Страница 19 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 29

Уравнение $\cos x = b$

1. Решите уравнение:

1) $\cos 3x = -1;$

2) $\cos (3 - 2x) = \frac{\sqrt{3}}{2};$

3) $\cos \frac{4\pi x}{3} = -\frac{1}{2};$

4) $\cos \left(6x + \frac{\pi}{8}\right) = \frac{\pi}{3};$

5) $4\cos \left(7x + \frac{\pi}{6}\right) - 3 = 0.$

2. Найдите все корни уравнения $\cos \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}.$

3. Определите количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}\right]$ в зависимости от значения параметра $a.$

1.

1) Дано уравнение $cos(3x) = -1$.

Это частный случай уравнения $cos(t) = -1$, общее решение которого имеет вид $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = 3x$.

$3x = \pi + 2\pi n$

Разделив обе части на 3, получаем:

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $cos(3 - 2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения $cos(t) = a$ ($|a| \le 1$) имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для данного уравнения $t = 3 - 2x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $3 - 2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Выразим $x$:

$-2x = -3 \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$2x = 3 \mp \frac{\pi}{6} - 2\pi n$

Так как $n$ — любое целое число, $-n$ можно заменить на $k$, где $k$ также любое целое число.

$x = \frac{3}{2} \mp \frac{\pi}{12} + \pi k$. Это можно записать как две серии корней или в виде:

$x = \frac{3}{2} \pm \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3}{2} \pm \frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $cos\frac{4\pi x}{3} = -\frac{1}{2}$.

Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$.

Здесь $t = \frac{4\pi x}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.

$arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

$\frac{4\pi x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{4x}{3} = \pm \frac{2}{3} + 2n$.

Умножим обе части на 3:

$4x = \pm 2 + 6n$.

Разделим обе части на 4:

$x = \frac{\pm 2 + 6n}{4} = \pm \frac{2}{4} + \frac{6n}{4} = \pm \frac{1}{2} + \frac{3n}{2}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $cos(6x + \frac{\pi}{8}) = \frac{\pi}{3}$.

Область значений функции $y = cos(t)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Правая часть уравнения равна $\frac{\pi}{3}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$.

Так как $\frac{\pi}{3} > 1$, это значение не принадлежит области значений косинуса.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Корней нет.

5) Дано уравнение $4cos(7x + \frac{\pi}{6}) - 3 = 0$.

Сначала выразим косинус:

$4cos(7x + \frac{\pi}{6}) = 3$

$cos(7x + \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$.

Так как $|\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения. Применим общую формулу:

$7x + \frac{\pi}{6} = \pm arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$7x = -\frac{\pi}{6} \pm arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n$

$x = \frac{-\frac{\pi}{6} \pm arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n}{7}$

$x = -\frac{\pi}{42} \pm \frac{1}{7}arccos\frac{3}{4} + \frac{2\pi n}{7}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{42} \pm \frac{1}{7}arccos\frac{3}{4} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

2.

Сначала решим уравнение $cos(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.

$3x - \frac{\pi}{4} = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$3x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$3x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Это дает две серии решений:

а) $3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi + 4\pi}{12} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$.

б) $3x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$.

Теперь отберем корни, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$. Приведем неравенство к общему знаменателю 36: $-\frac{6\pi}{36} < x < \frac{30\pi}{36}$.

Для первой серии $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{24\pi n}{36} = \frac{(7 + 24n)\pi}{36}$:

$-\frac{6\pi}{36} < \frac{(7 + 24n)\pi}{36} < \frac{30\pi}{36}$

$-6 < 7 + 24n < 30 \implies -13 < 24n < 23 \implies -\frac{13}{24} < n < \frac{23}{24}$.

Единственное целое $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — $n=0$. При $n=0$ получаем корень $x = \frac{7\pi}{36}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{36} + \frac{24\pi n}{36} = \frac{(-1 + 24n)\pi}{36}$:

$-\frac{6\pi}{36} < \frac{(-1 + 24n)\pi}{36} < \frac{30\pi}{36}$

$-6 < -1 + 24n < 30 \implies -5 < 24n < 31 \implies -\frac{5}{24} < n < \frac{31}{24}$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=0$ и $n=1$.

При $n=0$ получаем корень $x = -\frac{\pi}{36}$.

При $n=1$ получаем корень $x = \frac{(-1 + 24)\pi}{36} = \frac{23\pi}{36}$.

Таким образом, найдены три корня: $-\frac{\pi}{36}, \frac{7\pi}{36}, \frac{23\pi}{36}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{36}, \frac{7\pi}{36}, \frac{23\pi}{36}$.

3.

Требуется определить количество корней уравнения $cos(x) = a$ на промежутке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}]$ в зависимости от значений параметра $a$.

Рассмотрим поведение функции $y = cos(x)$ на заданном отрезке.

Найдем значения функции на концах отрезка:

$cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Внутри отрезка, в точке $x=0$, функция $cos(x)$ достигает своего глобального максимума, равного $1$.

Таким образом, на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, 0]$ функция $cos(x)$ возрастает от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ до $1$.

А на отрезке $[0, \frac{2\pi}{3}]$ функция $cos(x)$ убывает от $1$ до $-\frac{1}{2}$.

Область значений функции $cos(x)$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}]$ равна $[-\frac{1}{2}, 1]$.

Количество корней уравнения $cos(x) = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y=cos(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Проанализируем количество корней в зависимости от $a$:

- Если $a < -\frac{1}{2}$ или $a > 1$, прямая $y=a$ не пересекает график функции на данном отрезке, так как $a$ находится вне области значений. Корней нет.

- Если $a = 1$, прямая касается графика в его вершине ($x=0$). Один корень.

- Если $\frac{\sqrt{2}}{2} \le a < 1$, прямая пересекает график в двух точках: одну на участке возрастания $[-\frac{\pi}{4}, 0]$ и одну на участке убывания $[0, \frac{2\pi}{3}]$. Два корня.

- Если $-\frac{1}{2} \le a < \frac{\sqrt{2}}{2}$, прямая пересекает график только в одной точке на участке убывания $[0, \frac{2\pi}{3}]$. Один корень.

Соберем все случаи вместе:

1. Если $a < -\frac{1}{2}$ или $a > 1$, корней нет.

2. Если $a=1$ или $-\frac{1}{2} \le a < \frac{\sqrt{2}}{2}$, есть один корень.

3. Если $\frac{\sqrt{2}}{2} \le a < 1$, есть два корня.

Ответ: Если $a < -\frac{1}{2}$ или $a > 1$, то корней нет. Если $a = 1$ или $-\frac{1}{2} \le a < \frac{\sqrt{2}}{2}$, то один корень. Если $\frac{\sqrt{2}}{2} \le a < 1$, то два корня.

Самостоятельная работа № 30

Уравнение $\sin x = b$

1. Решите уравнение:

1) $2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3} = 0;$

2) $1 + 2\sin(3 - 2x) = 0;$

3) $\sin(4x + 3) = -\frac{\pi}{6};$

4) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = -1.$

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения

$7\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0.$

3. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $\cos x(\sin x - a) = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$?

1. Решите уравнение:

1) $2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} = 0$

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть и разделим на 2:
$2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$
$\sin(2x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Аргумент синуса равен:
$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$
Выразим $x$:
$2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + 2\sin(3 - 2x) = 0$

Выразим синус:
$2\sin(3 - 2x) = -1$
$\sin(3 - 2x) = -\frac{1}{2}$
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, получим:
$-\sin(2x - 3) = -\frac{1}{2}$
$\sin(2x - 3) = \frac{1}{2}$
Аргумент синуса равен:
$2x - 3 = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$2x - 3 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
Выразим $x$:
$2x = 3 + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{3}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin(4x + 3) = -\frac{\pi}{6}$

Значение $-\frac{\pi}{6} \approx -\frac{3.14}{6} \approx -0.52$ находится в области значений функции синус $[-1, 1]$, следовательно, уравнение имеет решение.
$4x + 3 = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-\alpha) = -\arcsin\alpha$ :
$4x + 3 = (-1)^n \left(-\arcsin\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$
$4x + 3 = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{\pi}{6} + \pi n$
$4x = -3 + (-1)^{n+1} \arcsin\frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = -\frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4} \arcsin\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4} \arcsin\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = -1$

Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Применим метод введения вспомогательного угла.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = -\frac{1}{2}$
Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, уравнение можно переписать в виде:
$\cos\frac{\pi}{6}\sin x - \sin\frac{\pi}{6}\cos x = -\frac{1}{2}$
Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$, получаем:
$\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$
$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n$
$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$
$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Разобьем решение на две серии:
1. Если $n$ - четное, $n = 2k, k \in \mathbb{Z}$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = 2\pi k$.
2. Если $n$ - нечетное, $n = 2k + 1, k \in \mathbb{Z}$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.
Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2.

Решим уравнение $7\sin(3x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$:
$\sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{7}$
$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$3x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{(-1)^n}{3} \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + \frac{\pi n}{3}$
Для нахождения наименьшего положительного корня, рассмотрим значения $x$ при различных целых $n$. Обозначим $\alpha = \arcsin(\frac{1}{7})$. Так как $\frac{1}{7} > 0$, то $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
При $n = 0: x_0 = \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{3}$. Корень положительный.
При $n = 1: x_1 = \frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{12} - \frac{\alpha}{3}$. Корень положительный.
При $n = -1: x_{-1} = \frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{3} - \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} - \frac{\alpha}{3} < 0$. Корень отрицательный.
При $n < -1$ корни также будут отрицательными. При $n > 1$ корни будут больше, чем $x_0$ и $x_1$.
Сравним $x_0$ и $x_1$. Найдем их разность:
$x_1 - x_0 = \left(\frac{5\pi}{12} - \frac{\alpha}{3}\right) - \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{3}\right) = \frac{4\pi}{12} - \frac{2\alpha}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{2\alpha}{3} = \frac{\pi - 2\alpha}{3}$.
Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $0 < 2\alpha < \pi$, значит $\pi - 2\alpha > 0$. Следовательно, $x_1 - x_0 > 0$, то есть $x_1 > x_0$.
Наименьший положительный корень получается при $n=0$.
Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7}$.

3.

Уравнение $\cos x(\sin x - a) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\cos x = 0$
2) $\sin x = a$
Корни необходимо найти на промежутке $[0; 2\pi]$.
1) Уравнение $\cos x = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$ имеет два корня: $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Эти корни существуют при любом значении $a$.
2) Количество корней уравнения $\sin x = a$ зависит от значения $a$.
Рассмотрим все случаи:
- Если $|a| > 1$, уравнение $\sin x = a$ не имеет корней. Общее число корней равно 2 (от $\cos x = 0$).
- Если $a = 1$, уравнение $\sin x = 1$ имеет один корень $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень совпадает с одним из корней первого уравнения. Таким образом, общее число различных корней равно 2: $\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\}$.
- Если $a = -1$, уравнение $\sin x = -1$ имеет один корень $x = \frac{3\pi}{2}$. Этот корень также совпадает с одним из корней первого уравнения. Общее число различных корней равно 2: $\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\}$.
- Если $a = 0$, уравнение $\sin x = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$ имеет три корня: $x = 0, x = \pi, x = 2\pi$. Ни один из них не совпадает с корнями первого уравнения. Общее число корней $2+3=5$.
- Если $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$, уравнение $\sin x = a$ имеет два различных корня на промежутке $[0; 2\pi]$. Эти корни не могут быть равны $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, так как для этих значений $x$ синус равен $1$ или $-1$. Следовательно, совпадений нет. Общее число корней $2+2=4$.
Ответ: если $|a| \ge 1$, то 2 корня; если $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$, то 4 корня; если $a = 0$, то 5 корней.