Страница 15 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Свойства и графики функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$

1. На промежутке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \sin x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

2. Сравните:

1) $\sin \frac{10\pi}{9}$ и $\sin \frac{8\pi}{7}$;

2) $\cos (-5)$ и $\cos (-6)$.

3. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \sqrt{2} \sin 44^\circ$;

2) $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 61^\circ$?

4. Постройте график функции:

1) $y = 2\sin \left(3x - \frac{3\pi}{4}\right)$;

2) $y = \cos x - \left(\sqrt{\cos x}\right)^2$.

1. На промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$ укажите:

1) нули функции $y = \sin x$;

Нули функции $y = \sin x$ находятся при решении уравнения $\sin x = 0$. Общее решение этого уравнения: $x = k\pi$, где $k$ – целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Нам нужно найти значения $k$, при которых $x$ попадает в заданный промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$.
Представим промежуток в виде $[0.25\pi; 2.25\pi]$.
Подбираем целые значения $k$:
- При $k=0$, $x = 0$. Это значение не входит в промежуток.
- При $k=1$, $x = \pi$. Так как $0.25\pi \le \pi \le 2.25\pi$, это значение является нулем функции на данном промежутке.
- При $k=2$, $x = 2\pi$. Так как $0.25\pi \le 2\pi \le 2.25\pi$, это значение также является нулем функции на данном промежутке.
- При $k=3$, $x = 3\pi$. Это значение больше, чем $2.25\pi$, и не входит в промежуток.
Таким образом, на заданном промежутке функция имеет два нуля.
Ответ: $x = \pi, x = 2\pi$.

2) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

Функция $y = \sin x$ принимает наибольшее значение, равное 1, и наименьшее, равное -1.
Наибольшее значение:
Решаем уравнение $\sin x = 1$. Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ищем значения $k$, при которых $x$ попадает в промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$ или $[0.25\pi; 2.25\pi]$.
- При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $0.25\pi \le 0.5\pi \le 2.25\pi$, это значение подходит.
- При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} = 2.5\pi$. Это значение не входит в промежуток.
Наибольшее значение функция принимает при $x = \frac{\pi}{2}$.
Наименьшее значение:
Решаем уравнение $\sin x = -1$. Общее решение: $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ищем значения $k$, при которых $x$ попадает в промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$.
- При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{2} = 1.5\pi$. Так как $0.25\pi \le 1.5\pi \le 2.25\pi$, это значение подходит.
- При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2} = 3.5\pi$. Это значение не входит в промежуток.
Наименьшее значение функция принимает при $x = \frac{3\pi}{2}$.
Ответ: Наибольшее значение (1) при $x = \frac{\pi}{2}$; наименьшее значение (-1) при $x = \frac{3\pi}{2}$.

2. Сравните:

1) $\sin\frac{10\pi}{9}$ и $\sin\frac{8\pi}{7}$;

Оба угла, $\frac{10\pi}{9}$ и $\frac{8\pi}{7}$, находятся в третьей четверти, так как $\pi < \frac{10\pi}{9} < \frac{3\pi}{2}$ и $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$.
В третьей четверти функция синуса отрицательна.
Можно использовать формулы приведения:
$\sin\frac{10\pi}{9} = \sin(\pi + \frac{\pi}{9}) = -\sin\frac{\pi}{9}$.
$\sin\frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin\frac{\pi}{7}$.
Теперь нам нужно сравнить $-\sin\frac{\pi}{9}$ и $-\sin\frac{\pi}{7}$. Это эквивалентно сравнению $\sin\frac{\pi}{7}$ и $\sin\frac{\pi}{9}$.
Углы $\frac{\pi}{9}$ и $\frac{\pi}{7}$ находятся в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$).
В первой четверти функция синуса возрастает. Поскольку $\frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{7}$, то $\sin\frac{\pi}{9} < \sin\frac{\pi}{7}$.
Умножая обе части неравенства на -1, мы меняем знак неравенства на противоположный: $-\sin\frac{\pi}{9} > -\sin\frac{\pi}{7}$.
Следовательно, $\sin\frac{10\pi}{9} > \sin\frac{8\pi}{7}$.
Ответ: $\sin\frac{10\pi}{9} > \sin\frac{8\pi}{7}$.

2) $\cos(-5)$ и $\cos(-6)$.

Функция косинуса является четной, то есть $\cos(-x) = \cos x$. Поэтому нам нужно сравнить $\cos 5$ и $\cos 6$. Углы 5 и 6 даны в радианах.
Определим, в каких четвертях находятся эти углы, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$:
$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3.14}{2} \approx 4.71$.
$2\pi \approx 2 \times 3.14 \approx 6.28$.
Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$ и $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, оба угла находятся в четвертой четверти.
На промежутке $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$ функция $y=\cos x$ возрастает.
Так как $5 < 6$, и оба угла находятся на промежутке возрастания косинуса, то $\cos 5 < \cos 6$.
Следовательно, $\cos(-5) < \cos(-6)$.
Ответ: $\cos(-5) < \cos(-6)$.

3. Возможно ли равенство:

1) $\sin\alpha = \sqrt{2}\sin 44^\circ$;

Область значений функции синуса - отрезок $[-1, 1]$. Равенство возможно, если значение выражения $\sqrt{2}\sin 44^\circ$ принадлежит этому отрезку.
Мы знаем, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку на промежутке $[0^\circ; 90^\circ]$ функция синуса возрастает, а $44^\circ < 45^\circ$, то $\sin 44^\circ < \sin 45^\circ$.
Тогда $\sin 44^\circ < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$:
$\sqrt{2}\sin 44^\circ < \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Поскольку $0 < \sqrt{2}\sin 44^\circ < 1$, это значение входит в область значений синуса.
Ответ: Да, возможно.

2) $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin 61^\circ$?

Область значений функции косинуса - отрезок $[-1, 1]$. Равенство возможно, если значение выражения $\frac{2}{\sqrt{3}}\sin 61^\circ$ принадлежит этому отрезку.
Мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку на промежутке $[0^\circ; 90^\circ]$ функция синуса возрастает, а $61^\circ > 60^\circ$, то $\sin 61^\circ > \sin 60^\circ$.
Тогда $\sin 61^\circ > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Умножим обе части неравенства на $\frac{2}{\sqrt{3}}$ (это положительное число):
$\frac{2}{\sqrt{3}}\sin 61^\circ > \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.
Поскольку значение выражения $\frac{2}{\sqrt{3}}\sin 61^\circ$ больше 1, оно не входит в область значений косинуса.
Ответ: Нет, невозможно.

4. Постройте график функции:

1) $y = 2\sin(3x - \frac{3\pi}{4})$;

Преобразуем функцию к виду $y = A\sin(\omega(x - x_0))$ для анализа.
$y = 2\sin(3(x - \frac{\pi}{4}))$.
График этой функции можно получить из графика $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований:
1. Сжатие графика по оси Ox в 3 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{3}$.
2. Растяжение графика по оси Oy в 2 раза. Амплитуда становится равной 2, а область значений $[-2, 2]$.
3. Сдвиг графика вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.
Для построения найдем ключевые точки одного периода. "Начало" периода (где аргумент синуса равен 0) находится в точке $3(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}$.
- В точке $x=\frac{\pi}{4}$, $y=0$.
- Максимум (значение 2) достигается, когда $3(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12}$.
- Следующий ноль, когда $3(x - \frac{\pi}{4}) = \pi \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$.
- Минимум (значение -2) достигается, когда $3(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
- Конец периода, когда $3(x - \frac{\pi}{4}) = 2\pi \implies x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{12}$.
График представляет собой синусоиду с периодом $\frac{2\pi}{3}$, амплитудой 2 и сдвигом вправо на $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: Графиком является синусоида, полученная из графика $y=\sin x$ сжатием по оси Ox в 3 раза, растяжением по оси Oy в 2 раза и сдвигом по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ вправо.

2) $y = \cos x - (\sqrt{\cos x})^2$.

Для данной функции необходимо сначала определить ее область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\cos x \ge 0$.
Это неравенство выполняется для $x$, принадлежащих отрезкам $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В области допустимых значений, где $\cos x \ge 0$, выражение $(\sqrt{\cos x})^2$ равно $\cos x$.
Таким образом, для всех $x$ из ОДЗ функция принимает вид:
$y = \cos x - \cos x = 0$.
График функции представляет собой совокупность отрезков, лежащих на оси Ox. Эти отрезки соответствуют интервалам, где косинус неотрицателен. Например, это отрезки $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}]$, $[\frac{-5\pi}{2}; \frac{-3\pi}{2}]$ и т.д.
Ответ: График функции — это множество отрезков оси Ox вида $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Самостоятельная работа № 23

Свойства и графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$

1. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{tg} x$;

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{tg} x$.

2. Сравните:

1) $\operatorname{tg} 43^\circ$ и $\operatorname{ctg} 43^\circ$;

2) $\operatorname{ctg} 28^\circ$ и $\operatorname{tg} 59^\circ$;

3) $\operatorname{tg} 46^\circ$ и $\sin 91^\circ$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -4\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

2) $y = \operatorname{ctg} 3|x|$;

3) $y = \operatorname{tg} x - |\operatorname{tg} x|$.

1. На промежутке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ укажите:

1) нули функции $y = \tg x$;

Решение: Нули функции $y = \tg x$ – это значения $x$, при которых $\tg x = 0$. Уравнение $\tg x = 0$ равносильно уравнению $\sin x = 0$ (при условии, что $\cos x \neq 0$). Решениями уравнения $\sin x = 0$ являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Теперь найдем, какие из этих значений принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$. Для этого решим неравенство: $-\frac{\pi}{4} \le \pi n \le \frac{3\pi}{4}$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $-\frac{1}{4} \le n \le \frac{3}{4}$ Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=0$. При $n=0$ получаем $x = \pi \cdot 0 = 0$.
Ответ: $x=0$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \tg x$.

Решение: Область определения функции $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ – это все действительные числа $x$, для которых $\cos x \neq 0$. Функция не определена в точках, где $\cos x = 0$. Решениями уравнения $\cos x = 0$ являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Теперь найдем, какие из этих значений принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$. Решим неравенство: $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le \frac{3\pi}{4}$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $-\frac{1}{4} \le \frac{1}{2} + n \le \frac{3}{4}$ Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей: $-\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \le n \le \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$ $-\frac{3}{4} \le n \le \frac{1}{4}$ Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=0$. При $n=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $x=\frac{\pi}{2}$.

2. Сравните:

1) $\tg 43^\circ$ и $\ctg 43^\circ$;

Решение: Угол $43^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 43^\circ < 90^\circ$). В первой четверти значения тангенса и котангенса положительны. Известно, что $\tg 45^\circ = 1$. Функция $y=\tg x$ возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Поскольку $43^\circ < 45^\circ$, то $\tg 43^\circ < \tg 45^\circ = 1$. Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, то $\ctg 43^\circ = \frac{1}{\tg 43^\circ}$. Поскольку $0 < \tg 43^\circ < 1$, то $\frac{1}{\tg 43^\circ} > 1$. Таким образом, $\tg 43^\circ < 1$ и $\ctg 43^\circ > 1$, следовательно $\tg 43^\circ < \ctg 43^\circ$.
Ответ: $\tg 43^\circ < \ctg 43^\circ$.

2) $\ctg 28^\circ$ и $\tg 59^\circ$;

Решение: Используем формулу приведения: $\ctg \alpha = \tg(90^\circ - \alpha)$. Применим ее для $\ctg 28^\circ$: $\ctg 28^\circ = \tg(90^\circ - 28^\circ) = \tg 62^\circ$. Теперь нужно сравнить $\tg 62^\circ$ и $\tg 59^\circ$. Функция $y = \tg x$ является возрастающей на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Поскольку $62^\circ > 59^\circ$, то $\tg 62^\circ > \tg 59^\circ$. Следовательно, $\ctg 28^\circ > \tg 59^\circ$.
Ответ: $\ctg 28^\circ > \tg 59^\circ$.

3) $\tg 46^\circ$ и $\sin 91^\circ$.

Решение: Рассмотрим значение $\tg 46^\circ$. Так как $46^\circ > 45^\circ$ и функция $y=\tg x$ возрастает в первой четверти, то $\tg 46^\circ > \tg 45^\circ = 1$. Рассмотрим значение $\sin 91^\circ$. Угол $91^\circ$ находится во второй четверти. Используем формулу приведения: $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha$. $\sin 91^\circ = \sin(90^\circ + 1^\circ) = \cos 1^\circ$. Значение косинуса любого угла, не равного $2\pi n$, строго меньше 1. В частности, $\cos 1^\circ < \cos 0^\circ = 1$. Таким образом, мы получили, что $\tg 46^\circ > 1$ и $\sin 91^\circ < 1$. Следовательно, $\tg 46^\circ > \sin 91^\circ$.
Ответ: $\tg 46^\circ > \sin 91^\circ$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -4\ctg(x - \frac{\pi}{6})$;

Решение: График функции $y = -4\ctg(x - \frac{\pi}{6})$ можно построить с помощью последовательных преобразований графика функции $y = \ctg x$.

1. Строим график основной функции $y_1 = \ctg x$. Период $T=\pi$, вертикальные асимптоты $x=\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. Сдвигаем график $y_1$ вправо на $\frac{\pi}{6}$. Получаем график функции $y_2 = \ctg(x - \frac{\pi}{6})$. Асимптоты смещаются в $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
3. Растягиваем график $y_2$ по вертикали (вдоль оси Oy) в 4 раза. Получаем график функции $y_3 = 4\ctg(x - \frac{\pi}{6})$.
4. Отражаем график $y_3$ симметрично относительно оси Ox. Получаем искомый график $y = -4\ctg(x - \frac{\pi}{6})$.

• Период: $T = \pi$.
• Область определения: $x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y=0$ при $\ctg(x - \frac{\pi}{6})=0$, то есть $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Функция является возрастающей на каждом интервале области определения (так как $y=\ctg x$ убывает, а знак «минус» меняет монотонность на противоположную).

Ответ: График функции $y = -4\ctg(x - \frac{\pi}{6})$ получается из графика $y = \ctg x$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{6}$, растяжением по вертикали в 4 раза и отражением относительно оси Ox.

2) $y = \ctg 3|x|$;

Решение: Данная функция является четной, так как $y(-x) = \ctg(3|-x|) = \ctg(3|x|) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому для построения графика достаточно выполнить следующие шаги:

1. Построить график функции $y = \ctg(3x)$ для $x > 0$. Этот график получается из графика $y = \ctg x$ путем сжатия к оси Oy в 3 раза. Период этой функции $T = \frac{\pi}{3}$. Вертикальные асимптоты для $x>0$ находятся в точках $x = \frac{\pi n}{3}$ для $n \in \mathbb{N}$ (например, $x=\frac{\pi}{3}, x=\frac{2\pi}{3}, ...$). Ось Oy ($x=0$) также является вертикальной асимптотой.
2. Отразить построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Это даст нам вторую половину графика для $x < 0$.

Свойства итогового графика:

• Область определения: $3|x| \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
• График симметричен относительно оси Oy.
• Нули функции: $3|x| = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $|x| = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, откуда $x = \pm(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.

Ответ: График функции $y = \ctg 3|x|$ строится путем построения графика $y = \ctg(3x)$ для $x>0$ (который является сжатым в 3 раза к оси Oy графиком котангенса) и его симметричного отражения относительно оси Oy.

3) $y = \tg x - |\tg x|$.

Решение: Раскроем модуль в определении функции, рассмотрев два случая.

1. Если $\tg x \ge 0$, то $|\tg x| = \tg x$. В этом случае $y = \tg x - \tg x = 0$. Неравенство $\tg x \ge 0$ выполняется для $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. На этих промежутках (например, $[0, \frac{\pi}{2})$, $[\pi, \frac{3\pi}{2})$ и т.д.) график функции совпадает с осью абсцисс.
2. Если $\tg x < 0$, то $|\tg x| = -\tg x$. В этом случае $y = \tg x - (-\tg x) = 2\tg x$. Неравенство $\tg x < 0$ выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. На этих промежутках (например, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ и т.д.) график функции совпадает с графиком $y = 2\tg x$, который является графиком тангенса, растянутым в 2 раза вдоль оси Oy.

Таким образом, функция задается кусочно: $y = \begin{cases} 0, & \text{ если } x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \\ 2\tg x, & \text{ если } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n) \end{cases}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: График функции $y = \tg x - |\tg x|$ состоит из отрезков оси Ox на промежутках, где тангенс неотрицателен, и из ветвей графика $y=2\tg x$ (растянутого вдвое тангенса) на промежутках, где тангенс отрицателен.