Страница 17 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 25

Формулы сложения

1. Упростите выражение:

1) $ \frac{\sin (30^\circ + \alpha) - \cos (60^\circ + \alpha)}{\sin (30^\circ + \alpha) + \cos (60^\circ + \alpha)} $

2) $ \frac{\cos 63^\circ \cos 22^\circ + \sin 63^\circ \sin 22^\circ}{\sin 16^\circ \cos 25^\circ + \cos 16^\circ \sin 25^\circ} $

2. Докажите тождество $ \sin 6\alpha \cot 3\alpha - \cos 6\alpha = 1 $.

3. Найдите $ \tan 105^\circ $.

4. Дано: $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $, $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $. Найдите $ \sin (30^\circ + \alpha) $.

5. Найдите наибольшее значение выражения $ 5\sin \alpha - 12\cos \alpha $.

6. Постройте график функции $ y = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x \tan x} $.

1) Для упрощения выражения воспользуемся формулами сложения и формулой приведения.
Сначала преобразуем $\cos(60° + \alpha)$, используя формулу приведения $\cos x = \sin(90° - x)$:
$\cos(60° + \alpha) = \sin(90° - (60° + \alpha)) = \sin(90° - 60° - \alpha) = \sin(30° - \alpha)$.
Однако, более прямой путь - раскрыть синус и косинус суммы:
$\sin(30° + \alpha) = \sin 30° \cos \alpha + \cos 30° \sin \alpha = \frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$.
$\cos(60° + \alpha) = \cos 60° \cos \alpha - \sin 60° \sin \alpha = \frac{1}{2}\cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$.
Подставим эти выражения в исходную дробь.
Числитель: $\sin(30° + \alpha) - \cos(60° + \alpha) = (\frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha) - (\frac{1}{2}\cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha) = \sqrt{3}\sin \alpha$.
Знаменатель: $\sin(30° + \alpha) + \cos(60° + \alpha) = (\frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha) + (\frac{1}{2}\cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha) = \cos \alpha$.
Тогда все выражение равно: $\frac{\sqrt{3}\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sqrt{3}\operatorname{tg} \alpha$.
Ответ: $\sqrt{3}\operatorname{tg} \alpha$.

2) Для упрощения этого выражения используем формулы косинуса разности и синуса суммы.
Формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
Числитель дроби: $\cos 63° \cos 22° + \sin 63° \sin 22° = \cos(63° - 22°) = \cos(41°)$.
Формула синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
Знаменатель дроби: $\sin 16° \cos 25° + \cos 16° \sin 25° = \sin(16° + 25°) = \sin(41°)$.
Таким образом, все выражение равно: $\frac{\cos 41°}{\sin 41°} = \operatorname{ctg} 41°$.
Ответ: $\operatorname{ctg} 41°$.

2. Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
$\sin 6\alpha \operatorname{ctg} 3\alpha - \cos 6\alpha$.
Заменим $\operatorname{ctg} 3\alpha$ на $\frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha}$ и используем формулу синуса двойного угла $\sin 6\alpha = 2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha$:
$2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha \cdot \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} - \cos 6\alpha$.
При условии $\sin 3\alpha \neq 0$, сокращаем дробь:
$2 \cos^2 3\alpha - \cos 6\alpha$.
Теперь используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$, из которой следует $2 \cos^2 x = \cos 2x + 1$. Применив ее для $x = 3\alpha$, получаем:
$(\cos(2 \cdot 3\alpha) + 1) - \cos 6\alpha = \cos 6\alpha + 1 - \cos 6\alpha = 1$.
Левая часть равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3. Чтобы найти значение $\operatorname{tg} 105°$, представим $105°$ как сумму двух стандартных углов: $105° = 60° + 45°$.
Воспользуемся формулой тангенса суммы: $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
$\operatorname{tg} 105° = \operatorname{tg}(60° + 45°) = \frac{\operatorname{tg} 60° + \operatorname{tg} 45°}{1 - \operatorname{tg} 60° \operatorname{tg} 45°}$.
Зная, что $\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}$ и $\operatorname{tg} 45° = 1$, подставляем эти значения:
$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $1 + \sqrt{3}$:
$\frac{(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3})$.
Ответ: $-2 - \sqrt{3}$.

4. Для нахождения $\sin(30° + \alpha)$ воспользуемся формулой синуса суммы:
$\sin(30° + \alpha) = \sin 30° \cos \alpha + \cos 30° \sin \alpha$.
Нам дано $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. Необходимо найти $\cos \alpha$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
Следовательно, $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
По условию $90° < \alpha < 180°$, что соответствует II координатной четверти, где косинус отрицателен. Значит, $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$.
Подставим все известные значения в формулу:
$\sin(30° + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{5}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{10} + \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{4\sqrt{3} - 3}{10}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{3} - 3}{10}$.

5. Для нахождения наибольшего значения выражения $5\sin\alpha - 12\cos\alpha$ используем метод введения вспомогательного угла. Выражения вида $a\sin x + b\cos x$ ограничены и их область значений равна $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.
В данном случае $a = 5$ и $b = -12$.
Найдем $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Преобразуем выражение:
$5\sin\alpha - 12\cos\alpha = 13(\frac{5}{13}\sin\alpha - \frac{12}{13}\cos\alpha)$.
Пусть существует такой угол $\phi$, что $\cos\phi = \frac{5}{13}$ и $\sin\phi = \frac{12}{13}$. Тогда выражение примет вид:
$13(\cos\phi\sin\alpha - \sin\phi\cos\alpha) = 13\sin(\alpha - \phi)$.
Область значений функции $\sin(\alpha - \phi)$ - это отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно, наибольшее значение выражения $13\sin(\alpha - \phi)$ достигается, когда $\sin(\alpha - \phi) = 1$, и равно $13 \cdot 1 = 13$.
Ответ: 13.

6. Выражение в правой части функции $y = \frac{\operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} x}$ является формулой тангенса суммы для углов $2x$ и $x$.
$y = \operatorname{tg}(2x + x) = \operatorname{tg}(3x)$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \operatorname{tg}(3x)$ с учётом области определения (ОДЗ) исходного выражения.
ОДЗ исходной функции:
1. $\operatorname{tg} x$ определен, т.е. $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $\operatorname{tg} 2x$ определен, т.е. $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
3. Знаменатель не равен нулю, что эквивалентно условию существования $\operatorname{tg}(3x)$, т.е. $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.
Условие (3) задает вертикальные асимптоты графика $y = \operatorname{tg}(3x)$. Условие (1) также попадает на эти асимптоты. Условие (2) задает точки, которые нужно исключить из графика ("выколоть").
Алгоритм построения графика:
1. Строим график функции $y = \operatorname{tg}(3x)$. Это график $y=\operatorname{tg} x$, сжатый по горизонтали в 3 раза. Его период $T = \frac{\pi}{3}$, а вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$.
2. На этом графике находим и "выкалываем" (отмечаем пустыми кружками) точки, абсциссы которых удовлетворяют условию $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
Например:
- при $n=0, x=\frac{\pi}{4}$. Ордината $y=\operatorname{tg}(3\frac{\pi}{4})=-1$. Выкалываем точку $(\frac{\pi}{4}, -1)$.
- при $n=1, x=\frac{3\pi}{4}$. Ордината $y=\operatorname{tg}(3\frac{3\pi}{4})=\operatorname{tg}(\frac{9\pi}{4})=1$. Выкалываем точку $(\frac{3\pi}{4}, 1)$.
- при $n=-1, x=-\frac{\pi}{4}$. Ордината $y=\operatorname{tg}(-3\frac{\pi}{4})=1$. Выкалываем точку $(-\frac{\pi}{4}, 1)$.
Ответ: Графиком является функция $y = \operatorname{tg}(3x)$ с выколотыми точками вида $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \operatorname{tg}(3(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2})))$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

Самостоятельная работа № 26

Формулы приведения

1. Упростите выражение:

1) $\cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

2) $\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

3) $\operatorname{ctg}(\alpha - \pi)$;

4) $\sin^2 \left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right)$.

2. Найдите значение выражения

$\sin \left(-\frac{11\pi}{3}\right) \cos \frac{13\pi}{4} \operatorname{tg} \left(-\frac{5\pi}{6}\right) \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{6}$.

3. Упростите выражение:

1) $\cos(\pi - \alpha) + \operatorname{tg}(\pi + \alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

2) $\frac{\sin(\beta - \pi)\cos(2\pi - \beta)\sin(2\pi + \beta)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\operatorname{ctg}(\pi - \beta)\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right)}$.

4. Упростите выражение $\operatorname{ctg} 20^\circ + \operatorname{ctg} 40^\circ + \operatorname{ctg} 60^\circ + \dots + \operatorname{ctg} 160^\circ$.

1. Упростите выражение:

1) $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Используем формулу приведения. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется с $cos$ на $sin$.

$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$

Ответ: $sin(\alpha)$

2) $tg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

Используем формулу приведения. Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется с $tg$ на $ctg$.

$tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$

Ответ: $-ctg(\alpha)$

3) $ctg(\alpha - \pi)$

Используем свойство периодичности котангенса (период равен $\pi$).

$ctg(\alpha - \pi) = ctg(\alpha - \pi + \pi) = ctg(\alpha)$

Ответ: $ctg(\alpha)$

4) $sin^2(\frac{7\pi}{2} + \alpha)$

Сначала упростим аргумент синуса, используя периодичность ($2\pi = \frac{4\pi}{2}$).

$\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$

$sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha) = sin(2\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Теперь применяем формулу приведения. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Функция меняется с $sin$ на $cos$.

$sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$

Возводим в квадрат:

$sin^2(\frac{7\pi}{2} + \alpha) = (-cos(\alpha))^2 = cos^2(\alpha)$

Ответ: $cos^2(\alpha)$

2. Найдите значение выражения

Вычислим значение каждого множителя в выражении $sin(-\frac{11\pi}{3}) cos(\frac{13\pi}{4}) tg(-\frac{5\pi}{6}) ctg(\frac{7\pi}{6})$.

• $sin(-\frac{11\pi}{3}) = -sin(\frac{11\pi}{3}) = -sin(4\pi - \frac{\pi}{3}) = -sin(-\frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $cos(\frac{13\pi}{4}) = cos(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = cos(\frac{5\pi}{4}) = cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $tg(-\frac{5\pi}{6}) = -tg(\frac{5\pi}{6}) = -tg(\pi - \frac{\pi}{6}) = -(-tg(\frac{\pi}{6})) = tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
• $ctg(\frac{7\pi}{6}) = ctg(\pi + \frac{\pi}{6}) = ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

Теперь перемножим полученные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot 1 = -\frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{4}$

3. Упростите выражение:

1) $cos(\pi - \alpha) + tg(\pi + \alpha) - sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

Применим формулы приведения к каждому слагаемому:

• $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$ (II четверть, $cos < 0$)
• $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$ (III четверть, $tg > 0$)
• $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$ (IV четверть, $sin < 0$, функция меняется)
• $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$ (II четверть, $ctg < 0$, функция меняется)

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$-cos(\alpha) + tg(\alpha) - (-cos(\alpha)) + (-tg(\alpha)) = -cos(\alpha) + tg(\alpha) + cos(\alpha) - tg(\alpha) = 0$

Ответ: $0$

2) $\frac{sin(\beta - \pi)cos(2\pi - \beta)sin(2\pi + \beta)}{sin(\frac{\pi}{2} - \beta)ctg(\pi - \beta)ctg(\frac{3\pi}{2} + \beta)}$

Упростим числитель и знаменатель по отдельности, используя формулы приведения.

Числитель:

• $sin(\beta - \pi) = sin(-(\pi - \beta)) = -sin(\pi - \beta) = -sin(\beta)$
• $cos(2\pi - \beta) = cos(\beta)$
• $sin(2\pi + \beta) = sin(\beta)$

Произведение в числителе: $(-sin(\beta)) \cdot cos(\beta) \cdot sin(\beta) = -sin^2(\beta)cos(\beta)$

Знаменатель:

• $sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = cos(\beta)$
• $ctg(\pi - \beta) = -ctg(\beta)$
• $ctg(\frac{3\pi}{2} + \beta) = -tg(\beta)$

Произведение в знаменателе: $cos(\beta) \cdot (-ctg(\beta)) \cdot (-tg(\beta)) = cos(\beta) \cdot (ctg(\beta) \cdot tg(\beta)) = cos(\beta) \cdot 1 = cos(\beta)$

Теперь разделим числитель на знаменатель (при $cos(\beta) \neq 0$):

$\frac{-sin^2(\beta)cos(\beta)}{cos(\beta)} = -sin^2(\beta)$

Ответ: $-sin^2(\beta)$

4. Упростите выражение $ctg(20^\circ) + ctg(40^\circ) + ctg(60^\circ) + ... + ctg(160^\circ)$

Данное выражение представляет собой сумму котангенсов углов, образующих арифметическую прогрессию с первым членом $20^\circ$ и разностью $20^\circ$. Полный ряд слагаемых выглядит так:

$ctg(20^\circ) + ctg(40^\circ) + ctg(60^\circ) + ctg(80^\circ) + ctg(100^\circ) + ctg(120^\circ) + ctg(140^\circ) + ctg(160^\circ)$

Воспользуемся формулой приведения $ctg(180^\circ - x) = -ctg(x)$. Сгруппируем слагаемые попарно:

• $ctg(20^\circ) + ctg(160^\circ) = ctg(20^\circ) + ctg(180^\circ - 20^\circ) = ctg(20^\circ) - ctg(20^\circ) = 0$
• $ctg(40^\circ) + ctg(140^\circ) = ctg(40^\circ) + ctg(180^\circ - 40^\circ) = ctg(40^\circ) - ctg(40^\circ) = 0$
• $ctg(60^\circ) + ctg(120^\circ) = ctg(60^\circ) + ctg(180^\circ - 60^\circ) = ctg(60^\circ) - ctg(60^\circ) = 0$
• $ctg(80^\circ) + ctg(100^\circ) = ctg(80^\circ) + ctg(180^\circ - 80^\circ) = ctg(80^\circ) - ctg(80^\circ) = 0$

Сумма всех этих пар равна нулю.

Сумма = $(ctg(20^\circ) + ctg(160^\circ)) + (ctg(40^\circ) + ctg(140^\circ)) + (ctg(60^\circ) + ctg(120^\circ)) + (ctg(80^\circ) + ctg(100^\circ)) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$