Страница 8 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 9

Степенная функция с натуральным показателем

1. Функция задана формулой $f(x) = x^8$. Сравните:

1) $f(2,4)$ и $f(3,8)$;

2) $f(-8,7)$ и $f(-10,3)$;

3) $f(-9,6)$ и $f(9,6)$;

4) $f(-0,8)$ и $f(0,4)$.

2. Определите графически количество корней уравнения:

1) $-x^8 = x - 4$;

2) $x^5 = 2x - 5$.

3. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-5) > f(-3)$;

2) $f(-5) < f(3)$;

3) $f(-5) < f(-3)$;

4) $f(-5) > f(3)$?

4. Решите уравнение $5x^{10} + 3x^6 = 8$.

1.

Функция $f(x) = x^8$ имеет чётный показатель степени (8), поэтому она является чётной ($f(-x) = f(x)$), убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, \infty)$.

1) $f(2,4)$ и $f(3,8)$

Аргументы $2,4$ и $3,8$ принадлежат промежутку возрастания функции. Так как $2,4 < 3,8$, то и значения функции будут в том же соотношении: $f(2,4) < f(3,8)$.

Ответ: $f(2,4) < f(3,8)$.

2) $f(-8,7)$ и $f(-10,3)$

Аргументы $-8,7$ и $-10,3$ принадлежат промежутку убывания функции. Так как $-10,3 < -8,7$, то для значений функции будет выполняться обратное неравенство: $f(-10,3) > f(-8,7)$.

Ответ: $f(-8,7) < f(-10,3)$.

3) $f(-9,6)$ и $f(9,6)$

Так как функция $f(x)=x^8$ является чётной, то по определению $f(-x) = f(x)$ для любого $x$. Следовательно, $f(-9,6) = f(9,6)$.

Ответ: $f(-9,6) = f(9,6)$.

4) $f(-0,8)$ и $f(0,4)$

Используем свойство чётности функции: $f(-0,8) = (-0,8)^8 = (0,8)^8 = f(0,8)$. Теперь задача сводится к сравнению $f(0,8)$ и $f(0,4)$. Аргументы $0,8$ и $0,4$ принадлежат промежутку возрастания функции. Так как $0,8 > 0,4$, то $f(0,8) > f(0,4)$. Следовательно, $f(-0,8) > f(0,4)$.

Ответ: $f(-0,8) > f(0,4)$.

2.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения.

1) $-x^8 = x - 4$

Рассмотрим графики функций $y = -x^8$ и $y = x - 4$.
График $y = -x^8$ — это кривая, симметричная относительно оси ординат, с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вниз.
График $y = x - 4$ — это прямая, возрастающая на всей числовой оси, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(4, 0)$.
На промежутке $(0, \infty)$ функция $y = -x^8$ убывает, а функция $y = x - 4$ возрастает, следовательно, их графики могут пересечься не более одного раза. Пересечение есть, так как при $x=1$, $y=-1^8=-1$, а $y=1-4=-3$ (график $y=-x^8$ выше), а при $x=2$, $y=-2^8=-256$, а $y=2-4=-2$ (график $y=-x^8$ ниже). Таким образом, есть один положительный корень.
На промежутке $(-\infty, 0)$ обе функции возрастают. График $y=-x^8$ проходит через $(0,0)$, а прямая $y=x-4$ через $(0,-4)$. При $x \to -\infty$ обе функции стремятся к $-\infty$, но $y=-x^8$ убывает гораздо быстрее (т.е. значения становятся более отрицательными). Поскольку при $x=-1$ имеем $y=-(-1)^8=-1$ и $y=-1-4=-5$ (кривая выше), а при $x=-2$ имеем $y=-(-2)^8=-256$ и $y=-2-4=-6$ (кривая ниже), то на этом промежутке также есть одна точка пересечения.
Всего графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) $x^5 = 2x - 5$

Рассмотрим графики функций $y = x^5$ и $y = 2x - 5$.
График $y = x^5$ — это возрастающая нечётная функция, проходящая через начало координат.
График $y = 2x - 5$ — это возрастающая прямая, пересекающая ось ординат в точке $(0, -5)$.
При $x < 0$ оба графика находятся в третьей четверти. При $x \to -\infty$ обе функции стремятся к $-\infty$. Поскольку при $x=-1$, $y=(-1)^5=-1$, а $y=2(-1)-5=-7$ (кривая выше), а при $x=-2$, $y=(-2)^5=-32$, а $y=2(-2)-5=-9$ (кривая ниже), то на промежутке $(-\infty, 0)$ есть одна точка пересечения.
При $x > 0$ функция $y=x^5$ является выпуклой вниз и растёт значительно быстрее, чем линейная функция $y=2x-5$. В точке $x=1$ имеем $y=1^5=1$ и $y=2(1)-5=-3$. В точке $x=2$ имеем $y=2^5=32$ и $y=2(2)-5=-1$. Видно, что кривая $y=x^5$ находится значительно выше прямой, и разрыв между ними только увеличивается. Таким образом, на промежутке $(0, \infty)$ пересечений нет.
Всего графики пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 корень.

3.

Функция $y = x^n$. Если $n$ — чётное натуральное число, то функция $y=x^n$ является чётной, убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, \infty)$. Если $n$ — нечётное натуральное число, то функция $y=x^n$ является нечётной и возрастает на всей числовой оси.

1) $f(-5) > f(-3)$

Неравенство означает $(-5)^n > (-3)^n$. Аргументы $-5$ и $-3$ отрицательны. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y=x^n$ убывает, если $n$ чётно, и возрастает, если $n$ нечётно. Так как $-5 < -3$, а знак неравенства для значений функции противоположный ($f(-5) > f(-3)$), функция на этом промежутке убывает. Следовательно, $n$ — чётное число.

Ответ: чётным.

2) $f(-5) < f(3)$

Неравенство означает $(-5)^n < 3^n$. Если $n$ — чётное, то $(-5)^n = 5^n$, и неравенство примет вид $5^n < 3^n$, что неверно. Если $n$ — нечётное, то $(-5)^n$ — отрицательное число, а $3^n$ — положительное. Неравенство "отрицательное число < положительное число" всегда верно. Следовательно, $n$ — нечётное число.

Ответ: нечётным.

3) $f(-5) < f(-3)$

Неравенство означает $(-5)^n < (-3)^n$. Аргументы $-5$ и $-3$ отрицательны. Так как $-5 < -3$ и знак неравенства для значений функции тот же ($f(-5) < f(-3)$), функция на этом промежутке возрастает. Следовательно, $n$ — нечётное число.

Ответ: нечётным.

4) $f(-5) > f(3)$

Неравенство означает $(-5)^n > 3^n$. Если $n$ — нечётное, то $(-5)^n$ — отрицательное число, а $3^n$ — положительное, и неравенство неверно. Если $n$ — чётное, то $(-5)^n = 5^n$, и неравенство примет вид $5^n > 3^n$, что верно для любого натурального $n$, так как основание $5 > 3$. Следовательно, $n$ — чётное число.

Ответ: чётным.

4.

Дано уравнение $5x^{10} + 3x^6 = 8$.
Заметим, что в уравнении присутствуют только чётные степени $x$. Это значит, что если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем, так как $(-x_0)^{10} = x_0^{10}$ и $(-x_0)^6 = x_0^6$.
Введём замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $5(x^2)^5 + 3(x^2)^3 = 8$, что равносильно $5t^5 + 3t^3 = 8$.
Перепишем уравнение как $5t^5 + 3t^3 - 8 = 0$.
Попробуем найти корень подбором среди целых чисел. Проверим $t=1$:
$5(1)^5 + 3(1)^3 - 8 = 5 + 3 - 8 = 0$.
Таким образом, $t=1$ является корнем уравнения.
Рассмотрим функцию $g(t) = 5t^5 + 3t^3$ при $t \ge 0$. Её производная $g'(t) = 25t^4 + 9t^2$.
При $t > 0$, производная $g'(t) > 0$, значит, функция $g(t)$ строго возрастает на промежутке $[0, \infty)$.
Поскольку функция строго возрастает, каждое своё значение она принимает только один раз. Следовательно, уравнение $g(t) = 8$ имеет не более одного корня. Мы уже нашли этот корень: $t=1$.
Теперь вернёмся к исходной переменной $x$.
$x^2 = t \implies x^2 = 1$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

Самостоятельная работа № 10

Степенная функция с целым показателем

1. Дана функция $f(x) = x^{-32}$. Сравните:

1) $f(7,2)$ и $f(6,5)$;

2) $f(-1,5)$ и $f(-1,8)$;

3) $f(42)$ и $f(-42)$;

4) $f(-10)$ и $f(6)$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{x} - 1)^0$;

2) $y = (x^{-2})^{-2}$.

3. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $ \begin{cases} y = -x^{-5}, \\ y = 3 - x; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = x^{-4}, \\ y = \sqrt{x - 3}. \end{cases} $

4. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-12) < f(-16)$;

2) $f(-12) < f(16)$;

3) $f(-12) > f(-16)$;

4) $f(16) < f(12)?$

1.

Дана функция $f(x) = x^{-32}$. Это степенная функция с целым отрицательным чётным показателем. Запишем её в виде $f(x) = \frac{1}{x^{32}}$.
Свойства этой функции:
1. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.
2. Функция является чётной, так как $f(-x) = (-x)^{-32} = \frac{1}{(-x)^{32}} = \frac{1}{x^{32}} = f(x)$.
3. Функция убывает на промежутке $(0; \infty)$ и возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.

1) $f(7,2)$ и $f(6,5)$
Аргументы $7,2$ и $6,5$ принадлежат промежутку $(0; \infty)$, на котором функция убывает. Поскольку $7,2 > 6,5$, то $f(7,2) < f(6,5)$.
Ответ: $f(7,2) < f(6,5)$.

2) $f(-1,5)$ и $f(-1,8)$
Аргументы $-1,5$ и $-1,8$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция возрастает. Поскольку $-1,8 < -1,5$, то $f(-1,8) < f(-1,5)$.
Ответ: $f(-1,8) < f(-1,5)$.

3) $f(42)$ и $f(-42)$
Так как функция $f(x) = x^{-32}$ является чётной, то по определению $f(x) = f(-x)$ для любого $x$ из области определения. Следовательно, $f(42) = f(-42)$.
Ответ: $f(42) = f(-42)$.

4) $f(-10)$ и $f(6)$
Используем свойство чётности функции: $f(-10) = f(10)$. Теперь задача сводится к сравнению $f(10)$ и $f(6)$. Аргументы $10$ и $6$ принадлежат промежутку $(0; \infty)$, на котором функция убывает. Поскольку $10 > 6$, то $f(10) < f(6)$. Следовательно, $f(-10) < f(6)$.
Ответ: $f(-10) < f(6)$.

2.

1) $y = (\sqrt{x} - 1)^0$
Выражение $a^0$ равно $1$ при условии, что основание $a \neq 0$. В данном случае основание $a = \sqrt{x} - 1$.
Найдём область определения функции:
Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Во-вторых, основание степени не должно быть равно нулю: $\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$.
Таким образом, область определения функции: $x \in [0, 1) \cup (1, \infty)$.
Для всех $x$ из области определения $y=1$.
Графиком функции является луч с началом в точке $(0, 1)$, идущий параллельно оси Ох, с "выколотой" точкой $(1, 1)$.
Ответ: График — горизонтальная линия $y=1$ при $x \ge 0$, с выколотой точкой $(1, 1)$.

2) $y = (x^{-2})^{-2}$
Упростим формулу, используя свойство степени $(a^m)^n=a^{mn}$:
$y = x^{(-2) \cdot (-2)} = x^4$.
Теперь найдём область определения исходной функции. Внутренняя функция $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ определена при $x \neq 0$. Так как $\frac{1}{x^2}$ никогда не равно нулю, то внешняя функция $(\cdot)^{-2}$ определена для всех $x$, для которых определена внутренняя.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.
Графиком является парабола $y=x^4$ с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.
Ответ: График — функция $y=x^4$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

3.

1) $\begin{cases} y = -x^{-5} \\ y = 3 - x \end{cases}$
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций $y = -x^{-5}$ и $y = 3 - x$.
График функции $y = -x^{-5} = -\frac{1}{x^5}$ — кривая, расположенная во втором и четвертом координатных квадрантах, симметричная относительно начала координат. Функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.
График функции $y = 3 - x$ — прямая, убывающая на всей числовой оси, пересекающая оси в точках $(0, 3)$ и $(3, 0)$.
Рассмотрим промежуток $(-\infty, 0)$. Функция $y = -x^{-5}$ возрастает, а $y = 3 - x$ убывает. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. При $x \to 0^-$ график $y = -x^{-5}$ уходит в $+\infty$, а $y=3-x$ стремится к 3. При $x \to -\infty$ график $y = -x^{-5}$ стремится к 0, а $y=3-x$ уходит в $+\infty$. Следовательно, на этом промежутке есть одна точка пересечения.
Рассмотрим промежуток $(0, \infty)$. Функция $y = -x^{-5}$ возрастает, а $y = 3 - x$ убывает. Аналогично, здесь также не более одной точки пересечения. При $x \to 0^+$ график $y = -x^{-5}$ уходит в $-\infty$, а $y=3-x$ стремится к 3. При $x \to +\infty$ график $y = -x^{-5}$ стремится к 0, а $y=3-x$ уходит в $-\infty$. Следовательно, и на этом промежутке есть одна точка пересечения.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

2) $\begin{cases} y = x^{-4} \\ y = \sqrt{x-3} \end{cases}$
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций $y = x^{-4}$ и $y = \sqrt{x-3}$.
Область определения функции $y=\sqrt{x-3}$ — это $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Значит, решения системы могут существовать только при $x \ge 3$.
На промежутке $[3, \infty)$:
- Функция $y = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$ является положительной и убывающей.
- Функция $y = \sqrt{x-3}$ является неотрицательной и возрастающей.
Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Проверим значения функций на концах промежутка или в некоторых точках.
При $x=3$: $y = 3^{-4} = \frac{1}{81}$, а $y = \sqrt{3-3} = 0$. Здесь график $y=x^{-4}$ выше.
При $x=4$: $y = 4^{-4} = \frac{1}{256}$, а $y = \sqrt{4-3} = 1$. Здесь график $y=\sqrt{x-3}$ выше.
Поскольку на отрезке $[3, 4]$ одна непрерывная функция перешла из положения "выше" в положение "ниже" относительно другой непрерывной функции, они обязательно пересеклись на этом отрезке. Так как одна функция убывает, а другая возрастает, точка пересечения единственная.
Ответ: 1 решение.

4.

1) $f(-12) < f(-16)$
Дана функция $f(x)=x^n$. Аргументы $-12$ и $-16$ отрицательны, причём $-16 < -12$.
Если $n$ — нечётное, то функция $f(x)=x^n$ возрастает на всей числовой оси. Тогда из $-16 < -12$ следовало бы $f(-16) < f(-12)$, что противоречит условию.
Если $n$ — чётное, то функция $f(x)=x^n$ на промежутке $(-\infty, 0)$ убывает. Тогда из $-16 < -12$ следует $f(-16) > f(-12)$, что эквивалентно $f(-12) < f(-16)$. Это совпадает с условием.
Следовательно, $n$ — чётное число.
Ответ: Чётным.

2) $f(-12) < f(16)$
Рассмотрим два случая.
Если $n$ — чётное, то $f(-12) = (-12)^n = 12^n$. Неравенство принимает вид $12^n < 16^n$. Так как $12 < 16$ и $n$ — натуральное число, это неравенство верно.
Если $n$ — нечётное, то $f(-12) = (-12)^n = -12^n$. Неравенство принимает вид $-12^n < 16^n$. Так как $12^n > 0$ и $16^n > 0$, слева стоит отрицательное число, а справа — положительное. Неравенство верно.
Условие выполняется для любого натурального числа $n$, как чётного, так и нечётного. Поэтому определить чётность $n$ невозможно.
Ответ: Определить невозможно.

3) $f(-12) > f(-16)$
Дана функция $f(x)=x^n$. Аргументы $-12$ и $-16$ отрицательны, причём $-16 < -12$.
Если $n$ — нечётное, то функция $f(x)=x^n$ возрастает. Тогда из $-16 < -12$ следует $f(-16) < f(-12)$, что эквивалентно $f(-12) > f(-16)$. Это совпадает с условием.
Если $n$ — чётное, то функция $f(x)=x^n$ на промежутке $(-\infty, 0)$ убывает. Тогда из $-16 < -12$ следует $f(-16) > f(-12)$, что противоречит условию.
Следовательно, $n$ — нечётное число.
Ответ: Нечётным.

4) $f(16) < f(12)$
Аргументы $16$ и $12$ положительны. Для любого натурального $n$ функция $f(x)=x^n$ на промежутке $(0, \infty)$ является возрастающей.
Поскольку $12 < 16$, для любого натурального $n$ должно выполняться неравенство $f(12) < f(16)$.
Данное в условии неравенство $f(16) < f(12)$ противоречит свойству возрастания функции. Следовательно, не существует такого натурального числа $n$, при котором это неравенство было бы верным.
Ответ: Такого натурального числа $n$ не существует.