 2\sin^2 2\alpha = 1$;

2) $\operatorname{ctg} 6\alpha (1 - \cos 12\alpha) = \sin 12\alpha$.

4. Упростите выражение:

1) $\frac{2\cos^2 \alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}$;

2) $\sqrt{8 + 8\cos 6\alpha}$, если $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.

5. Найдите значение выражения $\cos 10^\circ (1 - 4\sin^2 10^\circ)$.

1.

Дано $\sin \alpha = 0,8$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Угол $\alpha$ находится во второй четверти, где $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$.

Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.

Так как $\alpha$ во второй четверти, $\cos \alpha = -\sqrt{0,36} = -0,6$.

1) sin 2α

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$\sin 2\alpha = 2 \cdot 0,8 \cdot (-0,6) = -0,96$.

Ответ: $-0,96$.

2) cos 2α

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$\cos 2\alpha = (-0,6)^2 - (0,8)^2 = 0,36 - 0,64 = -0,28$.

Ответ: $-0,28$.

3) tg 4α

Сначала найдем $\text{tg } 2\alpha$: $\text{tg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-0,96}{-0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7}$.

Теперь используем формулу тангенса двойного угла: $\text{tg } 4\alpha = \text{tg}(2 \cdot 2\alpha) = \frac{2\text{tg } 2\alpha}{1 - \text{tg}^2 2\alpha}$.

$\text{tg } 4\alpha = \frac{2 \cdot \frac{24}{7}}{1 - (\frac{24}{7})^2} = \frac{\frac{48}{7}}{1 - \frac{576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{49-576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{-\frac{527}{49}} = \frac{48}{7} \cdot (-\frac{49}{527}) = -\frac{48 \cdot 7}{527} = -\frac{336}{527}$.

Ответ: $-\frac{336}{527}$.

2.

Для понижения степени используются формулы: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ и $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.

1) sin² 3x

Применяем формулу понижения степени для синуса, где в качестве угла выступает $3x$.

$\sin^2 3x = \frac{1 - \cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 - \cos 6x}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - \cos 6x}{2}$.

2) cos²(2α - π/8)

Применяем формулу понижения степени для косинуса, где в качестве угла выступает $(2\alpha - \frac{\pi}{8})$.

$\cos^2(2\alpha - \frac{\pi}{8}) = \frac{1 + \cos(2(2\alpha - \frac{\pi}{8}))}{2} = \frac{1 + \cos(4\alpha - \frac{\pi}{4})}{2}$.

Ответ: $\frac{1 + \cos(4\alpha - \frac{\pi}{4})}{2}$.

3.

1) cos 4α + 2sin² 2α = 1

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Пусть $x=2\alpha$, тогда $\cos 4\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = 1 - 2\sin^2 2\alpha$.

Подставим это выражение в левую часть: $(1 - 2\sin^2 2\alpha) + 2\sin^2 2\alpha = 1$.

Получаем $1 = 1$. Тождество доказано.

2) ctg 6α(1 - cos 12α) = sin 12α

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу понижения степени $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.

Пусть $x=6\alpha$, тогда $1 - \cos 12\alpha = 2\sin^2 6\alpha$.

Подставим это выражение в левую часть: $\text{ctg } 6\alpha \cdot (2\sin^2 6\alpha)$.

Запишем $\text{ctg } 6\alpha$ как $\frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha}$: $\frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} \cdot 2\sin^2 6\alpha = 2\sin 6\alpha \cos 6\alpha$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

При $x=6\alpha$ получаем: $2\sin 6\alpha \cos 6\alpha = \sin(2 \cdot 6\alpha) = \sin 12\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

4.

1) $\frac{2\cos^2\alpha - 1}{2\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$

Упростим числитель. По формуле косинуса двойного угла: $2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha$.

Упростим знаменатель. Используем формулу приведения $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - x) = \text{tg } x$.

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \text{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$.

Знаменатель равен $2 \cdot \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} \cdot \cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

По формуле синуса двойного угла: $2\sin x \cos x = \sin 2x$.

Знаменатель равен $\sin(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)$.

Используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$. Получаем $\cos 2\alpha$.

Таким образом, выражение равно $\frac{\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha} = 1$ (при условии, что $\cos 2\alpha \neq 0$).

Ответ: $1$.

2) $\sqrt{8 + 8\cos 6\alpha}$, если $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$

Вынесем 8 за скобки под корнем: $\sqrt{8(1 + \cos 6\alpha)}$.

Используем формулу $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$. Пусть $2x = 6\alpha$, тогда $x = 3\alpha$.

$\sqrt{8 \cdot 2\cos^2 3\alpha} = \sqrt{16\cos^2 3\alpha} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{\cos^2 3\alpha} = 4|\cos 3\alpha|$.

Определим знак $\cos 3\alpha$ из заданного интервала для $\alpha$: $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.

Умножим неравенство на 3: $3 \cdot \frac{\pi}{6} < 3\alpha < 3 \cdot \frac{\pi}{3}$, что дает $\frac{\pi}{2} < 3\alpha < \pi$.

Угол $3\alpha$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, т.е. $\cos 3\alpha < 0$.

Следовательно, $|\cos 3\alpha| = -\cos 3\alpha$.

Выражение равно $4(-\cos 3\alpha) = -4\cos 3\alpha$.

Ответ: $-4\cos 3\alpha$.

5.

Найдем значение выражения $\cos 10^\circ(1 - 4\sin^2 10^\circ)$.

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла в виде $\cos 3\alpha = \cos\alpha(4\cos^2\alpha - 3)$.

Преобразуем ее, заменив $\cos^2\alpha$ на $1-\sin^2\alpha$:

$\cos 3\alpha = \cos\alpha(4(1 - \sin^2\alpha) - 3) = \cos\alpha(4 - 4\sin^2\alpha - 3) = \cos\alpha(1 - 4\sin^2\alpha)$.

Наше выражение в точности соответствует этой формуле при $\alpha = 10^\circ$.

Следовательно, $\cos 10^\circ(1 - 4\sin^2 10^\circ) = \cos(3 \cdot 10^\circ) = \cos 30^\circ$.

Значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Самостоятельная работа № 28

Формулы для преобразования суммы, разности и произведения тригонометрических функций

1. Преобразуйте в произведение:

1) $ \cos 40^\circ + \cos 10^\circ $

2) $ \cos \left( 2\alpha - \frac{2\pi}{3} \right) - \cos \left( \frac{\pi}{3} + 2\alpha \right) $

3) $ \cos 4\beta - \sin 2\beta $

4) $ 1 + 2\sin \alpha $

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $ \sin \frac{5\pi}{24} \cos \frac{11\pi}{24} $

2) $ \cos \alpha \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) $

3. Докажите тождество:

1) $ \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 4\alpha \sin \alpha = \cos 3\alpha \cos 2\alpha $

2) $ \cos^2 (\alpha - \beta) - \sin^2 (\alpha + \beta) = \cos 2\alpha \cos 2\beta $

1) Для преобразования суммы $ \cos40^\circ + \cos10^\circ $ в произведение используем формулу суммы косинусов:

$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Подставляя $ x = 40^\circ $ и $ y = 10^\circ $, получаем:

$ \cos40^\circ + \cos10^\circ = 2 \cos\frac{40^\circ+10^\circ}{2} \cos\frac{40^\circ-10^\circ}{2} = 2 \cos(25^\circ) \cos(15^\circ) $.

Ответ: $ 2 \cos25^\circ \cos15^\circ $.

2) Для выражения $ \cos(2\alpha - \frac{2\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{3} + 2\alpha) $ используем формулу разности косинусов:

$ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $.

Пусть $ x = 2\alpha - \frac{2\pi}{3} $ и $ y = \frac{\pi}{3} + 2\alpha $. Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\alpha}{2} = \frac{4\alpha - \frac{\pi}{3}}{2} = 2\alpha - \frac{\pi}{6} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{3} - (\frac{\pi}{3} + 2\alpha)}{2} = \frac{-\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} $.

Подставляем в формулу:

$ -2 \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) \sin(-\frac{\pi}{2}) = -2 \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) \cdot (-1) = 2 \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

Ответ: $ 2 \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

3) В выражении $ \cos4\beta - \sin2\beta $ приведем функции к одному наименованию, используя формулу приведения $ \sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos4\beta - \sin2\beta = \cos4\beta - \cos(\frac{\pi}{2} - 2\beta) $.

Теперь применяем формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $.

При $ x = 4\beta $ и $ y = \frac{\pi}{2} - 2\beta $:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{4\beta + \frac{\pi}{2} - 2\beta}{2} = \frac{2\beta + \frac{\pi}{2}}{2} = \beta + \frac{\pi}{4} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{4\beta - (\frac{\pi}{2} - 2\beta)}{2} = \frac{6\beta - \frac{\pi}{2}}{2} = 3\beta - \frac{\pi}{4} $.

Результат: $ -2 \sin(\beta + \frac{\pi}{4}) \sin(3\beta - \frac{\pi}{4}) $. Используя нечетность синуса, можно записать $ 2 \sin(\beta + \frac{\pi}{4}) \sin(\frac{\pi}{4} - 3\beta) $.

Ответ: $ 2 \sin(\beta + \frac{\pi}{4}) \sin(\frac{\pi}{4} - 3\beta) $.

4) Для преобразования $ 1 + 2\sin\alpha $ представим $ \frac{1}{2} $ как $ \sin\frac{\pi}{6} $:

$ 1 + 2\sin\alpha = 2(\frac{1}{2} + \sin\alpha) = 2(\sin\frac{\pi}{6} + \sin\alpha) $.

Используем формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ 2 \left( 2 \sin\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2} \right) = 4 \sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}) $.

Ответ: $ 4 \sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}) \cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}) $.

1) Для преобразования произведения $ \sin\frac{5\pi}{24}\cos\frac{11\pi}{24} $ в сумму используем формулу:

$ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.

При $ x = \frac{5\pi}{24} $ и $ y = \frac{11\pi}{24} $ имеем:

$ x+y = \frac{5\pi}{24} + \frac{11\pi}{24} = \frac{16\pi}{24} = \frac{2\pi}{3} $.

$ x-y = \frac{5\pi}{24} - \frac{11\pi}{24} = -\frac{6\pi}{24} = -\frac{\pi}{4} $.

Следовательно, $ \sin\frac{5\pi}{24}\cos\frac{11\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{2\pi}{3} + \sin(-\frac{\pi}{4})\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\right) $.

Вычисляя значения, получаем: $ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4} $.

2) Для преобразования произведения $ \cos\alpha \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) $ в сумму используем формулу:

$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) $.

При $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{3} - \alpha $ имеем:

$ x+y = \alpha + (\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{\pi}{3} $.

$ x-y = \alpha - (\frac{\pi}{3} - \alpha) = 2\alpha - \frac{\pi}{3} $.

Следовательно, $ \cos\alpha \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3} + \cos(2\alpha - \frac{\pi}{3})\right) $.

Так как $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, получаем $ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos(2\alpha - \frac{\pi}{3})\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2\alpha - \frac{\pi}{3}) $.

Ответ: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2\alpha - \frac{\pi}{3}) $.

1) Докажем тождество $ \cos2\alpha\cos\alpha - \sin4\alpha\sin\alpha = \cos3\alpha\cos2\alpha $.

Преобразуем левую и правую части тождества, используя формулы преобразования произведения в сумму.

Левая часть (ЛЧ): $ \cos2\alpha\cos\alpha - \sin4\alpha\sin\alpha $.

Применяем $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) $ и $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.

$ \cos2\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) + \cos(\alpha)) $.

$ \sin4\alpha\sin\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) - \cos(5\alpha)) $.

ЛЧ = $ \frac{1}{2}(\cos3\alpha + \cos\alpha) - \frac{1}{2}(\cos3\alpha - \cos5\alpha) = \frac{1}{2}(\cos3\alpha + \cos\alpha - \cos3\alpha + \cos5\alpha) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos5\alpha) $.

Правая часть (ПЧ): $ \cos3\alpha\cos2\alpha $.

ПЧ = $ \frac{1}{2}(\cos(3\alpha+2\alpha) + \cos(3\alpha-2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos5\alpha + \cos\alpha) $.

Поскольку ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = \cos2\alpha\cos2\beta $.

Используем формулы понижения степени: $ \cos^2 x = \frac{1+\cos2x}{2} $ и $ \sin^2 y = \frac{1-\cos2y}{2} $.

Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ \cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = \frac{1+\cos(2(\alpha-\beta))}{2} - \frac{1-\cos(2(\alpha+\beta))}{2} $

$ = \frac{1+\cos(2\alpha-2\beta) - (1-\cos(2\alpha+2\beta))}{2} = \frac{\cos(2\alpha-2\beta) + \cos(2\alpha+2\beta)}{2} $.

К числителю применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ \frac{2 \cos\frac{(2\alpha+2\beta)+(2\alpha-2\beta)}{2} \cos\frac{(2\alpha+2\beta)-(2\alpha-2\beta)}{2}}{2} = \frac{2 \cos\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{4\beta}{2}}{2} = \cos2\alpha\cos2\beta $.

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.